1. El documento presenta una tarea de cálculo multivariado que incluye problemas de optimización, aproximación lineal, polinomios de Taylor, puntos críticos, minimización de funciones de costo sujetas a restricciones, distribución de producción, integrales múltiples, cambio de coordenadas, campos vectoriales, y volúmenes rotacionales.
2. Se piden resolver 29 problemas que involucran diversos temas de cálculo multivariado como derivadas parciales, optimización con restricciones, series de
El documento presenta 4 ejercicios de álgebra y cálculo. El primer ejercicio plantea un sistema de ecuaciones relacionado con las canastas anotadas por un equipo de baloncesto. El segundo ejercicio estudia la posición relativa de dos rectas y encuentra un plano paralelo a una de ellas. El tercer ejercicio analiza la continuidad y derivabilidad de una función. El cuarto ejercicio calcula una primitiva.
1. El punto donde la recta tangente a la función f(x) = 1/(1+x^2) tiene la pendiente máxima es x=1/√3 y donde tiene la pendiente mínima es x=-1/√3.
2. Para que la suma de las áreas de los dos triángulos sombreados sea un mínimo, el punto D debe situarse a una distancia x=√2-1d de C.
3. Las dimensiones que maximizan el área del rectángulo son una base de 3/2 y una altura de 2, del círculo
Este documento contiene información sobre 6 prácticas de álgebra lineal y programación lineal. La Práctica 1 cubre rectas y planos en R2 y R3, incluyendo ecuaciones paramétricas e implícitas. Las siguientes prácticas cubren sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, matrices y programación lineal. Al final hay ejercicios de práctica adicionales sobre estos temas.
Este documento presenta una guía sobre métodos numéricos para ingeniería. Contiene 16 preguntas de selección múltiple sobre temas como integración numérica, ecuaciones no lineales y derivadas parciales. También incluye 6 problemas resueltos que ilustran el uso de métodos como Adams-Bashforth, Simpson compuesto, trapecio compuesto y Newton-Raphson.
Este documento contiene 15 ejercicios sobre aplicaciones de derivadas. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas tangentes, estudiar intervalos de crecimiento, máximos y mínimos, y puntos de inflexión de diferentes funciones. También incluye ejercicios sobre volúmenes máximos, temperaturas óptimas, dimensiones para fabricación más económica y beneficios máximos. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo para resolver cada ejercicio.
Este documento presenta una serie de funciones y pide hallar su derivada o derivadas con respecto a variables como x o t. También incluye ejercicios sobre máximos, mínimos, puntos críticos, concavidad, así como determinar ecuaciones de rectas tangentes y razones de cambio.
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra. Los ejercicios cubren temas como calcular expresiones algebraicas, verificar igualdades, resolver ecuaciones, ordenar números, calcular fracciones, y representar puntos y conjuntos en el plano. El objetivo es que los estudiantes repasen estos conceptos básicos antes de comenzar el curso.
El documento presenta 4 ejercicios de álgebra y cálculo. El primer ejercicio plantea un sistema de ecuaciones relacionado con las canastas anotadas por un equipo de baloncesto. El segundo ejercicio estudia la posición relativa de dos rectas y encuentra un plano paralelo a una de ellas. El tercer ejercicio analiza la continuidad y derivabilidad de una función. El cuarto ejercicio calcula una primitiva.
1. El punto donde la recta tangente a la función f(x) = 1/(1+x^2) tiene la pendiente máxima es x=1/√3 y donde tiene la pendiente mínima es x=-1/√3.
2. Para que la suma de las áreas de los dos triángulos sombreados sea un mínimo, el punto D debe situarse a una distancia x=√2-1d de C.
3. Las dimensiones que maximizan el área del rectángulo son una base de 3/2 y una altura de 2, del círculo
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Este documento contiene 15 ejercicios sobre aplicaciones de derivadas. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas tangentes, estudiar intervalos de crecimiento, máximos y mínimos, y puntos de inflexión de diferentes funciones. También incluye ejercicios sobre volúmenes máximos, temperaturas óptimas, dimensiones para fabricación más económica y beneficios máximos. Las soluciones proporcionan los pasos de cálculo para resolver cada ejercicio.
