1. Modelos de Redes: Problema
del flujo máximo
M. En C. Eduardo Bustos Farías

2. Problema del flujo máximo
2

3. Problema del flujo máximo
Este modelo se utiliza para reducir los
embotellamientos entre ciertos puntos de partida y
destino en una red.
Existe un flujo que viaja desde un único lugar de
origen hacia un único lugar destino a través de arcos
que conectan nodos intermedios
Cada arco tiene una capacidad que no puede ser
excedida
La capacidad no debe ser necesariamente la misma
para cada dirección del arco.

4. Considere una red con un nodo de
entrada (o fuente) y un nodo de salida
(o antifuente).
El problema del flujo máximo pregunta:
¿Cuál es la cantidad máxima de
vehículos, líquido, peatones o llamadas
telefónicas que pueden entrar y salir del
sistema en un periodo determinado de
tiempo?
4

5. En este tipo de problemas se intenta
conducir el flujo por las ramas o arcos
de la red en forma óptima, aunque
dicho flujo está limitado por
restricciones diversas tales como:
condiciones de la carpeta asfáltica,
diámetros de tubería, etc.
Al límite máximo de flujo de una rama
se le denominará capacidad de flujo. 5

6. Se quiere transportar la máxima cantidad de flujo desde
un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo)
ie.
Al respecto diremos que existen muchos algoritmos
especializados para dar solución a los P.F.M.
6

7. Observación:
1.Se debe considerar una red dirigida.
2.Tiene una fuente y un pozo.
3.Los otros nodos son de trasbordo.
4.Capacidad de los arcos.
5.El objetivo es determinar el patrón factible de flujo a través de la
red que maximice el flujo total desde la fuente de destino.
7

8. Definición del Problema
- Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos
emanan.
- Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los
flujos de la red son depositados.
- Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el
flujo que entra es igual al flujo que sale.
- La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la
capacidad Cji para la dirección opuesta.

9. El objetivo es encontrar la máxima
cantidad de flujo que salga del nodo
1 al nodo n sin exceder la capacidad
de los arcos.

10. El problema consiste en encontrar la
máxima cantidad de flujo total que
puede circular a través de la red en una
unidad de tiempo.
El único requerimiento en ellos es que
para cada nodo (que no sea la fuente o
el destino) la relación de equilibrio debe
cumplirse:
flujo que sale = flujo que entra
10

11. Dicho en términos formales, siendo f = flujo, n =
destino, l = origen:
Maximizar f sujeto a:
= f, si i = 1
∑ j
xij − ∑ j x ji = = -f, si j = n
= 0 en otro caso
0 ≤ xij ≤ U ij
∀i, j de la red
U ij =
11
capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos arcos.

12. El algoritmo de flujo máximo se fundamenta
en pasos de sentido común: encontrar un
camino que inicie en la fuente y concluya en
la antifuente, que tenga capacidad de flujo en
el sentido deseado y mayor a cero para todas
las ramas que integran el camino o ruta.
Debemos continuar buscando caminos que
vayan de fuentes a depósitos y que sigan
teniendo capacidad mayor a cero para todas
las ramas en el sentido del flujo.
12

13. PASOS DEL ALGORITMO
1. Encontrar un camino que vaya del origen
al destino y que tenga capacidad mayor a
cero en el sentido deseado.
2. Encontrar la rama de menor capacidad (Pf)
del camino seleccionado en el paso anterior y
programar el envío de dicha capacidad (Pf).
3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir
la cantidad Pf en las ramas involucradas y
aumentar dicha cantidad en el sentido
contrario.
4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.
13

14. EJEMPLO 1
Flujo máximo
14

15. Una ciudad es atravesada por una red
interestatal de carreteras de norte a sur que
le permite alcanzar un nivel de 15,000
vehículos/hora en el horario “pico”.
Debido a un programa de mantenimiento
general, el cual exige cerrar dichas vías, un
grupo de ingenieros ha propuesto una red de
rutas alternas para cruzar la ciudad de norte
a sur, la cual incorpora avenidas importantes.
15

16. La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos
(miles) que pueden circular por dichas vías.
16

17. 1. ¿Puede la red propuesta dar cabida a
un flujo máximo de 15,000 v/h de
norte a sur?
2. ¿Cuál es el flujo máximo de vehículos
que permite la red cada hora?
3. ¿Qué flujo se debe canalizar sobre
cada rama?
17

