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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
PREPARATORIA CUATRO
UNIDAD GALEANA
MATEMATICAS
PROFESOR:
SERGIO IVAN CERDA RODRIGUEZ
ALUMNAS:
DARELY JAQUELINE PEÑA MATA
JENIFER ANAHI DIMAS SALAZAR
AMELIA GUADALUPE BETANCOURT BRAVO
INTRODUCCION
 EN EL PRESENTE TRABAJO SE HABLARA
SOBRE LA CLASIFICACION DE LOS
CUADRILATEROS SUS CARACTERISTICAS Y
PROPIEDADES
 ASI COMO ALGUNOS TEOREMAS ACERCA DE
LOS MISMOS ESPERAMOS QUE ESTO SEA DE
UTILIDAD PARA LOS ALUMNOS DE CUALQUIER
INSTITUCION
CLASIFICACION DE LOS
CUADRILATEROS
 Los cuadriláteros simples se dividen en:
 •Cóncavos. En un cuadrilátero cóncavo al menos
uno de sus ángulos interiores mide más de 180°.
 •Convexos. Un cuadrilátero convexo no tiene
ángulos interiores que midan más de 180°. Los
convexos se subdividen en:
 1.Cuadrilátero cíclico, si se puede trazar una
circunferencia que pase por sus vértices.
 2. Cuadrilátero tangencial, si se puede trazar una
circunferencia tangente a cada uno de sus lados.
 3. Trapecios, si tienen dos lados paralelos. Se
diferencian:
 1. Romboide, como caso más general de
paralelogramo, si los lados son paralelos dos a dos.
 2. Trapecio rectángulo, que tiene un lado
perpendicular a sus bases.
 3. Trapecio isósceles, cuyos lados no paralelos son de
igual medida. Este trapecio también es cíclico.
PARALELOGRAMOS
 Los Paralelogramos son cuadriláteros que tienen
dos pares de lados paralelos.
 Todos los paralelogramos cumplen las siguientes
características:
 • Sus lados opuestos tienen la misma longitud.
 • Sus ángulos opuestos son iguales y los
consecutivos suplementarios.
 • Cada diagonal divide al paralelogramo en dos
triángulos congruentes.
 • Las diagonales se cortan en su punto medio.
SE PUEDEN DIVIDIR EN:
TRAPECIOS
 trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados
paralelos y otros dos que no lo son.1 2 Los lados
paralelos se llaman bases del trapecio y la
distancia entre ellos altura. Se denomina mediana
al segmento que tiene por extremos los puntos
medios de los lados no paralelos. Un cuadrilátero
sin lados paralelos recibe el nombre de trapezoide.
 Los trapecios respecto a sus ángulos internos,
pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos:
 TRAPECIO RECTANGULO
 TRAPECIO ISOSELES
TRAPEZOIDES
 Un trapezoide es un polígono cuadrilátero tal que
ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro.
Características:
El trapezoide no tiene propiedades especiales,
excepto las que son propias de todo cuadrilátero
convexo, como que la suma de sus ángulos internos
es de 360 grados.
Los trapezoides pueden ser inscribibles si la suma de
sus ángulos opuestos es de 180º. Del mismo modo,
puede ser circunscribirlo si las sumas de sus pares de
lados opuestos son iguales entre sí.
TRAPEZOIDE CÓNCAVO
TRAPEZOIDE CONCAVO
TRAPEZOIDE DELTOIDE
CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES
•Todo paralelogramo tiene cuatro vértices y cuatro lados
(es un subconjunto de los cuadriláteros).
•Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos
(por definición), por lo cual nunca se intersecan.
•Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual
longitud, (congruentes).
•Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales
en medida.
•Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son
suplementarios (suman 180 °).
•La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo
es siempre igual a 360 °.
•El área de un paralelogramo es el doble del área de un
triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los
lados contiguos de la figura.