Este documento presenta una serie de funciones y pide hallar su derivada o derivadas con respecto a variables como x o t. También incluye ejercicios sobre máximos, mínimos, puntos críticos, concavidad, así como determinar ecuaciones de rectas tangentes y razones de cambio.
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra. Los ejercicios cubren temas como calcular expresiones algebraicas, verificar igualdades, resolver ecuaciones, ordenar números, calcular fracciones, y representar puntos y conjuntos en el plano. El objetivo es que los estudiantes repasen estos conceptos básicos antes de comenzar el curso.
Este documento contiene 20 problemas de álgebra que involucran conceptos como divisibilidad de polinomios, factorización, cocientes notables y divisores de polinomios. Los problemas van desde determinar si un polinomio es divisible por otro, hasta encontrar factores primos y divisores de polinomios más complejos. Cada problema viene con su resolución detallada paso a paso.
Ejercicios detallados del obj 6 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
El documento presenta dos ejercicios matemáticos que involucran matrices. El primer ejercicio involucra el cálculo de matrices que representan la producción diaria de estanterías de diferentes modelos y tamaños, así como la cantidad de tornillos y soportes necesarios. El segundo ejercicio consiste en hallar los valores de x e y para que se cumpla que A2 = xA + yI, donde A es una matriz dada y I la matriz identidad.
1. Se pide completar una tabla con operaciones y polinomios.
2. Se pide relacionar operaciones con polinomios resultados.
3. Se pide determinar un polinomio a adicionar para obtener otro resultado.
Este documento describe problemas de optimización, donde se busca minimizar o maximizar una variable sujeto a restricciones. Explica que se debe expresar la variable objetivo como función de otra variable y considerar las restricciones para obtener esta función. Proporciona ejemplos resueltos de problemas que buscan maximizar el área de figuras dadas restricciones en el perímetro o volumen.
1. Un operador matemático es un símbolo que representa una operación matemática y su regla de definición. Algunos operadores comunes son +, -, x, ÷, √, |, [].
2. Se pueden definir nuevas operaciones matemáticas con sus propios operadores como *, Δ, ∏, Π, mediante reglas arbitrarias.
3. Los ejemplos muestran el uso de varios operadores comunes como +, -, x, ÷ en expresiones matemáticas.
Este documento proporciona información sobre la función cuadrática. Explica que los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones al álgebra y que al-Khwarizmi explicó cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Más tarde, Viète introdujo el uso de símbolos para expresar ecuaciones, lo que impulsó el desarrollo del álgebra. Luego, define la función cuadrática y explica que representa gráficamente una parábola, identificando los elementos de concavidad e intersección con los ejes que caracteriz
El documento presenta un problema geométrico sobre una circunferencia de radio 12 cm. Se piden:
1) Calcular la longitud de los segmentos AB y OP.
2) Determinar el área de la superficie sombreada entre la circunferencia, las rectas tangentes en A y B, y la recta OP.
El documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con operaciones y cálculos sobre matrices. Se piden calcular sumas, restas, productos y potencias de matrices, hallar matrices inversas, demostrar propiedades, resolver sistemas y expresar información en forma matricial.
El documento presenta 6 problemas relacionados con funciones. Problema 1 calcula el valor de R dada una función f(x)=ax2+b que pasa por 3 puntos dados. Problema 2 encuentra el dominio de la función f(x)=x-2+6-x. Problema 3 calcula el rango de la función f(x)=(x-2)/(x+3). Problema 4 encuentra el dominio de la función f(x)=22-x2. Problema 5 determina la intersección de los rangos de dos funciones f(x) y g(x) dadas. Pro
Este documento presenta definiciones y propiedades de funciones. Introduce conceptos como dominio, rango, función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Explica funciones notables como lineal, cuadrática, cúbica y valor absoluto. Finalmente, propone ejercicios sobre estas nociones.
El documento describe diferentes operaciones matemáticas y sus símbolos. Define operadores como símbolos que representan operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación y división. Presenta ejemplos de operaciones no estándar definidas por reglas o leyes particulares y resuelve ejercicios aplicando dichas definiciones y reglas.
