Presentación para estudiantes de licenciatura en matemáticas, se presenta el Teorema del Límite Central. Se presentan algunos ejercicios de aplicación.

1. Primera sección
Distribuciones Muestrales
MSc Edgar Miguel Madrid Cuello.
Dto de Matemática, UNISUCRE
Estadística II
Febrero 2018
MSc Edgar Miguel Madrid Cuello. Dto de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribuciones Muestrales

2. Primera sección
Distribuciones muestrales
La variabilidad de las muestras aleatorias de la misma
población se llama Variabilidad del muestreo.
Una distribución de probabilidad que caracteriza
algún aspecto (estadígrafo) de la variabilidad del
muestreo se llama distribución muestral
Una muestra aleatoria tendrá aspectos similares a la
población de la que se extrae.Una distribución mues-
tral nos indica la verosimilitud del grado de seme-
janza entre la muestra y la población.
El tamaño de la muestra es un fracción despreciable del
tamaño de la población.
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3. Primera sección
Distribuciones muestrales
La variabilidad de las muestras aleatorias de la misma
población se llama Variabilidad del muestreo.
Una distribución de probabilidad que caracteriza
algún aspecto (estadígrafo) de la variabilidad del
muestreo se llama distribución muestral
Una muestra aleatoria tendrá aspectos similares a la
población de la que se extrae.Una distribución mues-
tral nos indica la verosimilitud del grado de seme-
janza entre la muestra y la población.
El tamaño de la muestra es un fracción despreciable del
tamaño de la población.
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4. Primera sección
Distribuciones muestrales
La variabilidad de las muestras aleatorias de la misma
población se llama Variabilidad del muestreo.
Una distribución de probabilidad que caracteriza
algún aspecto (estadígrafo) de la variabilidad del
muestreo se llama distribución muestral
Una muestra aleatoria tendrá aspectos similares a la
población de la que se extrae.Una distribución mues-
tral nos indica la verosimilitud del grado de seme-
janza entre la muestra y la población.
El tamaño de la muestra es un fracción despreciable del
tamaño de la población.
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5. Primera sección
Distribuciones muestrales
La variabilidad de las muestras aleatorias de la misma
población se llama Variabilidad del muestreo.
Una distribución de probabilidad que caracteriza
algún aspecto (estadígrafo) de la variabilidad del
muestreo se llama distribución muestral
Una muestra aleatoria tendrá aspectos similares a la
población de la que se extrae.Una distribución mues-
tral nos indica la verosimilitud del grado de seme-
janza entre la muestra y la población.
El tamaño de la muestra es un fracción despreciable del
tamaño de la población.
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6. Primera sección
Definición (Muestra representativa:)
Una parte de una población, seleccionada adecuadamente, que
conserva los aspectos clave de la población.
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7. Primera sección
Algunos estadígrafos
Definición (Estadistica:)
Cualquier función de las variables aleatorias que forman una
muestra aleatoria se llama estadística.
Definición (Media muestral:)
Si X1, X2, X3, ..., Xn, representan una muestra aleatoria de
tamaño n, entonces la media de la muestra se define mediante la
estadística.
¯X =
n
i=1
Xi
n
Ejemplo
Un inspector de alimentos examina una muestra aleatoria de siete
latas de cierta marca de atún para determinar el porcentaje de
impurezas externas. Se registran los siguientes datos: 1.8, 2.1, 1.7,
1.6, 0.9, 2.7, y 1.8. Calcule la media de la muestra.
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8. Primera sección
Algunos estadígrafos
Definición (Estadistica:)
Cualquier función de las variables aleatorias que forman una
muestra aleatoria se llama estadística.
Definición (Media muestral:)
Si X1, X2, X3, ..., Xn, representan una muestra aleatoria de
tamaño n, entonces la media de la muestra se define mediante la
estadística.
¯X =
n
i=1
Xi
n
Ejemplo
Un inspector de alimentos examina una muestra aleatoria de siete
latas de cierta marca de atún para determinar el porcentaje de
impurezas externas. Se registran los siguientes datos: 1.8, 2.1, 1.7,
1.6, 0.9, 2.7, y 1.8. Calcule la media de la muestra.
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9. Primera sección
Algunos estadígrafos
Definición (Estadistica:)
Cualquier función de las variables aleatorias que forman una
muestra aleatoria se llama estadística.
Definición (Media muestral:)
Si X1, X2, X3, ..., Xn, representan una muestra aleatoria de
tamaño n, entonces la media de la muestra se define mediante la
estadística.
¯X =
n
i=1
Xi
n
Ejemplo
Un inspector de alimentos examina una muestra aleatoria de siete
latas de cierta marca de atún para determinar el porcentaje de
impurezas externas. Se registran los siguientes datos: 1.8, 2.1, 1.7,
1.6, 0.9, 2.7, y 1.8. Calcule la media de la muestra.