TEOREMAS
Fórmulas del paralelogramo
Área
1
Altura de a
Altura de b
Diagonales
(ley de cosenos)
Ángulos
 TEOREMA XXXII
 La suma de los ángulos internos de un polígono es igual a dos rectos multiplicando
por el exceso del número de lados del polígono sobre dos. Demostrar: La sumatoria
<s internos de los triángulos así formados es igual ala sumatoria de los números
triángulos (n-2). Trácese diagonales AC, AD, AEEl número de triángulos es de (n-
2).La suma de los <s de cada triangulo es 2rt. Teorema 19La suma de los <s de los
(n-2) de cada triangulo o sea, la suma de los polígonos, es:2rt + x(n-2) l.q.q.d.
 TEOREMA XXXIII
 La suma de los ángulos externos de un polígono formados prolongando los
lados sucesivamente, es igual a cuatro rectos. Demostrar: La suma de los
<s externos es igual a cuatro rectos a,b,c,d,e son ángulos del polígono
adyacentes a a´,b´,c´,d´,e´ respectivamente:<a + <a´ = 2rt<b + <b´ = 2rt la
suma de 2 <s adyacentes que una recta forma a otra es igual a 2rt.La suma
<s internos = 2(n-2)rt= 2nrt – 4rtLa suma de los <s externos = 2nrt -(2nrt -
4rt)= 4rt l.q.q.d.
 TEOREMA XXXIV
 La perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geométrico de
todos los puntos equidistantes de los extremos de las rectas.
Demostrar: OY es el lugar geométrico de todos los puntos equidista de
A y BAO = OB Por hipótesis OP = OP por identidad AOP y BOP<AOP
= <BOP = 90AOP = BOP Corolario: Dos triángulos son iguales si dos
lados cualesquiera del uno son iguales a los correspondientes dos
lados del otro. AP = BPO´B + O´C > CBAC = AO´+O´C
 Teorema XXXV
 El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas que
se cortanconsta de las dos bisectrices de los ángulos formados por
las dos rectas.Demostrar: CA y BD constituyen el lugar geométrico
de los puntosequidistantes de XX´ e YY´P un punto cualesquiera
de CA y Q un punto exterior a esa recta. Trazamos PM y QR a XX´
y PN y QS a YY´< MOP = <PON por hipótesisOP = PO por
identidadOMP = ONP. Teorema XIIIPM = PNP´ Intersección de QS
y OATrazamos P’T XX´ y QTP´T = P´SP´T + P´Q > QT Postulado
3QT > QR Teorema XIP´T + P´Q > QR Postulado 9P´S+ P´Q >
QRQS > QRLas dos bisectrices toman el lugar geométrico.
 Teorema XXXV
 El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas que
se cortanconsta de las dos bisectrices de los ángulos formados por
las dos rectas. Demostrar: CA y BD constituyen el lugar geométrico
de los puntos equidistantes de XX´ e YY´P un punto cualesquiera
de CA y Q un punto exterior a esa recta. Trazamos PM y QR a XX´
y PN y QS a YY´< MOP = <PON por hipótesis OP = PO por
identidad OMP = ONP. Teorema XIIIPM = PNP´ Intersección de QS
y OA Trazamos P’T XX´ y QTP´T = P´SP´T + P´Q > QT Postulado
3QT > QR Teorema XIP´T + P´Q > QR Postulado 9P´S+ P´Q >
QRQS > QR Las dos bisectrices toman el lugar geométrico.
EJEMPLOS
 Los cuadriláteros son polígonos que poseen cuatro
lados, cuatro vértices y dos diagonales. Está
demostrado que en todos los cuadriláteros la suma
de sus ángulos interiores es siempre 360 grados.
Analicemos ejemplo de cuadriláteros: TRAPECIOS
Los trapecios son cuadriláteros que tienen
solamente dos lados opuestos paralelos, de
diferente longitud. Los restantes otros dos lados no
son paralelos. Los trapecios a su vez se dividen en:
trapecio rectángulo (posee dos ángulos rectos),
trapecio isósceles (sus lados no paralelos tienen
igual longitud), y trapecio escaleno (no es trapecio
rectángulo ni isósceles).