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Contiene varios ejercicios de factorización y preguntas sobre conceptos relacionados como el MCM y MCD de polinomios. Algunas de las preguntas incluyen factorizar polinomios específicos e indicar sumas de coeficientes o términos independientes de los factores. El documento provee una guía para practicar diferentes métodos de factorización de polinomios.
1) El documento presenta conceptos sobre inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo propiedades, resolución y conjuntos de solución. 2) Se definen también inecuaciones con valor absoluto, radiciales, exponenciales e intervalos. 3) Finalmente, se proponen ejercicios resueltos sobre diferentes tipos de inecuaciones.
La prueba de aptitud académica evalúa las habilidades intelectuales básicas y específicas de los estudiantes para estudios superiores. Incluye razonamiento lógico y matemático, así como la comprensión, asimilación y aplicación de conceptos. Un conocimiento sólido de las materias básicas y la observación del mundo proporcionan la mejor garantía de éxito en la prueba.
1. Se presentan ejemplos de cálculos con cocientes notables, incluyendo la determinación del menor término racional de un cociente y el grado absoluto de un término central.
2. Se explica cómo hallar los términos centrales de un cociente notable y se pide determinar el número de términos de un desarrollo.
3. Se piden factorizar polinomios y determinar sumas de coeficientes y factores de polinomios factorizados.
Este documento presenta varios problemas de programación lineal. El Problema 1 explica cómo representar inecuaciones como rectas y determinar a qué semiplano pertenecen. Los Problemas 2 y 3 ilustran cómo representar regiones definidas por múltiples inecuaciones y encontrar puntos máximos y mínimos de funciones dentro de esas regiones. El Problema 4 encuentra el punto mínimo de una función dentro de una región dada.
Este documento presenta un examen final de cálculo integral con 10 preguntas de opción múltiple sobre diferentes temas como reescribir integrales, hallar resultados de integrales definidas e indefinidas, resolver integrales mediante diferentes métodos como integración por partes e integrales que producen logaritmos naturales, y calcular áreas bajo curvas.
Este documento contiene 20 problemas de adición, sustracción y otros conceptos matemáticos. Cada problema viene acompañado de su resolución. Los problemas incluyen hallar valores desconocidos, efectuar operaciones, determinar patrones numéricos y calcular sumas. El documento proporciona las respuestas correctas a cada uno de los 20 problemas planteados.
Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y cuadráticas. Se piden identificar cuáles funciones son lineales o cuadráticas, hallar pendientes, ordenadas en el origen y vértices de parábolas. También se piden representar gráficamente funciones dadas y resolver problemas que involucran funciones cuadráticas.
El texto trata sobre el rayo láser, explicando que es el producto de una reacción en cadena donde los fotones chocan con otros fotones producidos por moléculas de luz emitidas por un cristal de rubí. Describe también las características de la luz láser como su gran intensidad, monocromatismo y carácter direccional. Menciona algunos usos comunes del láser como en discos compactos, impresoras y lectores de códigos de barra.
Primer trabajo de matemática iii(1)yenyjlo45328005
Este documento presenta una serie de ejercicios de cálculo de integrales indefinidas e integrales definidas. Los ejercicios incluyen calcular integrales con funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como determinar áreas de regiones delimitadas por funciones. También incluye ejercicios sobre derivadas parciales, máximos y mínimos de funciones y cálculo de excedentes del consumidor y productor.
Práctica Aplicaciones de la Integral Definida.pdfFernandaMorante1
Este documento presenta 44 ejercicios de cálculo de áreas y longitudes de arco utilizando la integral definida. Los ejercicios involucran regiones planas limitadas por funciones dadas en forma cartesiana, polar, paramétrica y curvas como elipses, cisoides, espirales y rosas. Se pide graficar las regiones, aproximar áreas y calcular longitudes de arco utilizando integrales definidas.
Este documento contiene 20 problemas de álgebra que involucran conceptos como divisibilidad de polinomios, factorización, cocientes notables y divisores de polinomios. Los problemas van desde determinar si un polinomio es divisible por otro, hasta encontrar factores primos y divisores de polinomios más complejos. Cada problema viene con su resolución detallada paso a paso.
