Comparaciones multiples

1.
octava sección Metodología deInferencias simultáneas y comparaciones múltiples MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentos Mayo 2019 MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

2.
octava sección Contrastes entremedias de tratamientos Denición se supondrá que se tiene un solo factor de análisis con k niveles o tratamientos seleccionados previamente, de modo que sea aplicable el modelo de efectos jos. Para diseños factoriales, el análisis es similar si se supone que el factor en estudio tiene niveles jos. El problema de las estimaciones y pruebas de hipótesis sobre comparaciones entre tratamientos, han llamado la atención de muchos estadísticos y, actualmente, se dispone de una gran variedad de procedimientos para enfrentar su solución, los cuales se conocen como métodos de comparaciones múltiples. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

3.
octava sección Contrastes entremedias de tratamientos Denición se supondrá que se tiene un solo factor de análisis con k niveles o tratamientos seleccionados previamente, de modo que sea aplicable el modelo de efectos jos. Para diseños factoriales, el análisis es similar si se supone que el factor en estudio tiene niveles jos. El problema de las estimaciones y pruebas de hipótesis sobre comparaciones entre tratamientos, han llamado la atención de muchos estadísticos y, actualmente, se dispone de una gran variedad de procedimientos para enfrentar su solución, los cuales se conocen como métodos de comparaciones múltiples. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

4.
octava sección Contrastes entremedias de tratamientos Denición Las comparaciones múltiples entre tratamientos se clasican en comparaciones diseñadas y en comparaciones sugeridas por los datos o no diseñadas. Lo ideal es que el investigador conozca a fondo el fenómeno y formule, durante el diseño, aquellas comparaciones o contrastes que permitan responder a objetivos especícos. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

5.
octava sección Contrastes entremedias de tratamientos Denición Las comparaciones múltiples entre tratamientos se clasican en comparaciones diseñadas y en comparaciones sugeridas por los datos o no diseñadas. Lo ideal es que el investigador conozca a fondo el fenómeno y formule, durante el diseño, aquellas comparaciones o contrastes que permitan responder a objetivos especícos. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Denición COMPARACIONES DEMEDIAS POR PARES MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