 PARALELOGRAMOS Los llamados paralelogramos
también son cuadriláteros cuyos lados opuestos son
paralelos dos a dos y además tienen igual longitud. Sus
diagonales se cortan en el punto medio y sus ángulos
opuestos son iguales. Claros ejemplos de
paralelogramos son: cuadrado, rectángulo, romboide y
rombo. TRAPEZOIDES Los trapezoides son
cuadriláteros cuyos lados no son paralelos entre sí.
CONCLUSION
 Hemos llegado a la conclusión de que los
cuadriláteros son fundamentales en la vida
ya que nos enseñan formulas que podrían
utilizarse en la vida diaria.

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  • 1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN PREPARATORIA CUATRO UNIDAD GALEANA MATEMATICAS PROFESOR: SERGIO IVAN CERDA RODRIGUEZ ALUMNAS: DARELY JAQUELINE PEÑA MATA JENIFER ANAHI DIMAS SALAZAR AMELIA GUADALUPE BETANCOURT BRAVO
  • 2. INTRODUCCION  EN EL PRESENTE TRABAJO SE HABLARA SOBRE LA CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS SUS CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES  ASI COMO ALGUNOS TEOREMAS ACERCA DE LOS MISMOS ESPERAMOS QUE ESTO SEA DE UTILIDAD PARA LOS ALUMNOS DE CUALQUIER INSTITUCION
  • 3. CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS  Los cuadriláteros simples se dividen en:  •Cóncavos. En un cuadrilátero cóncavo al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180°.  •Convexos. Un cuadrilátero convexo no tiene ángulos interiores que midan más de 180°. Los convexos se subdividen en:  1.Cuadrilátero cíclico, si se puede trazar una circunferencia que pase por sus vértices.
  • 4.  2. Cuadrilátero tangencial, si se puede trazar una circunferencia tangente a cada uno de sus lados.  3. Trapecios, si tienen dos lados paralelos. Se diferencian:  1. Romboide, como caso más general de paralelogramo, si los lados son paralelos dos a dos.  2. Trapecio rectángulo, que tiene un lado perpendicular a sus bases.  3. Trapecio isósceles, cuyos lados no paralelos son de igual medida. Este trapecio también es cíclico.
  • 5. PARALELOGRAMOS  Los Paralelogramos son cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos.  Todos los paralelogramos cumplen las siguientes características:  • Sus lados opuestos tienen la misma longitud.  • Sus ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios.  • Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes.  • Las diagonales se cortan en su punto medio.
  • 7. TRAPECIOS  trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos que no lo son.1 2 Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos. Un cuadrilátero sin lados paralelos recibe el nombre de trapezoide.  Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o escalenos:
  • 8.  TRAPECIO RECTANGULO  TRAPECIO ISOSELES
  • 9. TRAPEZOIDES  Un trapezoide es un polígono cuadrilátero tal que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro. Características: El trapezoide no tiene propiedades especiales, excepto las que son propias de todo cuadrilátero convexo, como que la suma de sus ángulos internos es de 360 grados. Los trapezoides pueden ser inscribibles si la suma de sus ángulos opuestos es de 180º. Del mismo modo, puede ser circunscribirlo si las sumas de sus pares de lados opuestos son iguales entre sí.
  • 11. CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES •Todo paralelogramo tiene cuatro vértices y cuatro lados (es un subconjunto de los cuadriláteros). •Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición), por lo cual nunca se intersecan. •Los lados opuestos de un paralelogramo son de igual longitud, (congruentes). •Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en medida. •Los ángulos de dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios (suman 180 °). •La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360 °. •El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los lados contiguos de la figura.