Ejercicios detallados del obj 6 mat ii 178 179-Jonathan Mejías
El documento presenta dos ejercicios matemáticos que involucran matrices. El primer ejercicio involucra el cálculo de matrices que representan la producción diaria de estanterías de diferentes modelos y tamaños, así como la cantidad de tornillos y soportes necesarios. El segundo ejercicio consiste en hallar los valores de x e y para que se cumpla que A2 = xA + yI, donde A es una matriz dada y I la matriz identidad.
1. Se pide completar una tabla con operaciones y polinomios.
2. Se pide relacionar operaciones con polinomios resultados.
3. Se pide determinar un polinomio a adicionar para obtener otro resultado.
Este documento describe problemas de optimización, donde se busca minimizar o maximizar una variable sujeto a restricciones. Explica que se debe expresar la variable objetivo como función de otra variable y considerar las restricciones para obtener esta función. Proporciona ejemplos resueltos de problemas que buscan maximizar el área de figuras dadas restricciones en el perímetro o volumen.
1. Un operador matemático es un símbolo que representa una operación matemática y su regla de definición. Algunos operadores comunes son +, -, x, ÷, √, |, [].
2. Se pueden definir nuevas operaciones matemáticas con sus propios operadores como *, Δ, ∏, Π, mediante reglas arbitrarias.
3. Los ejemplos muestran el uso de varios operadores comunes como +, -, x, ÷ en expresiones matemáticas.
Este documento proporciona información sobre la función cuadrática. Explica que los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones al álgebra y que al-Khwarizmi explicó cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Más tarde, Viète introdujo el uso de símbolos para expresar ecuaciones, lo que impulsó el desarrollo del álgebra. Luego, define la función cuadrática y explica que representa gráficamente una parábola, identificando los elementos de concavidad e intersección con los ejes que caracteriz
El documento presenta un problema geométrico sobre una circunferencia de radio 12 cm. Se piden:
1) Calcular la longitud de los segmentos AB y OP.
2) Determinar el área de la superficie sombreada entre la circunferencia, las rectas tangentes en A y B, y la recta OP.
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Este documento presenta definiciones y propiedades de funciones. Introduce conceptos como dominio, rango, función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Explica funciones notables como lineal, cuadrática, cúbica y valor absoluto. Finalmente, propone ejercicios sobre estas nociones.
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1) El documento presenta conceptos sobre inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo propiedades, resolución y conjuntos de solución. 2) Se definen también inecuaciones con valor absoluto, radiciales, exponenciales e intervalos. 3) Finalmente, se proponen ejercicios resueltos sobre diferentes tipos de inecuaciones.
La prueba de aptitud académica evalúa las habilidades intelectuales básicas y específicas de los estudiantes para estudios superiores. Incluye razonamiento lógico y matemático, así como la comprensión, asimilación y aplicación de conceptos. Un conocimiento sólido de las materias básicas y la observación del mundo proporcionan la mejor garantía de éxito en la prueba.
1. Se presentan ejemplos de cálculos con cocientes notables, incluyendo la determinación del menor término racional de un cociente y el grado absoluto de un término central.
2. Se explica cómo hallar los términos centrales de un cociente notable y se pide determinar el número de términos de un desarrollo.
3. Se piden factorizar polinomios y determinar sumas de coeficientes y factores de polinomios factorizados.
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Este documento presenta ejercicios sobre funciones lineales y cuadráticas. Se piden identificar cuáles funciones son lineales o cuadráticas, hallar pendientes, ordenadas en el origen y vértices de parábolas. También se piden representar gráficamente funciones dadas y resolver problemas que involucran funciones cuadráticas.
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Este documento presenta soluciones a problemas relacionados con integrales definidas y cálculo de áreas de figuras planas. Resuelve 13 problemas que incluyen calcular valores de integrales definidas utilizando métodos como partes o sustitución, hallar áreas delimitadas por curvas algebraicas mediante integrales definidas, y calcular áreas de regiones planas limitadas por funciones y rectas.