7.
octava sección Diferencia MínimaSignicativas Denición (Metodo de Fisher (MDS, LSD) El procedimiento clásico para el análisis de comparaciones por pares fue el de Fisher, conocido como método de la mínima diferencia signicativa, MDS, y consta de un conjunto de pruebas t entre pares de medias Las pruebas de comparaciones por pares tienen los mismos supuestos requeridos en el ANOVA: normalidad de las poblaciones y homogeneidad de varianzas. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Denición (Metodo de Fisher (MDS, LSD) El procedimiento clásico para el análisis de comparaciones por pares fue el de Fisher, conocido como método de la mínima diferencia signicativa, MDS, y consta de un conjunto de pruebas t entre pares de medias Las pruebas de comparaciones por pares tienen los mismos supuestos requeridos en el ANOVA: normalidad de las poblaciones y homogeneidad de varianzas. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Denición (Metodo de Fisher (MDS, LSD) 1 El ANOVA estándar generalmente al 5%. Si no se rechaza H0, el proceso termina y se concluye que no hay suciente evidencia en los datos para sustentar diferencias entre medias poblaciones 2 Si se rechaza H0, el segundo paso consiste en aplicar la prueba t de diferencia de medias a cada par de medias con el mismo α del ANOVA. Si la prueba t es no signicativa, las dos medias se asignarán a un mismo grupo; si es signicativa, estas se ubicarán en grupos diferentes. Mediante este proceso se logra una agrupación de medias que proporciona información rápida y completa. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Denición (Metodo de Fisher (MDS, LSD) 1 El ANOVA estándar generalmente al 5%. Si no se rechaza H0, el proceso termina y se concluye que no hay suciente evidencia en los datos para sustentar diferencias entre medias poblaciones 2 Si se rechaza H0, el segundo paso consiste en aplicar la prueba t de diferencia de medias a cada par de medias con el mismo α del ANOVA. Si la prueba t es no signicativa, las dos medias se asignarán a un mismo grupo; si es signicativa, estas se ubicarán en grupos diferentes. Mediante este proceso se logra una agrupación de medias que proporciona información rápida y completa. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Denición (Metodo de Fisher (MDS, LSD) La mínima diferencia signicativa que sirve de comparación se calcula como: MDS = tα 2 ,ϑ MCE 1 ri + 1 rj ) donde ri y rj son las repeticiones de los dos tratamientos comparados y ϑ = N − k MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Ejemplo Un investigador en farmacia quiso comparar diferencias en los tiempos de desintegración de cuatro tipos de pastillas, A, B, C y D. Para ello seleccionó seis pastillas al azar de cada tipo y midió los tiempos de desintegración; así obtuvo los datos de la tabla (adaptado de Anderson y MacLean, 1974). A B C D 6 10 3 10 2 8 7 4 5 11 6 6 4 7 4 6 6 7 8 7 7 9 6 8 Totales 30 52 34 41 Medias 5 8.7 5.7 6.8 MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Ejemplo Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F) Pastillas 3 46.46 15.49 4.59 0.0133 Residuals 20 67.50 3.38 A B C D 246810 MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Ejemplo Figure: Gráco de medias 46810 Pastillas Tiempo q q q q A B C D n=6 n=6 n=6 n=6 MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Ejemplo Para saber cuáles pares de medias son estadísticamente diferente se establecen seis combinaciones:H0 : µA = µB vs HA : µA = µB H0 : µA = µC vs HA : µA = µC H0 : µA = µD vs HA : µA = µD H0 : µB = µC vs HA : µB = µC H0 : µB = µD vs HA : µB = µD H0 : µC = µD vs HA : µC = µD Se halla el MDS: MDS = t0.025,20 2MCE n = 2.09 2 × 3.38 6 = 2.22 MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Diferencia MínimaSignicativas Ejemplo Si la distancia entre dos medias no supera al MDS (2.22), se dice que son no signicativa, por tanto se consideran iguales. En caso contrario se decidirá que la diferencia es signicativa. Diferencia Poblacional Diferencia muestral en valor absoluto Decisión µA − µB 3.7 2.22∗ Signicativa µA − µC 0.7 2.22 No signicativa µA − µC 1.8 2.22 No signicativa µB − µC 3 2.22∗ Signicativa µB − µD 1.9 2.22 No signicativa µD − µC 1.1 2.22 No signicativa MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Método deDuncan. Denición (RMD) Otro método de comparaciones por pares es el del rango múltiple de Duncan, RMD. Es un método que proporciona mejor potencia que los anteriores, pero no protege al investigador con respecto a la probabilidad de error de tipo I. 1 se ordenan las medias y se prepara una tabla de diferencias de medias