El documento presenta conceptos básicos sobre variables aleatorias discretas. Define una variable aleatoria como una función que asigna valores reales a los resultados de un experimento aleatorio. Explica que una variable aleatoria discreta toma valores de forma finita o contable infinita, y presenta ejemplos como el número de caras que salen al lanzar una moneda. También define la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta y cómo calcular su media y varianza.

1. Variables aleatoria
Parte I
MSc Edgar Madrid Cuello.
Dpto. de Matemática, UNISUCRE
Estadística I
2018
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 1 / 21

2. Novena sección
Denición (DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD)
Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada
a cada uno de ellos. [1]
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1,
inclusive.
Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de
los diversos eventos es igual a 1. [1]
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3. Novena sección
Denición (DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD)
Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada
a cada uno de ellos. [1]
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1,
inclusive.
Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de
los diversos eventos es igual a 1. [1]
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4. Novena sección
Denición (DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD)
Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada
a cada uno de ellos. [1]
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1,
inclusive.
Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de
los diversos eventos es igual a 1. [1]
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5. Novena sección
Denición (DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD)
Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada
a cada uno de ellos. [1]
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1,
inclusive.
Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de
los diversos eventos es igual a 1. [1]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 2 / 21

6. Novena sección
Denición (DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD)
Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada
a cada uno de ellos. [1]
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1,
inclusive.
Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de
los diversos eventos es igual a 1. [1]
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7. Novena sección
Denición (DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD)
Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada
a cada uno de ellos. [1]
CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1,
inclusive.
Los resultados son eventos mutuamente excluyentes.
La lista es exhaustiva. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de
los diversos eventos es igual a 1. [1]
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8. Novena sección
Ejemplo
Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres
lanzamientos de una moneda.
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9. Novena sección
Denición (Variables aleatorias)
Una variable aleatoria es una función de valor real para la cual el dominio
es un espacio muestral. [3]
Ejemplo (Dado)
Consideremos la operación aleatoria de lanzar un dado. Sea la variable
aleatoria Y que representa el número de puntos que se muestran en la cara
superior.
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10. Novena sección
Denición (Variables aleatorias)
Una variable aleatoria es una función de valor real para la cual el dominio
es un espacio muestral. [3]
Ejemplo (Dado)
Consideremos la operación aleatoria de lanzar un dado. Sea la variable
aleatoria Y que representa el número de puntos que se muestran en la cara
superior.
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11. Novena sección
Denición (Variables aleatorias)
Una variable aleatoria es una función de valor real para la cual el dominio
es un espacio muestral. [3]
Ejemplo (Dado)
Consideremos la operación aleatoria de lanzar un dado. Sea la variable
aleatoria Y que representa el número de puntos que se muestran en la cara
superior.
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12. Novena sección
Denición
La probabilidad de que Y tome el valor y, P (Y = y), se dene como la