Este documento presenta soluciones a problemas relacionados con integrales definidas y cálculo de áreas de figuras planas. Resuelve 13 problemas que involucran calcular valores de integrales definidas utilizando métodos como sustitución, partes y cambio de variable, así como hallar áreas delimitadas por curvas y rectas mediante el cálculo de integrales definidas.
Este documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con funciones de variables múltiples. Incluye problemas sobre rectas, planos, esferas, elipsoides y funciones en varias variables. El documento contiene 33 problemas que abarcan temas como ecuaciones de rectas y planos, puntos en rectas y planos, distancias mínimas, volúmenes, dominios de funciones, curvas de nivel y reconocimiento de cuádricas.
Este documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con funciones de variables múltiples. Incluye problemas sobre rectas, planos, esferas, elipsoides y funciones en tres dimensiones. El objetivo es que los estudiantes practiquen conceptos como ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas para representar rectas y superficies. También incluye gráficos de funciones y reconocimiento de cuádricas en el espacio.
Este documento presenta seis ejemplos que ilustran el cálculo de áreas y volúmenes utilizando la integral definida. En el primer ejemplo, se calcula el área debajo de una parábola y una recta mediante la suma de rectángulos y luego tomando el límite para obtener la integral definida. Los ejemplos subsiguientes calculan áreas de regiones delimitadas por curvas algebraicas de manera similar. Los últimos dos ejemplos calculan volúmenes de sólidos de revolución, generados al girar regiones planas alreded
El documento presenta soluciones a problemas de cálculo vectorial. Determina la naturaleza de puntos críticos de funciones, obtiene valores extremos sujetos a restricciones, y calcula dimensiones óptimas de objetos geométricos para minimizar costos o maximizar áreas.
Este documento presenta ejercicios de cálculo de derivadas y aplicaciones de integrales para un curso de matemáticas para ingeniería de telecomunicaciones. Incluye ejercicios sobre derivación de funciones de varias variables, aplicaciones de la derivada para encontrar extremos y puntos de inflexión, integración múltiple, análisis vectorial y cálculo de derivadas parciales. El documento contiene 12 capítulos con diferentes conjuntos de problemas matemáticos.
Este documento presenta varias actividades de refuerzo de matemáticas para estudiantes de grado 10 que incluyen conversiones y mediciones de ángulos, identidades trigonométricas, resolución de ecuaciones trigonométricas y sistemas de ecuaciones, y definición y graficación de elipses, circunferencias e hipérbolas.
Este documento presenta 5 ejemplos resueltos del método de Lagrange para encontrar valores extremos de funciones sujetas a restricciones. El método establece una ecuación vectorial igualando los gradientes de la función objetivo y la restricción, formando un sistema de ecuaciones que incluye la restricción. Los ejemplos maximizan y minimizan áreas, volúmenes y costos de figuras geométricas bajo diferentes condiciones.
Este documento presenta los métodos para resolver inecuaciones cuadráticas. Explica que dependiendo del valor del discriminante, las inecuaciones pueden factorizarse o no. Detalla los pasos para factorizar inecuaciones cuadráticas y aplicar el método de los puntos críticos. Incluye ejemplos resueltos de diferentes tipos de inecuaciones cuadráticas y ejercicios propuestos para practicar.
Este documento presenta una serie de ejercicios de Matlab relacionados con identificadores válidos, expresiones aritméticas y trigonométricas, manipulación de matrices, tablas de conversión de temperaturas, ecuaciones de rectas, sumatorios y factoriales, detección de palíndromos, letras de DNI, áreas y perímetros de polígonos, ley de Chargaff, derivación de polinomios, y solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento contiene 41 ejercicios de matemáticas que abarcan temas como ecuaciones, sistemas de ecuaciones, funciones, geometría y estadística. Los ejercicios van desde operaciones básicas hasta problemas más complejos que requieren varios pasos para resolver. El documento proporciona todos los detalles necesarios para que el lector pueda entender y resolver cada uno de los ejercicios planteados.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
Este documento describe el método de Riemann para calcular el área bajo una curva. La integral definida divide el intervalo en subintervalos y suma los productos entre el valor de la función y el ancho de cada subintervalo. También explica cómo calcular áreas en coordenadas polares y resuelve ejemplos numéricos.