de modo que se forme un arreglo triangular 2 se calculan rangos críticos estudentizados según el número de medias incluidas en el grupo de comparación, de aquí que se le llame prueba de rango múltiple MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Método deDuncan. Denición (RMD) Los rangos estudentizados de Duncan rα (p, gl ) deben leerse en las tablas proporcionadas por Duncan (véase tabla A. 12), y los rangos mínimos signicativos se calculan con Rp = rα p, gl MCE/n . Si alguno o todos los tratamientos tienen tamaños diferentes, se reemplaza n por la media armónica de las {ni}, que está dada por: nAR = k k i=1 1 ni [2] MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Método deDuncan. Denición (RMD) Los rangos estudentizados de Duncan rα (p, gl ) deben leerse en las tablas proporcionadas por Duncan (véase tabla A. 12), y los rangos mínimos signicativos se calculan con Rp = rα p, gl MCE/n . Si alguno o todos los tratamientos tienen tamaños diferentes, se reemplaza n por la media armónica de las {ni}, que está dada por: nAR = k k i=1 1 ni [2] MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Método deDuncan. Ejemplo En una granja experimental, se estudió la producción de lana en cada esquileo de ovejas durante seis periodos a intervalos de seis meses (adaptado de Das y Giri, 1986). Los promedios en onzas por esquileo fueron, en orden creciente de rendimiento, los siguientes: A B C D E F 16.91 20.70 20.81 24.5 26.12 31.62 [1] MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Método deDuncan. Ejemplo En una granja experimental, se estudió la producción de lana en cada esquileo de ovejas durante seis periodos a intervalos de seis meses (adaptado de Das y Giri, 1986). Los promedios en onzas por esquileo fueron, en orden creciente de rendimiento, los siguientes: A B C D E F 16.91 20.70 20.81 24.5 26.12 31.62 [1] MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Método deDuncan. Ejemplo El diseño fue de tipo factorial, y en el análisis estadístico se encontró que una estimación para la varianza era MCE = 25.78, con 10 gl y r = 24. Además, la prueba F del ANOVA fue signicativa con α 0.01. p rα (p, gl ) Rp 2 4.07 4.22 3 4.27 4.43 4 4.39 4.55 5 4.46 4.62 6 4.53 4.70 MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Método dela diferencia Signicativa Honesta de Tukey Denición MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Denición Un contraste es una comparación entre las medias de los tratamientos expresada como una combinación lineal de la forma: Q = k j=1 cjµj donde los coecientes cj deben satisfacer la condición j cj = 0. Se supone que cada tratamiento está repetido r veces, es decir, que se tiene un diseño balanceado. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Denición (Contrastes Ortogonales) Dos contrastes Q1 = k j=1 cjµj y Q1 = k j=1 djµj son ortogonales o independientes solo si k j=1 cjdj = 0; en caso contrario son no ortogonales (están correlacionados). MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Ejemplo (ContrastesOrtogonales) Supóngase, por ejemplo, que un experimento se diseñó para comparar el efecto nutricional de varias raciones de alimento en la producción de leche de vacas lecheras. Los tratamientos seleccionados, esto es, los alimentos, fueron: 1 el estándar con el 9% de proteína, 2 el estándar con el 13% de proteína 3 urea con el 9% de proteína 4 urea con el 13% de proteína 5 amonio con el 13% dé proteína MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Ejemplo (ContrastesOrtogonales) Algunas preguntas que el investigador puede formularse en este experimento son: 1 ¾Se diferencia el promedio entre la urea y el amonio del promedio del alimento estándar, como fuente de nitrógeno en raciones con un 13% de proteína? 2 ¾Son la urea y el amonio diferentes entre sí al aplicarse con el 13% de proteína? 3 ¾Es la urea equivalente al alimento convencional en raciones con el 9% de proteína? 4 ¾Es igual la producción de leche con el alimento estándar que con el amonio? 