suma de las probabilidades de todos los pntos muestrales en Ω a los que se
asigna el valor y. A veces denotaremos P (Y = y) por p(y). [3]
Denición
La distribución de probabilidad para una variable discreta Y puede ser
representada por una fórmula, una tabla o una gráca que produzca
p (y) = P (Y = y) para toda y. [3]
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13. Novena sección
Denición
La probabilidad de que Y tome el valor y, P (Y = y), se dene como la
suma de las probabilidades de todos los pntos muestrales en Ω a los que se
asigna el valor y. A veces denotaremos P (Y = y) por p(y). [3]
Denición
La distribución de probabilidad para una variable discreta Y puede ser
representada por una fórmula, una tabla o una gráca que produzca
p (y) = P (Y = y) para toda y. [3]
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14. Novena sección
Denición
La probabilidad de que Y tome el valor y, P (Y = y), se dene como la
suma de las probabilidades de todos los pntos muestrales en Ω a los que se
asigna el valor y. A veces denotaremos P (Y = y) por p(y). [3]
Denición
La distribución de probabilidad para una variable discreta Y puede ser
representada por una fórmula, una tabla o una gráca que produzca
p (y) = P (Y = y) para toda y. [3]
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15. Novena sección
Denición
La probabilidad de que Y tome el valor y, P (Y = y), se dene como la
suma de las probabilidades de todos los pntos muestrales en Ω a los que se
asigna el valor y. A veces denotaremos P (Y = y) por p(y). [3]
Denición
La distribución de probabilidad para una variable discreta Y puede ser
representada por una fórmula, una tabla o una gráca que produzca
p (y) = P (Y = y) para toda y. [3]
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16. Novena sección
Denición
La probabilidad de que Y tome el valor y, P (Y = y), se dene como la
suma de las probabilidades de todos los pntos muestrales en Ω a los que se
asigna el valor y. A veces denotaremos P (Y = y) por p(y). [3]
Denición
La distribución de probabilidad para una variable discreta Y puede ser
representada por una fórmula, una tabla o una gráca que produzca
p (y) = P (Y = y) para toda y. [3]
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17. Novena sección
Denición
La probabilidad de que Y tome el valor y, P (Y = y), se dene como la
suma de las probabilidades de todos los pntos muestrales en Ω a los que se
asigna el valor y. A veces denotaremos P (Y = y) por p(y). [3]
Denición
La distribución de probabilidad para una variable discreta Y puede ser
representada por una fórmula, una tabla o una gráca que produzca
p (y) = P (Y = y) para toda y. [3]
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18. Novena sección
Ejemplo (Tamaño de familia)
Supongamos que se escoge aleatoriamente una familia de una cierta
población, y sea la variable aleatoria Y que indica el número de hijos de la
familia elegida. Los valores posibles de Y son 0, 1,2, 3,. . . La probabilidad
de que Y tenga un valor concreto es igual al porcentaje de familias con ese
número de hijos. Por ejemplo, si el 23% de las familias tienen dos hijos,
entonces P(Y = 2) = 0,23
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19. Novena sección
Denición (VARIABLE ALEATORIA DISCRETA )
Se dice que una variable aleatoria Y es discreta si puede tomar sólo un
número nito o contable innito de valores distintos. [3]
Ejemplo
Un supervisor en una planta manufacturera tiene tres hombres y tres
mujeres trabajando para él y desea escoger dos trabajadores para un trabajo
especial. No queriendo mostrar sesgo en su selección, decide seleccionar los
dos trabajadores al azar. Denote con Y el número de mujeres en su
selección. Encuentre la distribución de probabilidad para Y . [3]
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20. Novena sección
Denición (VARIABLE ALEATORIA DISCRETA )
Se dice que una variable aleatoria Y es discreta si puede tomar sólo un
número nito o contable innito de valores distintos. [3]
Ejemplo
Un supervisor en una planta manufacturera tiene tres hombres y tres
mujeres trabajando para él y desea escoger dos trabajadores para un trabajo
especial. No queriendo mostrar sesgo en su selección, decide seleccionar los
dos trabajadores al azar. Denote con Y el número de mujeres en su
selección. Encuentre la distribución de probabilidad para Y . [3]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 7 / 21

