Este documento contiene 20 problemas de álgebra que involucran conceptos como divisibilidad de polinomios, factorización, cocientes notables y divisores de polinomios. Los problemas van desde determinar si un polinomio es divisible por otro, hasta encontrar factores primos y divisores de polinomios más complejos. Cada problema viene con su resolución detallada paso a paso.

1. DIVISIBILIDAD
COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN
I
1. ¿Cuál será aquel polinomio
cuadrático de coeficiente principal 4,
capaz de ser divisible por 12x y
que al ser evaluado en (2) toma el
valor de 5?
A) 2
4x 4x 3 B) 2
4x 4x 3
C) 2
4x 4x 3 D) 2
4x 4x 2
E) 2
4x 4x 2
RESOLUCIÓN
Sea este Polinomio
2
x
P 4x ax b :
Por condición:
2
x
4x ax b 2x 1 .q '
2
1 1
4 a b 0
2 2
-a+2b=-2.............................(1)
Además: 2
x
4x ax b (x 2)q '' 5
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5
2a+b = 11 .........................(2)
De: 2(1)+(2) : 5b=-15 b=-3
En (2):2a=-8 a=-4
Conclusión: 2
x
P 4x 4x 3
RPTA.: C
2. ¿Para qué valor de “m” el polinomio:
2 2 2 2 2 2 2
x y z x y z m x yz
es divisible por (x+y+z)?
A) 4 B) 2 C) 1
D) -8 E) -4
RESOLUCIÓN
En la base a la identidad:
yzmxzyxzyx
2222222
z,y,x
'qzyx
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando:
(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0
-8=2m m=-4
RPTA.: E
3. Busque la relación que debe existir
entre “p” y“q” a fin de que el
polinomio:
3
x
P x 3px 2q
Resulte ser divisible por
2
ax
A) 23
qP B) 32
qP C) qP
D) 1q.P E) 2
qP
RESOLUCIÓN
Aplicando dos veces ruffini bajo el
principio de divisibilidad.
Si: 033
2
Pa
Pa
2 332
Pa
Reemplazando en: 01
R
3 3 3
3a 2q a 0 a q
223
qa
Conclusión: .qP
23
RPTA.: A
4. Determine “abc” sabiendo que el
polinomio :
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2
a
2q
apa 32
-a )pa( 32 3
23 aqap
-a 2
2a 01R
Pa 33 2
-2a
01R
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2
a
2q
apa 32
-a )pa( 32 3
23 aqap
-a 2
2a 01R
Pa 33 2
-2a
01R

2. 432
26 xxxbax)cb(caxP
es divisible por 13
2
xx
A) -2 B) -34 C) 40
D) -1360 E) 2720
RESOLUCIÓN
Por Teorema de divisibilidad
01 1
R'qxP xx
01 2
R''qxP xx
03 3
R'''qxP xx
Empleando Ruffini ( tres veces)
Si: a+b+c-4=0 a+b+c=4
b+c-6=0 b+c=6
a+b-38=0 a+b=38
en (1) c=-34
en (2) b=40
Luego: abc=2720.
RPTA.: E
5. Si el Polinomio:
;xxxP x
6116
23
es divisible
por: (x-a), (x-b) y (x-c)
indistintamente.
¿Cuál será el residuo de:
111111
accbbax
P x
?
A) 0 B)1
C) ab + bc + ca D) 1
D) ab + cb + ca
RESOLUCIÓN
Al ser divisible indistintamente lo
será también por el producto es
decir:
)x(x
q)cx)(bx)(ax(P
6116
23
xxx 3er grado Uno
(monico)
6116
23
xxx
abcxcabcabxcbax
23
De donde:
a + b + c = 6
ab +bc + cd= 11
abc= 6
Se pide:
x x x
P P P
x 11 1 1 c a b
x x
ab bc ca abc
Evaluando en x=1: 01
PR
RPTA.: A
6. ¿Cuál será aquella división notable
que genere al cociente
1
5253035
a...aaa .
A)
1
1
36
a
a
B)
1
1
5
40
a
a
C)
1
1
5
40
a
a
RESOLUCIÓN
Por principio teórico de signo y
variación de exponente de 5 en 5, es
la B.
RPTA.: B
7. Encuentre el valor de:
9
10 1 999
A) 1000001 B) 1010101
1
-1
-2
-2
1
-6
-2
(b+c)
-8
+2
1R
-6
2R
(a+b-8)
(c+a)
-8 a+b-8 a+2b+c-8
(a+b)
(a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)
6 -a-b+2
3
(a+b-2) b+c-6
-2
-6
-12
-36
a+b-38
3R

3. C) 1001001 D) 0
E) 1
RESOLUCIÓN
Acondicionando el divisor:
11010
110
110
110
110 1323
3
33
3
9
1001001
RPTA.: C
8. Sabiendo que el cociente de la
división 2
30
yx
yx
n
m
; consta de 10
términos.
Determine el valor de: n
m
A) 60 B) 8000 C) 20
3
D) 600 E) 8
RESOLUCIÓN
Por condición:
30 m
10
n 2
n=3
m=20
Luego: 20³ = 8000
RPTA.: B
9. Se desea conocer de cuántos
términos está constituido el cociente
de :
1
1
x
x
sabiendo que
236
1005010
xTTT
A) 396 B) 133 C) 132
D) 236 E) 131
RESOLUCIÓN
1 2 3 kx 1
x x x ...x ... 1
x 1
2
T 3
T k
T
10
10
T x
10 50 100 236
x .x .x x
50
50
T x
100
100
T x
3 160 236
x x
De donde: 2361603
3963
132
Luego: # términos=132+1=133
RPTA.: B
10. Si la división indicada: P
P
yx
yx
3
432
genera un cociente notable. Averigüe
al término antepenúltimo
A) 92
yx B) 6 324
x y
C) 36 360
x y D) 0
E) x6
y314
RESOLUCIÓN
Si la división indicada es notable,
debe cumplir que:
P 432
3 P
2
P 3.432
2 3 4
P 3.3 .2
2 2
P 3 .2 36
Luego:
12 12
3 36
36 432
3 36 1 1
3 36
x yx y
x y x y