  • 12. TEOREMAS Fórmulas del paralelogramo Área 1 Altura de a Altura de b Diagonales (ley de cosenos) Ángulos
  • 13.  TEOREMA XXXII  La suma de los ángulos internos de un polígono es igual a dos rectos multiplicando por el exceso del número de lados del polígono sobre dos. Demostrar: La sumatoria <s internos de los triángulos así formados es igual ala sumatoria de los números triángulos (n-2). Trácese diagonales AC, AD, AEEl número de triángulos es de (n- 2).La suma de los <s de cada triangulo es 2rt. Teorema 19La suma de los <s de los (n-2) de cada triangulo o sea, la suma de los polígonos, es:2rt + x(n-2) l.q.q.d.  TEOREMA XXXIII  La suma de los ángulos externos de un polígono formados prolongando los lados sucesivamente, es igual a cuatro rectos. Demostrar: La suma de los <s externos es igual a cuatro rectos a,b,c,d,e son ángulos del polígono adyacentes a a´,b´,c´,d´,e´ respectivamente:<a + <a´ = 2rt<b + <b´ = 2rt la suma de 2 <s adyacentes que una recta forma a otra es igual a 2rt.La suma <s internos = 2(n-2)rt= 2nrt – 4rtLa suma de los <s externos = 2nrt -(2nrt - 4rt)= 4rt l.q.q.d.
  • 14.  TEOREMA XXXIV  La perpendicular bisectriz de una recta es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de las rectas. Demostrar: OY es el lugar geométrico de todos los puntos equidista de A y BAO = OB Por hipótesis OP = OP por identidad AOP y BOP<AOP = <BOP = 90AOP = BOP Corolario: Dos triángulos son iguales si dos lados cualesquiera del uno son iguales a los correspondientes dos lados del otro. AP = BPO´B + O´C > CBAC = AO´+O´C  Teorema XXXV  El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas que se cortanconsta de las dos bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas.Demostrar: CA y BD constituyen el lugar geométrico de los puntosequidistantes de XX´ e YY´P un punto cualesquiera de CA y Q un punto exterior a esa recta. Trazamos PM y QR a XX´ y PN y QS a YY´< MOP = <PON por hipótesisOP = PO por identidadOMP = ONP. Teorema XIIIPM = PNP´ Intersección de QS y OATrazamos P’T XX´ y QTP´T = P´SP´T + P´Q > QT Postulado 3QT > QR Teorema XIP´T + P´Q > QR Postulado 9P´S+ P´Q > QRQS > QRLas dos bisectrices toman el lugar geométrico.
  • 15.  Teorema XXXV  El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas que se cortanconsta de las dos bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas. Demostrar: CA y BD constituyen el lugar geométrico de los puntos equidistantes de XX´ e YY´P un punto cualesquiera de CA y Q un punto exterior a esa recta. Trazamos PM y QR a XX´ y PN y QS a YY´< MOP = <PON por hipótesis OP = PO por identidad OMP = ONP. Teorema XIIIPM = PNP´ Intersección de QS y OA Trazamos P’T XX´ y QTP´T = P´SP´T + P´Q > QT Postulado 3QT > QR Teorema XIP´T + P´Q > QR Postulado 9P´S+ P´Q > QRQS > QR Las dos bisectrices toman el lugar geométrico.
  • 16. EJEMPLOS  Los cuadriláteros son polígonos que poseen cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonales. Está demostrado que en todos los cuadriláteros la suma de sus ángulos interiores es siempre 360 grados. Analicemos ejemplo de cuadriláteros: TRAPECIOS Los trapecios son cuadriláteros que tienen solamente dos lados opuestos paralelos, de diferente longitud. Los restantes otros dos lados no son paralelos. Los trapecios a su vez se dividen en: trapecio rectángulo (posee dos ángulos rectos), trapecio isósceles (sus lados no paralelos tienen igual longitud), y trapecio escaleno (no es trapecio rectángulo ni isósceles).
  • 17.  PARALELOGRAMOS Los llamados paralelogramos también son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos y además tienen igual longitud. Sus diagonales se cortan en el punto medio y sus ángulos opuestos son iguales. Claros ejemplos de paralelogramos son: cuadrado, rectángulo, romboide y rombo. TRAPEZOIDES Los trapezoides son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos entre sí.
  • 18. CONCLUSION  Hemos llegado a la conclusión de que los cuadriláteros son fundamentales en la vida ya que nos enseñan formulas que podrían utilizarse en la vida diaria.