21. Novena sección
Denición (VARIABLE ALEATORIA DISCRETA )
Se dice que una variable aleatoria Y es discreta si puede tomar sólo un
número nito o contable innito de valores distintos. [3]
Ejemplo
Un supervisor en una planta manufacturera tiene tres hombres y tres
mujeres trabajando para él y desea escoger dos trabajadores para un trabajo
especial. No queriendo mostrar sesgo en su selección, decide seleccionar los
dos trabajadores al azar. Denote con Y el número de mujeres en su
selección. Encuentre la distribución de probabilidad para Y . [3]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 7 / 21

22. Novena sección
Denición (VARIABLE ALEATORIA DISCRETA )
Se dice que una variable aleatoria Y es discreta si puede tomar sólo un
número nito o contable innito de valores distintos. [3]
Ejemplo
Un supervisor en una planta manufacturera tiene tres hombres y tres
mujeres trabajando para él y desea escoger dos trabajadores para un trabajo
especial. No queriendo mostrar sesgo en su selección, decide seleccionar los
dos trabajadores al azar. Denote con Y el número de mujeres en su
selección. Encuentre la distribución de probabilidad para Y . [3]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 7 / 21

23. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
Denición
La media de una variable aleatoria discreta se dene como
µY = yiP (Y = yi )
siendo yi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.
La media de una variable aleatoria se conoce también como valor esperado
y se expresa frecuentemente como E(Y ); es decir, E(Y ) = µY
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24. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
Denición
La media de una variable aleatoria discreta se dene como
µY = yiP (Y = yi )
siendo yi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.
La media de una variable aleatoria se conoce también como valor esperado
y se expresa frecuentemente como E(Y ); es decir, E(Y ) = µY
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 8 / 21

25. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
Denición
La media de una variable aleatoria discreta se dene como
µY = yiP (Y = yi )
siendo yi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.
La media de una variable aleatoria se conoce también como valor esperado
y se expresa frecuentemente como E(Y ); es decir, E(Y ) = µY
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 8 / 21

26. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
En el caso de una variable aleatoria discreta, podemos calcular la media
poblacional y la desviación típica poblacional si conocemos la distribución
de probabilidad de dicha variable aleatoria.
Denición
La media de una variable aleatoria discreta se dene como
µY = yiP (Y = yi )
siendo yi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.
La media de una variable aleatoria se conoce también como valor esperado
y se expresa frecuentemente como E(Y ); es decir, E(Y ) = µY
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 8 / 21

27. Novena sección
Ejemplo (Llamadas de emergencias)
La información que sigue representa el número de llamadas diarias al
servicio de emergencia por el servicio voluntario de ambulancias de
Walterboro, Carolina del Sur, durante los últimos 50 días. En otras
palabras, hubo 22 días en los que se realizaron 2 llamadas de emergencia, y
9 días en los que se realizaron 3 llamadas de emergencia.
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28. Novena sección
Convierta esta información sobre el número de llamadas en una
distribución de probabilidad.
¾Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta o continua?
¾Cuál es la media de la cantidad de llamadas de emergencia al día?
¾Cuál es la desviación estándar de la cantidad de llamadas diarias?
Ver ejercicio 5 página 194 de [1]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 10 / 21

29. Novena sección
Convierta esta información sobre el número de llamadas en una
distribución de probabilidad.
¾Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta o continua?
¾Cuál es la media de la cantidad de llamadas de emergencia al día?
¾Cuál es la desviación estándar de la cantidad de llamadas diarias?
Ver ejercicio 5 página 194 de [1]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 10 / 21

30. Novena sección
Convierta esta información sobre el número de llamadas en una
distribución de probabilidad.
¾Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta o continua?
¾Cuál es la media de la cantidad de llamadas de emergencia al día?
¾Cuál es la desviación estándar de la cantidad de llamadas diarias?
Ver ejercicio 5 página 194 de [1]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 10 / 21

31. Novena sección
Convierta esta información sobre el número de llamadas en una
distribución de probabilidad.
¾Es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta o continua?
¾Cuál es la media de la cantidad de llamadas de emergencia al día?
¾Cuál es la desviación estándar de la cantidad de llamadas diarias?
Ver ejercicio 5 página 194 de [1]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 10 / 21

32. Novena sección
Ejemplo (Dado)
Consideremos el lanzamiento de un dado perfectamente equilibrado, de
forma que cada una de sus seis caras tiene la misma probabilidad de salir, y
sea Y la variable aleatoria que representa el número de puntos que se
muestran. El valor esperado, o media de Y es
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 11 / 21

33. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
Como se observó, la media constituye un valor típico para resumir una
distribución de probabilidad discreta. Sin embargo, no describe el grado de
dispersión (variación) en una distribución. La varianza sí lo hace.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 12 / 21

34. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
Como se observó, la media constituye un valor típico para resumir una
distribución de probabilidad discreta. Sin embargo, no describe el grado de
dispersión (variación) en una distribución. La varianza sí lo hace.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 12 / 21

35. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
Para calcular la desviación típica de una variable, se calcula primero la
varianza, σ2 , de dicha variable aleatoria y después se extrae la raíz
cuadrada de la varianza, obteniéndose así la desviación típica, σ.
La varianza de una variable aleatoria discreta se dene como:
σ2
Y = yi − µY
2
P (Y = yi )
siendo yi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 13 / 21

36. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
Para calcular la desviación típica de una variable, se calcula primero la
varianza, σ2 , de dicha variable aleatoria y después se extrae la raíz
cuadrada de la varianza, obteniéndose así la desviación típica, σ.
La varianza de una variable aleatoria discreta se dene como:
σ2
Y = yi − µY
2
P (Y = yi )
siendo yi los valores que toma la variable aleatoria, y la suma se realiza
sobre todos los posibles valores.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 13 / 21

37. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
La media se resta de cada valor y la diferencia se eleva al cuadrado.
Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
Se suman los productos que resultan para obtener la varianza.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 14 / 21

38. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
La media se resta de cada valor y la diferencia se eleva al cuadrado.
Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
Se suman los productos que resultan para obtener la varianza.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 14 / 21

39. Novena sección
Media y varianza de variables aleatorias
La media se resta de cada valor y la diferencia se eleva al cuadrado.
Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
Se suman los productos que resultan para obtener la varianza.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 14 / 21

40. Novena sección
Ejemplo
Pizza Palace ofrece tres tamaños de refresco de cola chico, mediano y
grande para acompañar su pizza. Los refrescos cuestan $0.80, $0.90 y
$1.20, respectivamente. Treinta por ciento de los pedidos corresponde al
tamaño chico; 50%, al mediano, y 20%, al grande. Organice el tamaño de
los refrescos y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad.
¾Se trata de una distribución de probabilidad discreta? Indique por
qué.
Calcule la suma promedio que se cobra por refresco de cola.
¾Cuál es la varianza de la cantidad que se cobra por un refresco de
cola? ¾Cuál es la desviación estándar?
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 15 / 21

41. Novena sección
Ejemplo
Pizza Palace ofrece tres tamaños de refresco de cola chico, mediano y
grande para acompañar su pizza. Los refrescos cuestan $0.80, $0.90 y
$1.20, respectivamente. Treinta por ciento de los pedidos corresponde al
tamaño chico; 50%, al mediano, y 20%, al grande. Organice el tamaño de
los refrescos y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad.
¾Se trata de una distribución de probabilidad discreta? Indique por
qué.
Calcule la suma promedio que se cobra por refresco de cola.
¾Cuál es la varianza de la cantidad que se cobra por un refresco de
cola? ¾Cuál es la desviación estándar?
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42. Novena sección
Ejemplo
Pizza Palace ofrece tres tamaños de refresco de cola chico, mediano y
grande para acompañar su pizza. Los refrescos cuestan $0.80, $0.90 y
$1.20, respectivamente. Treinta por ciento de los pedidos corresponde al
tamaño chico; 50%, al mediano, y 20%, al grande. Organice el tamaño de
los refrescos y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad.
¾Se trata de una distribución de probabilidad discreta? Indique por
qué.
Calcule la suma promedio que se cobra por refresco de cola.
¾Cuál es la varianza de la cantidad que se cobra por un refresco de
cola? ¾Cuál es la desviación estándar?
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 15 / 21

43. Novena sección
Ejemplo
Pizza Palace ofrece tres tamaños de refresco de cola chico, mediano y
grande para acompañar su pizza. Los refrescos cuestan $0.80, $0.90 y
$1.20, respectivamente. Treinta por ciento de los pedidos corresponde al
tamaño chico; 50%, al mediano, y 20%, al grande. Organice el tamaño de
los refrescos y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad.
¾Se trata de una distribución de probabilidad discreta? Indique por
qué.
Calcule la suma promedio que se cobra por refresco de cola.
¾Cuál es la varianza de la cantidad que se cobra por un refresco de
cola? ¾Cuál es la desviación estándar?
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44. Novena sección
Ejemplo
Pizza Palace ofrece tres tamaños de refresco de cola chico, mediano y
grande para acompañar su pizza. Los refrescos cuestan $0.80, $0.90 y
$1.20, respectivamente. Treinta por ciento de los pedidos corresponde al
tamaño chico; 50%, al mediano, y 20%, al grande. Organice el tamaño de
los refrescos y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad.
¾Se trata de una distribución de probabilidad discreta? Indique por
qué.
Calcule la suma promedio que se cobra por refresco de cola.
¾Cuál es la varianza de la cantidad que se cobra por un refresco de
cola? ¾Cuál es la desviación estándar?
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 15 / 21