4. 1 2 10 11 12
T T ... T T T
antepenúltimo
12 10 10 1
3 36 6 324
antep 10
T T x y x y
RPTA.: B
11. Después de dividir el cociente de
1
1
16
x
x
n
; Nn . Entre ;x 1 se
obtiene un nuevo cociente que al ser
dividido por 1
2
xx obtendremos
como residuo.
A) 0 B) -x C) x+1
D) x-1 E) 1
RESOLUCIÓN
Efectuando la división notable
6n
6n 1 6n 2 6n 3 2x 1
x x x x x 1
x 1
Luego en:
6n 1 6n 2 6n 3 2
x x x ... x x 1
x 1
Aplicando Ruffini
Existen “6n” términos
Existen “6n-1” términos
6n 2 6n 4 6n 6 4 2
x
q x x x ... x x 1
Finalmente en:
2
x
q x x 1
Según el teorema del residuo
Si: 2
x x 1 x
Que al evaluarlo en este valor
2
R q 1 0
Cero
RPTA.: A
12. Factor Primo de:
b,a
Q 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc
será:
A) 1+c B) 1+b C) 1+ab
D) 1+bc E) 1+abc
RESOLUCIÓN
Asociando:
bccbabccbQ b,a
11
Extrayendo factor común
abccbQ b,a
11
abcbQ b,a
111
a,b
Q 1 c 1 b 1 a
Constante
RPTA.: B
13. ¿Cuántos factores primos binómicos
admite el polinomio;
.Nn;xxxxXP
nn
x
1
232
A) 1 B) 2 C) 3
D) n E) ninguno
RESOLUCIÓN
Asociando de 2 en 2:
1
232
xxxxx.xP
nn
x
n 2 2 2
x
P x (x 1) x(x 1) (x 1)
11
2
xx)x(P
n
x
n
x
P (x 1)(x 1) x x 1
RPTA.: B
14. Uno de los divisores de:
bcaddcba 2
2222
Será:
A) a-b+c-d B) a+b-c+d
-1
1 1 1
-1 0
1 0 1
-1
... 1 1
...0 1
1
-1
00 … …...... ….....

5. C) a-b-c + d D) a+b+c-d
E) a-b-c-d
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
2 2 2 2
a b c d 2ad 2bc a =
2 2 2 2
a 2ad d b 2bc c =
2 2
a d b c
a d b c a d b c
RPTA.: A
15. ¿Cuál será el divisor trinomio del
polinomio en variables: m,n,p.
3 3 3
m n P n P m P m n ?
A) m-n-P B) m+n-P
C) m-n+P D) m+n+P
E) mn+nP+Pn
RESOLUCIÓN
Mediante la distribución en el
segundo y tercer término:
nPmPmnPnPnm
33333
Asociando:
)pn(mpnnPPnm
33223
PnPn
22
PnpnPn
(n-P) 3 2 2 2
m n P nP mn² mnP mP
(n-P) nmPnmnPnmm
222
(m+n)(m-n)
22
PnPmnmnm)Pn(
Pm(n)PmPmnm)Pn(
PnmPmnm)Pn(
RPTA.: D
16. El Polinomio:
113
3
yxxyyxy,xM
Será divisible por:
A) 1
22
yxyxyx
B) 1
22
yxyxyx
C) 1
22
yxyxyx
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
131
3
yxxyyxy,xM
Diferencia de cubos
2
M x, y x y 1 x y x y 1
-3xy(x+y-1)
Extrayendo el factor común
2 2
M x, y x y 1 x xy y x y 1
RPTA.: C
17. Un factor primo racional de:
279
33
abbaR a
; será:
A) a+b+3
B) a-b+3
C) ab-3(a+b)
D) 93
22
baabba
E) 93
22
baabba
RESOLUCIÓN
333
333
abbaR a
Corresponde a la identidad
Gaussiana, que proviene de:
baabbaba 3333
222
baabbacba 39
22
RPTA.: D
18. Cuántos divisores admitirá el
Polinomio:
……
…......
…...... …......

6. 82423342
yabyxabbxaP y;x
A) 8 B) 7 C) 15
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
Empleando el aspa simple:
82423342
yaby.xabbxaP y,x
22
xa
42
yb
2
bx
4
ay
424222
aybxybxaP y,x
4222
aybxbyaxbyaxP y,x
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: A
19. Halle la suma de los elementos de
aquellos Polinomios irreductibles que
se desprenden de:
2222224
2 yxzyxzQ z,y,x
A) 4x B) 4y C) 4z
D) 2(x-y) E) 2(x+y)
RESOLUCIÓN
Mediante un aspa simple
2222224
2 yxzyxzQ
2
z
2
yx
2
z
2
yx
2222
yxzyxzQ
yxzyxzyxzyxzQ z,y,x
Sumando estos elementos =4z
RPTA.: C
20. Un divisor del Polinomio:
x,y
P 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x
será:
A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y
D) 2x-3x E) 2x-5y+12
RESOLUCIÓN
Buscando la forma de un aspa doble:
0364815148
22
yxyxyxP y,x
4x -3y 0
2x 5y 12
125234 yxyxP y,x
RPTA.: B