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10. Primera sección
Algunos estadígrafos
Definición (Mediana:)
Si X1, X2, X3, ..., Xn representa una muestra aleatoria de tamaño
n acomodada en orden creciente de magnitud, entonces la
mediana de la muestra se define mediante la estadística
X =



Xn+1
2
si n es impar
X n
2
+Xn
2 +1
2 si n es par
Ejemplo
El número de barcos extranjeros que llegan a un puerto de la costa
atlántica en siete días seleccionados al azar son 8, 9, 3, 5, 6, 8 y 5.
Encuentre la mediana de la muestra
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11. Primera sección
Algunos estadígrafos
Definición (Mediana:)
Si X1, X2, X3, ..., Xn representa una muestra aleatoria de tamaño
n acomodada en orden creciente de magnitud, entonces la
mediana de la muestra se define mediante la estadística
X =



Xn+1
2
si n es impar
X n
2
+Xn
2 +1
2 si n es par
Ejemplo
El número de barcos extranjeros que llegan a un puerto de la costa
atlántica en siete días seleccionados al azar son 8, 9, 3, 5, 6, 8 y 5.
Encuentre la mediana de la muestra
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12. Primera sección
Algunos estadígrafos
Ejemplo
Se encuentra que el contenido de nicotina para una muestra
aleatoria de seis cigarrillos de cierta marca elegidos al azar, son:
2.3, 2.6, 2.5, 2.9, 3.1 y 1.9. Encuentre la mediana de la muestra.
Definición (Moda:)
Si X1, X2, X3, ..., Xn, no necesariamente diferentes, representan
una muestra aleatoria de tamaño n. entonces la moda M es aquel
valor de la muestra que ocurre más a menudo o con la mayor
frecuencia. La moda puede no existir; y cuando existe no
necesariamente es única.
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13. Primera sección
Algunos estadígrafos
Ejemplo
Se encuentra que el contenido de nicotina para una muestra
aleatoria de seis cigarrillos de cierta marca elegidos al azar, son:
2.3, 2.6, 2.5, 2.9, 3.1 y 1.9. Encuentre la mediana de la muestra.
Definición (Moda:)
Si X1, X2, X3, ..., Xn, no necesariamente diferentes, representan
una muestra aleatoria de tamaño n. entonces la moda M es aquel
valor de la muestra que ocurre más a menudo o con la mayor
frecuencia. La moda puede no existir; y cuando existe no
necesariamente es única.
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14. Primera sección
Variabilidad en la Muestra
Definición (Rango:)
El rango de una muestra aleatoria X1, X2, X3, ..., Xn se define con
el estadístico Xmax − Xmin
Definición (Varianza de la muestra)
Esta medida de variabilidad considera la posición de cada
observación con respecto a la media.
Si X1, X2, X3, ..., Xn representan una muestra aleatoria de tamaño
n la varianza muestral se define con la estadística:
S2 = n
i=1
(Xi− ¯X)2
n−1
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15. Primera sección
Variabilidad en la Muestra
Definición (Rango:)
El rango de una muestra aleatoria X1, X2, X3, ..., Xn se define con
el estadístico Xmax − Xmin
Definición (Varianza de la muestra)
Esta medida de variabilidad considera la posición de cada
observación con respecto a la media.
Si X1, X2, X3, ..., Xn representan una muestra aleatoria de tamaño
n la varianza muestral se define con la estadística:
S2 = n
i=1
(Xi− ¯X)2
n−1
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16. Primera sección
Variabilidad en la Muestra
Definición (Rango:)
El rango de una muestra aleatoria X1, X2, X3, ..., Xn se define con
el estadístico Xmax − Xmin
Definición (Varianza de la muestra)
Esta medida de variabilidad considera la posición de cada
observación con respecto a la media.
Si X1, X2, X3, ..., Xn representan una muestra aleatoria de tamaño
n la varianza muestral se define con la estadística:
S2 = n
i=1
(Xi− ¯X)2
n−1
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17. Primera sección
Variabilidad en la Muestra
Ejemplo
Una comparación de precios de café en cuatro depósitos,
seleccionados al azar en el mercado el Papayo, muestra aumentos
en comparación con el mes anterior de $120, $100, $125 $170 y
$200 para una bolsa de una libra. Encuentre la varianza de esta
muestra aleatoria de aumentos de precio.
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18. Primera sección
Definición (DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA)
Distribución de probabilidad de todas las posibles medias de las
muestras de un determinado tamaño muestral de la población.