18. SOLUCIÓN
18

19. 0 5
2
3
1. 1-2-5-7 3
19

20. 0 5
2
1
0 1
3
6
1. 1-2-5-7 3
2. 1-3-6-7 6
20

21. 0 5
2
0
1
0 1
3 4
6
1
1. 1-2-5-7 3
4 2. 1-3-6-7 6
3. 1-4-6-7 1
21

22. 0 5 4
2
0 0
1
0 1
3 4 3
6
1 1. 1-2-5-7 3
3 2. 1-3-6-7 6
1 4
3. 1-4-6-7 1
4. 1-4-6-5-7 1
22

23. SOLUCIÓN FINAL
0 5 4 2
0 0
2
1 0 0
1
0 1
4 3
1. 1-2-5-7 3
2. 1-3-6-7 6
3
4 3. 1-4-6-7 1
4. 1-4-6-5-7 1
3+6+1+1+2=13 5. 1-2-3-5-7 2
23

24. 0 5 4 2
0 0
2
1 0 0
1
0 1
3 4 3
6
1 3
1 4
2
3 6
5 2 2 1
7
6 6
2 2
24

25. EJERCICIO 2
Flujo máximo
25

26. La compañía estatal de petróleo cuenta con una red de
oleoductos que utiliza para transportar petróleo desde su
refinería (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento.
Una parte de la red de oleoductos es la siguiente:
¿Cuál es el flujo máximo?
26

27. Como puede observarse, las capacidades de flujo son
variables como resultado de los diversos diámetros
de los ductos caps. en miles de gal. por hora.
1. La empresa desea abastecer el almacén 7, ¿Cuál es
el flujo máximo con el cual puede abastecerlo?
2. ¿Cuánto tiempo se requiere para satisfacer una
demanda de 95,000 galones para el mismo almacén?
3. Si se presentará una ruptura o cierre en el ducto que
va de 2-3, ¿Cuál sería ahora el flujo máximo para el
sistema?
27

28. SOLUCIÓN
28

29. 0
2
3
3
3
1. 1-2-5-7 3
29

30. 0
2
3
4 3+2
3
+
2
0
1. 1-2-5-7 3
2. 1-4-7 2
30

31. 0
2
3
42 0 3 3+2+2
3
+
1
2
+2
0
1. 1-2-5-7 3
2. 1-4-7 2
3. 1-4-3-6-7 2
31

32. 0
2 1
3
1
42 1 0 3 3+2+2+1
3
0
+ 1
2
+ 0
2
+
1 1. 1-2-5-7 3
2. 1-4-7 2
3. 1-4-3-6-7 2
4. 1-4-3-5-7 1
32

33. 0
2 1
3
1
42 1 0 32 3+2+2+1+1
3 0
0
+ 1 0
2
+ 0
2
+
1 1. 1-2-5-7 3
+ 2. 1-4-7 2
1 3. 1-4-3-6-7 2
4. 1-4-3-5-7 1
5. 1-4-6-7 1
33

34. 0
1 2 1 0
3 2 0
1
42 1 0 32 3+2+2+1+1+
3
0
+
0
1 0
2
+
2 0
+
1
+
1 1. 1-2-5-7 3
+
1
2. 1-4-7 2
3. 1-4-3-6-7 2
4. 1-4-3-5-7 1
5. 1-4-6-7 1
6. 1-2-3-5-7 1
34

35. 0
1 2 1 0
3 2 0
1
42 1 0 32
3
0
+
0
1 0
2
+
2 0
+
1 El Flujo máximo es:
1. 1-2-5-7 3 3+2+2+1+1+1=10
+
1 2. 1-4-7 2
+ 3. 1-4-3-6-7 2
1 4. 1-4-3-5-7 1
5. 1-4-6-7 1
6. 1-2-3-5-7 1
35