5 Si se usa urea, ¾sería igual la producción de leche con raciones al 9% que con raciones al 13% de proteína? MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Ejemplo (ContrastesOrtogonales) cada una de las preguntas formuladas puede expresarse como un contraste entre medias: Para la primera pregunta: µ2 − (µ4 + µ5 )/2 o de la forma 2µ2 − µ4 − µ5 ♣ c1 = c3 = 0 c2 = 2, c4 = c5 = −1 j cj = MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Para responderlas preguntas es necesario plantearla como una hipótesis estadística H0 : Qi = 0 vs H1 : Qi = 0 Q2 = j djµj = ¾Son ortogonales Q1 y Q2? j djcj = MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Denición (Análisis de Contrastes Ortogonales) Los contrastes entre medias de tratamientos pueden analizarse mediante la prueba t de Student, la prueba F o los intervalos de conanza. Un contraste, como ya se dijo, es una combinación lineal de medias µ en general una combinación lineal de parámetros que puede estimarse reemplazando las medias µ por sus estimadores ¯y.j . Entonces, un estimador de Q es ˆQ = j cj ¯y.j, la cual es una v. a. con valor esperado E ˆQ = j cjµj = Q y varianza V ˆQ = σ2/r j c2 j , aquí σ2 es la varianza común a todos los tratamientos estimada por la MCE del ANOVA y r es el número de repeticiones por tratamiento. MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Denición (Análisis de Contrastes Ortogonales) Para probar: H0 : Q = 0 se calcula el cociente F = SC ˆQ )/MCE , donde SC ˆQ = r ˆQ2 / c2 j con 1 gl. También puede calcularse t = ˆQ/S ˆQ ), donde S ˆQ ) es un estimador de la desviación estándar de ˆQ. Un intervalo de conanza para Q se construye como ˆQ ± tα/2,ϑ S ˆQ ) MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Denición (Análisis de Contrastes Ortogonales) Para probar hipótesis sobre contrastes es preferible usar la prueba F, pero calculando el numerador como una combinación lineal de totales Tj en vez de medias y.j. En este caso ˆQ = j cjTj, E ˆQ = r j cjµj , V ˆQ = rσ2 j c2 j y la suma de cuadrados de ˆQ es SC ˆQ = Q2/r j c2 j MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Denición (Análisis de Contrastes Ortogonales) Para probar hipótesis sobre contrastes es preferible usar la prueba F, pero calculando el numerador como una combinación lineal de totales Tj en vez de medias y.j. En este caso ˆQ = j cjTj, E ˆQ = r j cjµj , V ˆQ = rσ2 j c2 j y la suma de cuadrados de ˆQ es SC ˆQ = Q2/r j c2 j MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Ejemplo (Análisis de Contrastes Ortogonales) Se diseñó un experimento para comparar la longitud de las secciones de guisantes sembrados en un cultivo de tejidos, cuyo medio contenía auxina. El objetivo del experimento era contrastar los efectos de la adición de diferentes azúcares en el crecimiento, expresado por la longitud alcanzada. Se utilizaron cinco tratamientos: cuatro grupos experimentales y un control sin azúcar (véase tabla 6.2). Entre los grupos experimentales se ensayaron tres azúcares por aparte glucosa, fructosa y sacarosa y una mezcla de glucosa y fructosa. En la tabla 6.2, el control corresponde al primer tratamiento, el segundo tratamiento es glucosa al 2%, etc. Se hicieron diez repeticiones para cada tratamiento en un diseño completamente aleatorizado (adaptado de Sokal y Rohlf, 1995). MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Ejemplo (Análisis de Contrastes Ortogonales) El experimento se diseñó para responder, especícamente, a las siguientes preguntas: 1 ¾Se afecta la longitud de las secciones de guisantes por la adición de azúcares? 2 ¾Habrá diferencias de longitud al adicionar azúcares puros y azúcares mezclados? 3 ¾Habrá diferencias entre agregar disacáridos sacarosay monosacáridos glucosa, fructosa, glucosa + fructosa? 4 ¾Habrá diferencias entre glucosa y fructosa? MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Contrastes entremedias de tratamiento Ejemplo (Análisis de Contrastes Ortogonales) El experimento se diseñó para responder, especícamente, a las siguientes preguntas: 1 ¾Se afecta la longitud de las secciones de guisantes por la adición de azúcares? 2 ¾Habrá diferencias de longitud al adicionar azúcares puros y azúcares mezclados? 3 ¾Habrá diferencias entre agregar disacáridos sacarosay monosacáridos glucosa, fructosa, glucosa + fructosa? 4 ¾Habrá diferencias entre glucosa y fructosa? MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Polinomios Ortogonales. Denición MsCEdgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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octava sección Bibliográa Díaz, A.,Diseño estadístico de experimentos, Universidad de Antioquia, 2a edición, Medellin, 2009 Gutiérrez, H. and De la Vara, R., Análisis y diseño de experimentos. Mc Graw Hill, 3a edición Mexico, D.F., 2012. Montgomery, D. Diseño y análisis de experimentos. Iberoamérica S.A., Mexico, D.F., 1991. Samuels, M.L. and Witmer, J.A. and Schaner, A.A., Fundamentos de estadística para las ciencias de la vida, Pearson, 4a edición, Madrid. 2012 MsC Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Análisis y diseño de experimentosMetodología de Inferencias simultáneas y comparaciones m

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