1) El documento presenta dos ejercicios de cálculo de límites y continuidad de funciones. 2) En el ejercicio 19, se analiza la continuidad y existencia de asintotas de la función g(x)=(x^2-9)/(x-3). 3) En el ejercicio 30, se piden ejemplos de diferentes tipos de límites y funciones con asintotas verticales.

1. Instituto Universitario Aeronáutico
Facultad Ciencias de la Administración
INGENIERÍA DE SISTEMAS
Matemática II
Unidad 2. Actividad 3 Segunda parte.
Nombre yapellido: CabreraSebastiánAriel
Curso:Z42
Fecha:23-04-2016
Unidad2. BATERIA de ejercicios sobre límite ycontinuidad.Para actividad 3
EjerciciosSeleccionadosnro19 y nro 30
19
Dada 𝒈( 𝒙) =
𝒙 𝟐−𝟗
𝒙−𝟑
a) Analice de manera explícitala continuidaden x=3. En caso de no serlo,¿Cómola re
definiríapara que lo sea?
b) Analice enforma explícitalaexistenciade asíntotas.
c) Calcule los límitesal infinito.
d) Grafique lafunción.
a) la función
𝒈( 𝒙) =
𝒙 𝟐
− 𝟗
𝒙 − 𝟑
La x puede ser remplazada por cualquier numero menos por el 3 ya que no está
definida en x = 3, porque si la remplazamos el denominador se vuelve cero y la división
por cero no existe.
En notación de conjunto: 𝐷 𝑔 = { 𝑥 ∈ ℜ/𝑥 ≠ 3}
En notación de intervalo: 𝐷 𝑔 = (−∞,3) ∪ (3,+∞)

2. Grafico en recta real
Sin embargo, en otros valores de x, se simplifica a
𝒙 𝟐
− 𝟗
𝒙 − 𝟑
=
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
𝒙 − 𝟑
= 𝒙 + 𝟑
y, cuando 𝑥 → 3, esta cantidad se acerca a 6. Entonces,
𝒙 𝟐
− 𝟗
𝒙 − 𝟑
→ 𝟔 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → 𝟑
O
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
𝒙 𝟐
− 𝟗
𝒙 − 𝟑
= 𝟔
Hacemos una tabla con valores de x que se acercan a 3 desde ambos lados:
X 1 2 2,5 2,7 2,9 3 3,1 3,3 3,5 4 5
𝒈(𝒙)
𝒙 𝟐
−𝟗
𝒙−𝟑
= 4 5 5,5 5,7 5,9 6,1 6,3 6,5 7 8
Los valores de g(x) parecen acercarse a 6 a medida que x se acerca a 3 por ambos
lados, estimamos que el límite es 6.
b) Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒈(𝒙)
𝒙
= 𝒎 ; 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
[ 𝒈( 𝒙) − 𝒎. 𝒙] = 𝒏
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

3. Sacamos primero m
lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥)
𝑥
=
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
𝑥
= 1 = 𝑚
Ahora obtenemos n
lim
𝑥→∞
[ 𝑔( 𝑥) − 𝑚. 𝑥] = [
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
− 1𝑥] = 3 = 𝑛
y = x+3 que es la asíntota oblicua de la función 𝒈( 𝒙) =
𝒙 𝟐−𝟗
𝒙−𝟑
c) Escribimos
lim
𝑥→+∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
= +∞
y
lim
𝑥→−∞
𝑥2
− 9
𝑥 − 3
= −∞
para significar que g(x) → L cuando x sea arbitrariamente grande, o que sea un número
negativo arbitrariamente grande, respectivamente.