Este documento contiene 22 ejercicios sobre derivadas de funciones. Los ejercicios cubren temas como calcular derivadas, determinar puntos críticos, hallar ecuaciones de rectas tangentes y normales, y analizar funciones para determinar intervalos de monotonía y puntos de inflexión. Los ejercicios también incluyen aplicaciones económicas como maximizar ganancias de monopolios.
Este documento presenta 15 ejercicios sobre interpolación polinomial. Los ejercicios cubren temas como polinomios de Lagrange, Newton y Hermite, así como spline cúbicos naturales. Se piden calcular polinomios que interpolen diferentes tablas de datos, obtener tablas de diferencias divididas y gráficas de funciones spline. El objetivo general es practicar diferentes métodos de interpolación numérica.
Tema iv v aplicacion de la integral y coordenadas polares utsJulio Barreto Garcia
Este documento presenta tres oraciones o menos:
1) El documento explica cómo calcular el área entre las gráficas de dos funciones f(x) y g(x) mediante el cálculo de la integral del área entre las funciones. 2) También explica cómo calcular el volumen de un sólido de revolución girando una región bajo la gráfica de una función f(x) alrededor del eje x. 3) Incluye ejemplos detallados de cómo calcular estas cantidades.
Este documento trata sobre la aplicación de las integrales para calcular el área bajo una curva y el volumen de sólidos de revolución. Explica cómo calcular el área limitada por dos curvas usando integrales definidas, y cómo usar el método del disco y el método de las arandelas para calcular el volumen al girar una región alrededor de un eje. También incluye ejemplos resueltos de estas aplicaciones.
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Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
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Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
1. 1
Tarea departamental # 2 de Cálculo Multivariado
Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas
Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte
OPTIMIZACIÓN
1. Determine las ecuaciones de los planos
tangentes al gráfico de la función
22
y-x-16=)y,x(f en los puntos (0,0)
y (1,1). Ilustre gráficamente sus resultados
2. Calcule usando la aproximación lineal (o
sea, el plano tangente), el valor
aproximado de 32 cos59
sen .
Sugerencia: Visualice la expresión como
(30 2 )cos(60 1 )sen
y considere la
función ( , ) cosf x y senx y .
3. Determine el polinomio de Taylor de
orden 2 alrededor del punto ( , ,0)
2
para la función 2
3
:
( ) ( )cos( )
z
f
f x e sen x y
4. Encontrar el punto más cercano al origen
sobre la curva de intersección de el plano
x + y + z = 1 y el cono z2
= 2x2
+ 2y2
5. Una productora de leche desea
comercializar su producto en paquetes de
cartón con base cuadrada y lados
rectangulares. Minimiza la función costo
dependiente de las dimensiones de los
lados de la base x y de la altura y . Dicha
función es la siguiente:
2
( , ) 12 16C x y x xy
Asume además la condición de que cada
envase debe contener 10 decímetros
cúbicos. Utiliza multiplicadores de
Lagrange.
6. Se desea construir una caja rectangular
cerrada, fabricada con diferentes
materiales, de tal forma que le quepan 63
litros de un aceite industrial. Si los costos
de material de la tapa y de la base son de
300 y 400 pesos por cada metro cuadrado,
respectivamente, mientras que el de las
paredes laterales es de 150 pesos por metro
cuadrado, calcule las dimensiones y el
costo de la caja más económica posible, sin
utilizar el método de multiplicadores de
Lagrange.
7. La producción total P de cierto producto
depende de la cantidad L de mano de obra
empleada y de la cantidad K de capital
invertido. El modelo de Cobb-Douglas
1
P bL K
se sigue de ciertas
suposiciones económicas, donde b y
son constantes positivas y 1 . Si el
costo por unidad de mano de obra es m y
el costo por unidad de capital es n y la
compañía solo puede gastar p dólares
como su presupuesto total, entonces el
maximizar la producción P está sujeto a la
restricción mL nK p . Demuestre que la
máxima producción se obtiene cuando
p
L
m
y
(1 )p
K
n
.