45. Novena sección
Ejemplo
Pizza Palace ofrece tres tamaños de refresco de cola chico, mediano y
grande para acompañar su pizza. Los refrescos cuestan $0.80, $0.90 y
$1.20, respectivamente. Treinta por ciento de los pedidos corresponde al
tamaño chico; 50%, al mediano, y 20%, al grande. Organice el tamaño de
los refrescos y la probabilidad de venta en una distribución de probabilidad.
¾Se trata de una distribución de probabilidad discreta? Indique por
qué.
Calcule la suma promedio que se cobra por refresco de cola.
¾Cuál es la varianza de la cantidad que se cobra por un refresco de
cola? ¾Cuál es la desviación estándar?
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 15 / 21

46. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sea g(Y ) una función de valor real de Y . Entonces, el valor esperado de
g(Y ) está dado por
E [g (Y )] =
y
g(y)p(y)
Ver [3]
Denición
Si Y es una variable aleatoria con media E(Y ) = µ, la varianza de una
variable aleatoria Y se dene como el valor esperado de (Y − µ)2. Esto es,
V (Y ) = E (Y − µ)2
La desviación estándar de Y es la raíz cuadrada positiva de V (Y ). [3]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 16 / 21

47. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sea g(Y ) una función de valor real de Y . Entonces, el valor esperado de
g(Y ) está dado por
E [g (Y )] =
y
g(y)p(y)
Ver [3]
Denición
Si Y es una variable aleatoria con media E(Y ) = µ, la varianza de una
variable aleatoria Y se dene como el valor esperado de (Y − µ)2. Esto es,
V (Y ) = E (Y − µ)2
La desviación estándar de Y es la raíz cuadrada positiva de V (Y ). [3]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 16 / 21

48. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sea g(Y ) una función de valor real de Y . Entonces, el valor esperado de
g(Y ) está dado por
E [g (Y )] =
y
g(y)p(y)
Ver [3]
Denición
Si Y es una variable aleatoria con media E(Y ) = µ, la varianza de una
variable aleatoria Y se dene como el valor esperado de (Y − µ)2. Esto es,
V (Y ) = E (Y − µ)2
La desviación estándar de Y es la raíz cuadrada positiva de V (Y ). [3]
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 16 / 21

49. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sea c una constante.Entonces E(c) = c.
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y),
g(Y ) una función de Y y c una constante. Entonces
E [cg (Y )] = cE [g (Y )]
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sean g1, (Y ), g2(Y ), . . . , gk(Y ); k funciones de Y . Entonces
E [g1(Y ) + g2(Y ) + . . . + gk(Y )] = E [g1 (Y )]+E [g2 (Y )]+. . .+E [gk (Y )]
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50. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sea c una constante.Entonces E(c) = c.
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y),
g(Y ) una función de Y y c una constante. Entonces
E [cg (Y )] = cE [g (Y )]
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sean g1, (Y ), g2(Y ), . . . , gk(Y ); k funciones de Y . Entonces
E [g1(Y ) + g2(Y ) + . . . + gk(Y )] = E [g1 (Y )]+E [g2 (Y )]+. . .+E [gk (Y )]
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51. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sea c una constante.Entonces E(c) = c.
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y),
g(Y ) una función de Y y c una constante. Entonces
E [cg (Y )] = cE [g (Y )]
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sean g1, (Y ), g2(Y ), . . . , gk(Y ); k funciones de Y . Entonces
E [g1(Y ) + g2(Y ) + . . . + gk(Y )] = E [g1 (Y )]+E [g2 (Y )]+. . .+E [gk (Y )]
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52. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sea c una constante.Entonces E(c) = c.
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y),
g(Y ) una función de Y y c una constante. Entonces
E [cg (Y )] = cE [g (Y )]
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
sean g1, (Y ), g2(Y ), . . . , gk(Y ); k funciones de Y . Entonces
E [g1(Y ) + g2(Y ) + . . . + gk(Y )] = E [g1 (Y )]+E [g2 (Y )]+. . .+E [gk (Y )]
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53. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
media E(y) = µ; entonces
V (Y ) = σ2
= E (Y − µ)2
= E Y 2
− µ2
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54. Novena sección
Theorem
Sea Y una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(y) y
media E(y) = µ; entonces
V (Y ) = σ2
= E (Y − µ)2
= E Y 2
− µ2
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 18 / 21

