Este documento describe distribuciones discretas como la distribución discreta uniforme y la distribución binomial. Explica que una variable aleatoria tiene distribución discreta uniforme si su función de probabilidad toma valores iguales para cada uno de un conjunto finito de valores posibles. Luego define la distribución binomial como la que modela el número de éxitos en una serie de pruebas independientes, cada una con la misma probabilidad de éxito p. Proporciona fórmulas y propiedades de ambas distribuciones, así como ejemplos ilustrativos.

1. Distribuciones discretas
MSc Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística I
2017
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 1 / 19

2. Distribución Discreta Uniforme
Denición (distribución discreta uniforme)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución discreta uniforme de
parámetro N, donde N es un entero positivo, si su función másica de
probabilidad está dada por:
f(x) =



1
N
si x = 1, 2, . . . , N
0 e.c.o.c
La función de densidad tiene la forma que presenta la gura 1.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 2 / 19

3. Distribución Discreta Uniforme
Denición (distribución discreta uniforme)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución discreta uniforme de
parámetro N, donde N es un entero positivo, si su función másica de
probabilidad está dada por:
f(x) =



1
N
si x = 1, 2, . . . , N
0 e.c.o.c
La función de densidad tiene la forma que presenta la gura 1.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 2 / 19

4. Figure: 1 Función de densidad de una distribución uniforme discreta
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 3 / 19

5. Teorema (propiedades de la distribución discreta)
Si X es una variable aleatoria con distribución discreta uniforme de
parámetro N entonces:
1 µX = E X =
N + 1
2
2 σ2
X = V ar X =
N2 − 1
12
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 4 / 19

6. Teorema (propiedades de la distribución discreta)
Si X es una variable aleatoria con distribución discreta uniforme de
parámetro N entonces:
1 µX = E X =
N + 1
2
2 σ2
X = V ar X =
N2 − 1
12
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 4 / 19

7. La distribución binomial
Denición (Modelo de pruebas independientes)
Se realiza una serie de n pruebas independientes. Cada prueba puede
resultar un éxito o un fracaso.La probabilidad de éxito es igual a la misma
cantidad, p, en cada prueba, independientemente del resultado de las otras
pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 5 / 19

8. La distribución binomial
Denición (Modelo de pruebas independientes)
Se realiza una serie de n pruebas independientes. Cada prueba puede
resultar un éxito o un fracaso.La probabilidad de éxito es igual a la misma
cantidad, p, en cada prueba, independientemente del resultado de las otras
pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 5 / 19

9. La distribución binomial
Denición (Modelo de pruebas independientes)
Se realiza una serie de n pruebas independientes. Cada prueba puede
resultar un éxito o un fracaso.La probabilidad de éxito es igual a la misma
cantidad, p, en cada prueba, independientemente del resultado de las otras
pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 5 / 19

10. La distribución binomial
Denición (Modelo de pruebas independientes)
Se realiza una serie de n pruebas independientes. Cada prueba puede
resultar un éxito o un fracaso.La probabilidad de éxito es igual a la misma
cantidad, p, en cada prueba, independientemente del resultado de las otras
pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 5 / 19

11. La distribución binomial especica las probabilidades de diversos números
de éxitos y fracasos cuando la operación aleatoria básica consiste en n
pruebas independientes.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 6 / 19

12. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 7 / 19

13. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 7 / 19

14. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 7 / 19

15. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 7 / 19

16. Una variable aleatoria binomial es una variable que satisface las siguientes
cuatro condicines,
1 Resultados Binarios: solo hay dos posibles resultados para cada prueba
(éxito o fracaso).
2 Pruebas Independientes: los resultados de las pruebas son
independientes entre sí.
3 n es jo: el número de pruebas n, se ja al principio.
4 Mismo valor de p: la probabilidad de éxito en una sola prueba es la
misma en todas las pruebas.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 7 / 19

17. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 8 / 19

18. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 8 / 19

19. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 8 / 19

20. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 8 / 19

21. Denición (La fórmula de la distribución binomial)
Dada una variable aleatoria binomial X, la probabilidad de que en n pruebas
ocurran j éxitos (y n − j fracasos) viene dada por la siguiente fórmula:
P j exitos = P X = j =
n
j
pj
(1 − p)n−j
Teorema (propiedades de la distribución binomial)
Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y
p. Entonces:
E (X )= np
V ar (X )= npq ; donde q := 1 − p
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 8 / 19

22. Ejemplo
Utilizar la fórmula de la distribución binomial para n = 5
Éxitos j Fracasos 1 − j Probabilidad
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 9 / 19

23. Ejemplo (Vuelos)
US Airways tiene cinco vuelos diarios de Pittsburgh al Aeropuerto Regional
de Bradford,Pennsylvania. Suponga que la probabilidad de que cualquier
vuelo llegue tarde sea de 0.20. ¾Cuál es la probabilidad de que ninguno de
los vuelos llegue tarde hoy? ¾Cuál es la probabilidad de que exactamente
uno de los vuelos llegue tarde hoy?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 10 / 19