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19. Primera sección
Distribuciones muestrales
Para construir una distribución muestral, se procede de la siguiente
manera:
1 De una población finita discreta, de tamaño N, se extraen
aleatoriamente todas las muestras de tamaño n. Para
muestreo con reemplazo, el número de muestras posibles de
tamaño n de una población de tamaño N, es Nn,y para
muestreo sin reemplazo e ignorando el orden, el número de
muestras de tamaño n es N
n .
2 Se calcula el estadígrafo de interés para cada muestra.
3 Se construye una tabla de los valores del estadígrafo de interés
con sus respectivas probabilidades.
4 Se estiman los parametros µ y σ
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20. Primera sección
Distribuciones muestrales
Para construir una distribución muestral, se procede de la siguiente
manera:
1 De una población finita discreta, de tamaño N, se extraen
aleatoriamente todas las muestras de tamaño n. Para
muestreo con reemplazo, el número de muestras posibles de
tamaño n de una población de tamaño N, es Nn,y para
muestreo sin reemplazo e ignorando el orden, el número de
muestras de tamaño n es N
n .
2 Se calcula el estadígrafo de interés para cada muestra.
3 Se construye una tabla de los valores del estadígrafo de interés
con sus respectivas probabilidades.
4 Se estiman los parametros µ y σ
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21. Primera sección
Distribuciones muestrales
Para construir una distribución muestral, se procede de la siguiente
manera:
1 De una población finita discreta, de tamaño N, se extraen
aleatoriamente todas las muestras de tamaño n. Para
muestreo con reemplazo, el número de muestras posibles de
tamaño n de una población de tamaño N, es Nn,y para
muestreo sin reemplazo e ignorando el orden, el número de
muestras de tamaño n es N
n .
2 Se calcula el estadígrafo de interés para cada muestra.
3 Se construye una tabla de los valores del estadígrafo de interés
con sus respectivas probabilidades.
4 Se estiman los parametros µ y σ
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22. Primera sección
Distribuciones muestrales
Para construir una distribución muestral, se procede de la siguiente
manera:
1 De una población finita discreta, de tamaño N, se extraen
aleatoriamente todas las muestras de tamaño n. Para
muestreo con reemplazo, el número de muestras posibles de
tamaño n de una población de tamaño N, es Nn,y para
muestreo sin reemplazo e ignorando el orden, el número de
muestras de tamaño n es N
n .
2 Se calcula el estadígrafo de interés para cada muestra.
3 Se construye una tabla de los valores del estadígrafo de interés
con sus respectivas probabilidades.
4 Se estiman los parametros µ y σ
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23. Primera sección
Distribuciones muestrales
Para construir una distribución muestral, se procede de la siguiente
manera:
1 De una población finita discreta, de tamaño N, se extraen
aleatoriamente todas las muestras de tamaño n. Para
muestreo con reemplazo, el número de muestras posibles de
tamaño n de una población de tamaño N, es Nn,y para
muestreo sin reemplazo e ignorando el orden, el número de
muestras de tamaño n es N
n .
2 Se calcula el estadígrafo de interés para cada muestra.
3 Se construye una tabla de los valores del estadígrafo de interés
con sus respectivas probabilidades.
4 Se estiman los parametros µ y σ
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24. Primera sección
Distribuciones muestrales
Para construir una distribución muestral, se procede de la siguiente
manera:
1 De una población finita discreta, de tamaño N, se extraen
aleatoriamente todas las muestras de tamaño n. Para
muestreo con reemplazo, el número de muestras posibles de
tamaño n de una población de tamaño N, es Nn,y para
muestreo sin reemplazo e ignorando el orden, el número de
muestras de tamaño n es N
n .
2 Se calcula el estadígrafo de interés para cada muestra.
3 Se construye una tabla de los valores del estadígrafo de interés
con sus respectivas probabilidades.
4 Se estiman los parametros µ y σ
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25. Primera sección
Ejemplo
Ejemplo
Considerar la población conformada por los números 3, 3.5, 5, 4.5.
1 Calcular µ y σ
2 Determinar todas las muestras de tamaño 2 sin reemplazo e
ignorando el orden de esta población y obtener la distribución
muestral de la media
3 Determinar todas las muestras de tamaño 2 con reemplazo y
obtener la distribución muestral de la media
µ = xp(x)
.
. σ2 = x2p(x) − µ2
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26. Primera sección
Ejemplo
Ejemplo
Considerar la población conformada por los números 3, 3.5, 5, 4.5.
1 Calcular µ y σ
2 Determinar todas las muestras de tamaño 2 sin reemplazo e
ignorando el orden de esta población y obtener la distribución
muestral de la media
3 Determinar todas las muestras de tamaño 2 con reemplazo y
obtener la distribución muestral de la media
µ = xp(x)
.
. σ2 = x2p(x) − µ2
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27. Primera sección
Ejemplo
Ejemplo
Considerar la población conformada por los números 3, 3.5, 5, 4.5.