36. 3
4 1 5
1
2 3
6
3 1
2
El Flujo máximo es:
3+2+2+1+1+1=10
36

37. Deducción del modelo de
programación lineal para el
problema del flujo máximo
37

38. El problema es enviar gas natural
desde un campo de producción a
una ciudad a través de
gaseoductos.
38

39. El planteamiento con estos datos
0
8
sería:
3
Máx f sujeto a:
6
7
0
0
0
x12 ≤ 10
x13 ≤ 6
x12 + x13 = f x 23 ≤ 3
x12 − x 23 − x 24 = 0 x 24 ≤ 5
x34 ≤ 7
x13 + x 23 − x34 − x35 = 0
x35 ≤ 8
x 24 + x34 − x 45 = 0 x 45 ≤ 8
x35 + x 45 = f xij ≥ 39 , ∀ij
0

40. Este planteamiento no se ajusta a la
formulación estándar de programación lineal
de costo mínimo, puesto que se desconoce f y
aparece simultáneamente en la función
objetivo y en el lado derecho de las
restricciones.
Si se plantea así no es posible utilizar el
algoritmo de programación lineal, por ello
utilizaremos el artificio de agregar un arco
ficticio entre los nodos inicial y final (x51), con
ello ahora el planteamiento sería:
40

41. 41

42. 0
6
x12 ≤ 10
x13 ≤ 6
x 23 ≤ 3
x51 − x12 − x13 = 0 x 24 ≤ 5
x12 − x23 − x24 = 0 x34 ≤ 7
x13 + x23 − x34 − x35 = 0 x35 ≤ 8
x24 + x34 − x45 = 0 x 45 ≤ 8
− x51 + x35 + x45 = 0 xij ≥ 0, ∀ij
f =x
42
MAX

43. Ejercicio para resolver
Flujo máximo
43

44. Un conjunto de vías rápidas tiene las siguientes
capacidades (miles de vehículos/hora).
1. Determinar el flujo máximo de vehículos/hora que pueden pasar por el sistema.44
2. ¿Cuántos vehículos/hora deben pasar por cada vía para lograr el flujo máximo?

45. SOLUCIÓN
45

46. 3 1 6
2
3
5 3
1
2
ITERACIÓN CAMINO Pf FLUJO TOTAL DESPUÉS
DE LA ITERACIÓN
SELECCIONADO (vehículos/hora)
1 1-4-6 (1-4) 3,000 3,000
2 1-2-5-6 (1-2) 3,000 6,000
3 1-3-6 (3-6) 2,000 8,000
4 1-3-4-2-5-6 (2-5) 1,000 9,000
5 1-3-4-5-6 (3-4) 2,000 11,000 46

47. PROBLEMA LINEAL
47

48. 48

49. 49

50. 50

51. EJEMPLO 4
CENTRO REGIONAL DE CÓMPUTO
Árbol de expansión mínima
51

52. Un centro regional de cómputo (C.R.C.), debe
instalar líneas especiales para comunicación, a
fin de conectar a cinco usuarios satélite con una
nueva computadora central, la compañía
telefónica local es la que instalará la nueva red
de comunicaciones, pero es una operación
costosa.
Con el propósito de reducir costos, se busca que
la longitud total (Kms.) de estas líneas sea la
menor posible.
52
La red para este problema es la siguiente:

53. Un centro regional de cómputo (C.R.C.), debe instalar líneas especiales para
comunicación, a fin de conectar a cinco usuarios satélite con una nueva computadora
central, la compañía telefónica local es la que instalará la nueva red de comunicaciones,
pero es una operación costosa.
Con el propósito de reducir costos, se busca que la longitud total (Kms.) de estas líneas
sea la menor posible.
La red para este problema es la siguiente:
53

54. SOLUCIÓN
54

55. Desarrollo del algoritmo:
· Ubicarse en el nodo 3 (puede ser en
cualquier otro nodo) y se encuentra que
el nodo más próximo es el 4 (10 Kms.)
· El siguiente nodo más cercano al 3 o 4
es el nodo 6 (20 Kms).
· Repitiendo el paso anterior tenemos el
siguiente árbol de extensión mínima:
55

56. Con una extensión de 110 Kms.
56

57. Interacción Nodos Distancia
(Km.)
1 3-4 10
2 4-6 20
3 3-5 30
4 4-1 30
5 1-2 20
110 Km.
57

58. MÉ1TODO TABULAR
2 3 4 5 6
1 20 40 30 50 40
2 20 40
3 40 10 30
4 30 10 20
5 50 40 30 40
6 40 20 40
58