8. Distribución de la producción.
Una empresa fabrica dos productos los
cuales deben procesarse en los
departamentos 1 y 2. El producto A requiere
3 horas por unidad en el departamento 1 y 4
horas por unidad en el departamento 2,
mientras que para el producto B se necesitan
2 horas por unidad en el departamento 1 y 6
horas por unidad en el departamento 2. La
capacidad de trabajo semanal es de 120 horas
para el departamento 1 y 260 horas para el
departamento 2. El margen respectivo de
utilidad es de $50 por unidad del producto A
y $60 pesos por unidad del producto B.
Determinar el número de unidades que hay
que fabricar de cada producto, con objeto de
maximizar la aportación total a los costos
fijos y a las utilidades.
Sugerencia: Asocie las variables ,x y al
número de unidades fabricadas y vendidas
respectivamente, de los productos A y B.
9. La temperatura Celsius T en un punto
( , , )x y z de la esfera con centro el origen y
2. 2
Tarea departamental # 2 de Cálculo Multivariado
Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas
Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte
de radio uno, viene dada por
2
( , , ) 10T x y z xy z . Halle los puntos de
la esfera en los que la temperatura es
máxima y los puntos en que es mínima.
Calcule la temperatura en cada uno de esos
puntos.
10. Una empresa fabrica tres productos
distintos. La fabricación de , ,x y z miles de
unidades, respectivamente, le reporta unos
beneficios de ( , , ) 4 8 6 P x y z x y z
miles de euros. Ciertas limitaciones del
proceso de producción imponen la
restricción 2 2 2
4 2 800 x y z . Calcular
el máximo beneficio posible para esa
empresa.
11. Dieta nutricional: Un dietista está planeando el menú de la cena de un comedor universitario.
Se servirán tres alimentos principales, todos ellos con diferente contenido nutricional. El dietista
quiere suministrar por lo menos la ración mínima diaria de las tres vitaminas en la cena. En la
tabla se sintetiza el contenido vitamínico por onza de cada tipo de alimento, el costo de una onza
de cada alimento y la ración diaria mínima de las tres vitaminas. Puede seleccionarse cualquier
combinación de los tres comestibles con la condición de que el tamaño de la porción total sea de
9 onzas por lo menos.
Vitamina
Alimento 1 2 3 Costo por onza $
1 50mg 20mg 10mg 10
2 30mg 10mg 50mg 15
3 20mg 30mg 20mg 12
Ración diaria mínima 290mg 200mg 210mg
El problema radica en determinar el número de onzas de cada alimento que habrá de incluirse en la
cena y el objetivo es minimizar el costo de cada alimento a fin de satisfacer las raciones diarias
mínimas de las tres vitaminas, así como la restricción impuesta al tamaño de cada porción.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
12. Calcule las siguientes integrales:
b)
12
0 0
( cos 2)y x dydx
d) 2
0,1 0,1
xy
Q
x ye dxdy Q
a)
0 2
1 1
( log )x y dydx
b)
2
3
1
0
x
x
ydydx
c)
1
0 1
( )
x
e
x y dydx
1 1
2 2
0 0 1
xy
dxdy
x y
1
, [1,2] [0,1]
R
R
x y
13. Resuelve la integral
1 1
0
x
x
ye dy dx
de
dos maneras diferentes usando diferentes
órdenes de integración.
14. Calcula el volumen entre la
esfera 2 2 2
4x y z y el paraboloide
3. 3
Tarea departamental # 2 de Cálculo Multivariado
Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas
Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte
2 2
z x y . Utiliza coordenadas
cilíndricas.
15. Realiza la integral triple de la función
2
cos( )
( , , )
1
z yz
f x y z
x
en el
paralelogramo , 0, 0,1
4 2 2
.
16. Dibuje la región de integración
R asociada a las siguientes integrales,
después escriba la integral iterada
correspondiente si se intercambia el orden
de integración.
a)
1
2 20.5(4 )2
2 0
( , )
x
dx f x y dy
b)
1 10 (10 )/9
0 0 1 0
( , ) ( , )
x x
dx f x y dy dx f x y dy
17. Encuentra el volumen limitado por los
planos 0, 0, 0x y z y 1x y z
18. Expresa la integral triple xyzdV
en coordenadas cilíndricas, donde
2 2
{( , , ): 3 ,1 3}x y z x y x z .