24. 0 1 2 3 4 5
0.00.10.20.30.4
Distribución de probabilidad del número de vuelos retrasados
Número de vuelos retrasado
probabilidad
q
q
q
q
q q
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 11 / 19

25. Construyendo la gráca de la distribución de probabilidad:
plot(mutantes,Probabilidad, xlab=Número de
mutantes,type=h,main=Distribución binomial, p=.37, n=5)
points(mutantes,Probabilidad, pch=16)
abline(h=0, col=gray)
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 12 / 19

26. 0 1 2 3 4 5
0.000.050.100.150.200.250.300.35
Distribución binomial, p=.37, n=5
Número de mutantes
Probabilidad
q
q
q
q
q
q
Figure: funcion de probabilidad binomial con n = 5 y p = 0.37
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 13 / 19

27. Construyendo la gráca de la función de distribución:
.x - rep(mutantes, rep(2, length(mutantes)))
plot(.x[-1], pbinom(.x, size=5, prob=0.37)[-length(.x)],
xlab=Número de mutantes, ylab=Probabilidad acumulada,
main=Distribución Binomial: n = 25, p = 0.37, type=l)
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 14 / 19

28. Construyendo la gráca de la función de distribución:
.x - rep(mutantes, rep(2, length(mutantes)))
plot(.x[-1], pbinom(.x, size=5, prob=0.37)[-length(.x)],
xlab=Número de mutantes, ylab=Probabilidad acumulada,
main=Distribución Binomial: n = 25, p = 0.37, type=l)
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 14 / 19

29. distribución binomial con n = 5 y p = 0.37
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 15 / 19

30. Ejemplo
Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de
inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una
muestra aleatoria de nueve personas, ¾cuál es la probabilidad de que:
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?
P(X = 2) =
exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?
ninguna persona lo haya empleado?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 16 / 19

31. Ejemplo
Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de
inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una
muestra aleatoria de nueve personas, ¾cuál es la probabilidad de que:
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?
P(X = 2) =
exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?
ninguna persona lo haya empleado?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 16 / 19

32. Ejemplo
Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de
inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una
muestra aleatoria de nueve personas, ¾cuál es la probabilidad de que:
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?
P(X = 2) =
exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?
ninguna persona lo haya empleado?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 16 / 19

33. Ejemplo
Un estudio de la American Society of Investors descubrió que 30% de
inversionistas particulares había utilizado un agente de descuentos. En una
muestra aleatoria de nueve personas, ¾cuál es la probabilidad de que:
exactamente dos personas hayan utilizado un agente de descuentos?
P(X = 2) =
exactamente cuatro personas hayan recurrido a él?
ninguna persona lo haya empleado?
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 16 / 19

34. Denición
Para X ∼ Binom(n, p)), la función de distribución acumulativa será
denotada por
FX(x) = P(X ≤ x) = B(x; n, p) =
y
x=0
b(y; n, p) x = 0, 1, 2, . . . , n
Ejemplo
Suponga que 20% de todos los ejemplares de un libro de texto particular no
pasan una prueba de resistencia de encuadernación. Sea X el número entre
15 ejemplares seleccionados al azar que no pasan la prueba. Entonces X
tiene una distribución binomial con n = 15 y p = 0.2.a
a
ejemplo 3.32. Devore, Probabilidad y estadística para ingenieros y ciencias,
7a ed.
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 17 / 19

35. La probabilidad de que cuando mucho 8 no pasen la prueba es
La probabilidad de que exactamente 8 fallen es
La probabilidad de que por lo menos 8 fallen es
Finalmente, la probabilidad de que entre 4 y 7, inclusive, fallen es
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 18 / 19

36. La probabilidad de que cuando mucho 8 no pasen la prueba es
La probabilidad de que exactamente 8 fallen es
La probabilidad de que por lo menos 8 fallen es
Finalmente, la probabilidad de que entre 4 y 7, inclusive, fallen es
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 18 / 19

37. La probabilidad de que cuando mucho 8 no pasen la prueba es
La probabilidad de que exactamente 8 fallen es
La probabilidad de que por lo menos 8 fallen es
Finalmente, la probabilidad de que entre 4 y 7, inclusive, fallen es
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 18 / 19

38. La probabilidad de que cuando mucho 8 no pasen la prueba es
La probabilidad de que exactamente 8 fallen es
La probabilidad de que por lo menos 8 fallen es
Finalmente, la probabilidad de que entre 4 y 7, inclusive, fallen es
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 18 / 19

39. Denición (Distibución binomial negativa y geométrica)
Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución binomial negativa
parámetros k y p, si su función de densidad está dada por:
MSc Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 19 / 19