55. Novena sección
Ejemplo
El gerente de una planta industrial está planeando comprar una nueva
máquina ya sea del tipo A o del B. Si t denota el número de horas de
operación diaria, el número Y1 de reparaciones diarias requeridas para
mantener una máquina de tipo A es una variable aleatoria con media y
varianza iguales a ,10t. El número Y2 de reparaciones diarias para una
máquina de tipo B es una variable aleatoria con media y varianza iguales a
,12t. El costo diario de operación A es CA(t) = 10t + 30Y 2
1 ; para B es
CB(t) = 8t + 30Y 2
2 . Suponga que las reparaciones toman un tiempo
insignicante y que cada noche las máquinas se anan para que puedan
operar esencialmente como máquinas nuevas al empezar el día siguiente.
¾Cuál máquina minimiza el costo diario esperado si un día de trabajo
consta de (a) 10 horas y (b) 20 horas? [3]
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56. Novena sección
Ejemplo
El gerente de una planta industrial está planeando comprar una nueva
máquina ya sea del tipo A o del B. Si t denota el número de horas de
operación diaria, el número Y1 de reparaciones diarias requeridas para
mantener una máquina de tipo A es una variable aleatoria con media y
varianza iguales a ,10t. El número Y2 de reparaciones diarias para una
máquina de tipo B es una variable aleatoria con media y varianza iguales a
,12t. El costo diario de operación A es CA(t) = 10t + 30Y 2
1 ; para B es
CB(t) = 8t + 30Y 2
2 . Suponga que las reparaciones toman un tiempo
insignicante y que cada noche las máquinas se anan para que puedan
operar esencialmente como máquinas nuevas al empezar el día siguiente.
¾Cuál máquina minimiza el costo diario esperado si un día de trabajo
consta de (a) 10 horas y (b) 20 horas? [3]
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57. Novena sección
Ejemplo
El gerente de una planta industrial está planeando comprar una nueva
máquina ya sea del tipo A o del B. Si t denota el número de horas de
operación diaria, el número Y1 de reparaciones diarias requeridas para
mantener una máquina de tipo A es una variable aleatoria con media y
varianza iguales a ,10t. El número Y2 de reparaciones diarias para una
máquina de tipo B es una variable aleatoria con media y varianza iguales a
,12t. El costo diario de operación A es CA(t) = 10t + 30Y 2
1 ; para B es
CB(t) = 8t + 30Y 2
2 . Suponga que las reparaciones toman un tiempo
insignicante y que cada noche las máquinas se anan para que puedan
operar esencialmente como máquinas nuevas al empezar el día siguiente.
¾Cuál máquina minimiza el costo diario esperado si un día de trabajo
consta de (a) 10 horas y (b) 20 horas? [3]
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58. Novena sección
Ejemplo
El gerente de una planta industrial está planeando comprar una nueva
máquina ya sea del tipo A o del B. Si t denota el número de horas de
operación diaria, el número Y1 de reparaciones diarias requeridas para
mantener una máquina de tipo A es una variable aleatoria con media y
varianza iguales a ,10t. El número Y2 de reparaciones diarias para una
máquina de tipo B es una variable aleatoria con media y varianza iguales a
,12t. El costo diario de operación A es CA(t) = 10t + 30Y 2
1 ; para B es
CB(t) = 8t + 30Y 2
2 . Suponga que las reparaciones toman un tiempo
insignicante y que cada noche las máquinas se anan para que puedan
operar esencialmente como máquinas nuevas al empezar el día siguiente.
¾Cuál máquina minimiza el costo diario esperado si un día de trabajo
consta de (a) 10 horas y (b) 20 horas? [3]
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59. Novena sección
Bibliográa
Lind, D. Marchal, W. Wathen, S.Estadística Aplicada a los negocios
y a la economía. Mc Graw Hill, Mexico, D.F., 2012.
Llinás, H. Guía resumida de Estadística Aplicada. Uninorte,
Barranquilla, 2012.
Wackerly, D., Mendenhall, W., Scheaer, R. .Es
tadística matemáticas
con aplicaciones.CENGAGE Learning, Mexico, D.F., 2013.
MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matemática, UNISUCRE Estadística IVariables aleatoria 2018 20 / 21

60. Novena sección
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