Para determinar límites de integración
utiliza que cos( /3) cos( /3) 1/ 2 .
No evaluar la integral.
19. Evaluar la siguiente integral cambiando a
coordenadas polares :
1
1
2
2
1
1
22
)1ln(
x
x
dydxyx
20. Halle el volumen del sólido que se
encuentra debajo del paraboloide
2 2
z x y y arriba de la región
delimitada por la recta 2y x y la
parábola 2
.y x
21. Utiliza coordenadas cilíndricas para
calcular el volumen de una media naranja
de radio 2. Asume que las media naranja
esta centradas en (0,0,0) y se encuentran en
la región 0.x
22. Hallar el volumen del cuerpo en 3
limitado por las superficies indicadas.
a) 2 2
, 1 z x y z
b) 2 2
6, 1, 0, 0, 0 x y z x y x y z
c) 2 2 2 2 2 1/ 2
2 3 6, (2 3 ) , 0 x y z z x y z
23. Demuestra usando integración múltiple
que el volumen de la esfera de radio r es
34
3
r .
24. Demuestra usando integración múltiple
que el volumen del cono de altura h y radio
r en la base es 21
3
r h .
25. Demuestra usando la integral de arco que
la longitud de la circunferencia de radio r
es 2r .
26. Determina las coordenadas cilíndricas del
punto (2,1,1)
27. Escribe la ecuación del cono
2 2 2 2
( ) z a x y en coordenadas
esféricas.
28. Determina las coordenadas cartesianas del
siguiente punto dado en coordenadas
esféricas; (2, , )
2 2
29. Escribe la ecuación de la esfera
x2
+y2
+z2
=r2
en coordenadas cilíndricas.
30. Para la flor mostrada en la figura, dada en
coordenadas polares por 1 sin(4 )r t ,
calcula el área de en un pétalo.
4. 4
Tarea departamental # 2 de Cálculo Multivariado
Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas
Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte
31. Utilizando coordenadas cartesianas,
calcular el volumen del sólido que es
acotado arriba por el cilindro z = 4 – x2
, a
los lados por el cilindro x2
+ y2
= 4 , y
abajo por el plano xy.
32. Evaluar la siguiente integral doble :
2
0
dydxsenxyy
x
2
2
2
Ojo ¡ : La integral no es inmediata ¡
33. Intercambia el orden de integración en la
siguiente integral. No se necesita evaluar.
2
2 4
1
( , )
y
f x y dxdy.
CAMPOS VECTORIALES
34. Calcule la divergencia y el rotacional
asociado al siguiente campo vectorial:
2 2 3
( , , ) ( , , )
F x y z xyz x y z yz
35. Demuestre que si es una función escalar
con segundas derivadas continuas entonces
el rotacional del gradiente de es el
vector cero; es decir, ( ) 0
.
36. Demuestre que si en el campo vectorial
1 2 3( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))
F x y z F x y z F x y z F x y z
sus componentes tienen segundas
derivadas continuas, entonces la
divergencia del rotacional de
F es cero; es
decir, ( ) 0
F .
37. Haz la integral de línea del campo:
2
( , ) (2 , 1)F x y xy x .
38. Demuestra que considerando
2
:f , entonces la integral del
campo vectorial ,
f f
V
x y
a lo largo
de una curva cerrada que encierre una
región donde todas las parciales de
segundo orden estén definidas y sean
continuas es cero.
39. Demuestra que la integral del campo
( , , )F z y x z y x a lo largo de la
frontera del triángulo formado por los
puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) es igual a
2 3 veces el área del triángulo.
40. Hallar la masa total de una lámina
cuadrada de longitud 2, cuya masa en el
punto P es proporcional al cuadrado de la
distancia de P a la esquina inferior
izquierda. Encuentra el centro de masa de
la lámina.
41. Considera el campo vectorial
4
3
( , , ) ( , ,1)
4
x
F x y z x y y la curva
2 3
( ) ( , , )c t t t t . Calcula el trabajo de t=1
a t=2.
Indica qué es un campo conservativo y da un
ejemplo de uno de dichos campos.