4. d) Gráfico de la función
𝒈( 𝒙) =
𝒙 𝟐
− 𝟗
𝒙 − 𝟑
Gráfica del límite de la función

5. 30
Escriba diferentesfuncionesque ejemplifiquen:
a) Límitesnulos enel infinito
b) Límitesindeterminados.
c) Funcionescon asíntotas verticales.Explicite lasasíntotas.
a) Límitesnulos enel infinito.
*Se dice que el límite de f(x) cuandox tiende haciael punto“a”es más infinitosi lafunción f(x)
se hace tan grande como se quiera(envalorabsoluto) siempre que se tomenvaloresde x
suficientementepróximosal número“a”,perodistintode él.Se designa:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇( 𝒙) = +∞
*Se dice que el límite de f(x) cuandox tiende haciael punto“a”es menosinfinitosi lafunción
f(x) se hace tan grande como quiera(envalorabsoluto) siempre que se tomenvaloresde x
suficientementepróximosal número“a”,pero distintode él.Se designa:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇( 𝒙) = −∞

6. Ejemplos:
b) Límitesindeterminados.
Cuandopodemoscalcularel límite de laoperaciónde doso más funciones,aunsin
conocerlas,decimosque el límite esdeterminado.Aplicandolaspropiedadesde los
límitespodemosobtenerel límite buscado.Encaso de que no podamosaplicar
ningunapropiedadque nospermitacalcularel límite,diremosque es
INDETERMINADO.
TIPOS DE INDETERMINACIONES:
𝑳
𝟎
/𝑳 ≠ 𝟎
𝟎
𝟎
∞
∞
𝟎. ∞ ∞ − ∞ ∞ 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏∞
*En lasdel tipo
𝐿
0
con L no nulo,se calculanloslímiteslaterales.
Ejemplo:
lim
𝑥→2−
1
𝑥 − 2
= −∞
lim
𝑥→2+
1
𝑥 − 2
= +∞
} ⇒ lim
𝑥→2
1
𝑥 − 2
𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

7. lim
𝑥→2−
1
( 𝑥 − 2)2 = +∞
lim
𝑥→2+
1
( 𝑥 − 2)2 = +∞
}
⇒ lim
𝑥→2
1
( 𝑥 − 2)2 = +∞
*En lasdel tipo
0
0
.Si hayraíces, se multiplicaporel conjugadode laexpresióncon
raíces y luegose factorizay simplifica.
.Si nohay raíces, se factorizay simplifica.
Ejemplos:
*En lastipo
∞
∞
se dividennumeradorydenominadorporlamáximapotencia.
Ejemplos:
*En las∞.0 Se tranforma,mediante operaciones,enunode los anteriores.
Ejemplo:
*En lasde tipo∞-∞. En los casosen que el límite de unadiferenciaes ,nose puede aplicar
ningunaregla operatoria para límites,porloque se dice que se estáfrente auna forma
indeterminadadel tipo . Para resolverestaindeterminaciónpuedenaplicarse
métodoscomola multiplicaciónporlos polinomiosconjugados.

8. *En lasde lostipo ∞0,00 𝑦 1∞ Se aplicanlogaritmosola expresióncorrespondiente.
 La forma00
 La forma∞0
 La forma1∞
Ejemplo:el siguientelímite
, esde laforma ; considerando
y tomandologaritmosenambosmiembrosresulta
aplicandoal segundomiembrola reglade l'Hôpital,se
obtiene
de maneraque el límite sería
c) Funcionescon asíntotas verticales.Explicite lasasíntotas.
Las asíntotas sonrectas a las cualeslafunciónse va aproximandoindefinidamente,
cuandopor lo menosunade las variables(x oy) tiendenal infinito.

9. DEFINICIÓN
Si un punto(x,y) se desplazacontinuamenteporunafuncióny=f(x) de tal formaque,
por lomenos,unade suscoordenadastiendaal infinito,mientrasque ladistancia
entre ese puntoyuna recta determinadatiende acero,estarecta recibe el nombre de
asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS.
AsíntotasverticalesSi existe unnúmero“a”tal,que :
lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = ∞
La recta“x = a” es laasíntota vertical.
Ejemplo2
𝒇( 𝒙) =
𝟏
( 𝒙 − 𝟐) 𝟐 , 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝟏
( 𝒙 − 𝟐) 𝟐 = ∞ , 𝒙 = 𝟐

10. Ejemplo3
𝒇( 𝒙) =
𝟏𝟎 − 𝒙 𝟐
𝒙 𝟐 − 𝟒