1 Calcular µ y σ
2 Determinar todas las muestras de tamaño 2 sin reemplazo e
ignorando el orden de esta población y obtener la distribución
muestral de la media
3 Determinar todas las muestras de tamaño 2 con reemplazo y
obtener la distribución muestral de la media
µ = xp(x)
.
. σ2 = x2p(x) − µ2
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28. Primera sección
Ejemplo
Ejemplo
Considerar la población conformada por los números 3, 3.5, 5, 4.5.
1 Calcular µ y σ
2 Determinar todas las muestras de tamaño 2 sin reemplazo e
ignorando el orden de esta población y obtener la distribución
muestral de la media
3 Determinar todas las muestras de tamaño 2 con reemplazo y
obtener la distribución muestral de la media
µ = xp(x)
.
. σ2 = x2p(x) − µ2
MSc Edgar Miguel Madrid Cuello. Dto de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribuciones Muestrales

29. Primera sección
Ejemplo
Ejemplo
Considerar la población conformada por los números 3, 3.5, 5, 4.5.
1 Calcular µ y σ
2 Determinar todas las muestras de tamaño 2 sin reemplazo e
ignorando el orden de esta población y obtener la distribución
muestral de la media
3 Determinar todas las muestras de tamaño 2 con reemplazo y
obtener la distribución muestral de la media
µ = xp(x)
.
. σ2 = x2p(x) − µ2
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30. Primera sección
Ejemplo
Ejemplo
Considerar la población conformada por los números 3, 3.5, 5, 4.5.
1 Calcular µ y σ
2 Determinar todas las muestras de tamaño 2 sin reemplazo e
ignorando el orden de esta población y obtener la distribución
muestral de la media
3 Determinar todas las muestras de tamaño 2 con reemplazo y
obtener la distribución muestral de la media
µ = xp(x)
.
. σ2 = x2p(x) − µ2
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31. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Muestra ¯X
3, 3.5 3.25
¯X f p(x)
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32. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Una distribución muestral utilizada es la de la media muestral
¯X.
Suponga que una muestra aleatoria de n observaciones
se toma de una población normal de media µ y varianza σ2
¯X ∼ N(µ, σ2/n)
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33. Primera sección
Definición
Sean X1, X2, X3, ... variables aleatorias independientes, cada una
con la misma distribución Fi. i = 1, 2, 3, . . .. Si X es una variable
aleatoria con función de distribución F, la sucesión {Xi} converge
en distribución a X si y solo si {Fn(x)} converge a F(x) en todos
los puntos donde F es continua
Ejemplo
Sea X una v. a. con funcion de distribución F, exponencial de
parámetro θ. Si Xi. i = 1, 2, 3, . . . tiene distribución FXi ,
exponencial con parámetro θi = θ + 1/i entonces Xi
d
→ X
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34. Primera sección
Definición
Sean X1, X2, X3, ... variables aleatorias independientes, cada una
con la misma distribución Fi. i = 1, 2, 3, . . .. Si X es una variable
aleatoria con función de distribución F, la sucesión {Xi} converge
en distribución a X si y solo si {Fn(x)} converge a F(x) en todos
los puntos donde F es continua
Ejemplo
Sea X una v. a. con funcion de distribución F, exponencial de
parámetro θ. Si Xi. i = 1, 2, 3, . . . tiene distribución FXi ,
exponencial con parámetro θi = θ + 1/i entonces Xi
d
→ X
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35. Primera sección
Definición
Sean X1, X2, X3, ... variables aleatorias independientes, cada una
con la misma distribución Fi. i = 1, 2, 3, . . .. Si X es una variable
aleatoria con función de distribución F, la sucesión {Xi} converge
en distribución a X si y solo si {Fn(x)} converge a F(x) en todos
los puntos donde F es continua
Ejemplo
Sea X una v. a. con funcion de distribución F, exponencial de
parámetro θ. Si Xi. i = 1, 2, 3, . . . tiene distribución FXi ,
exponencial con parámetro θi = θ + 1/i entonces Xi
d
→ X
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36. Primera sección
Definición
Sean X1, X2, X3, ... variables aleatorias independientes, cada una
con la misma distribución Fi. i = 1, 2, 3, . . .. Si X es una variable
aleatoria con función de distribución F, la sucesión {Xi} converge
en distribución a X si y solo si {Fn(x)} converge a F(x) en todos
los puntos donde F es continua
Ejemplo
Sea X una v. a. con funcion de distribución F, exponencial de
parámetro θ. Si Xi. i = 1, 2, 3, . . . tiene distribución FXi ,
exponencial con parámetro θi = θ + 1/i entonces Xi
d
→ X
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37. Primera sección
Theorem (Lindeberg-Lévy)
Sean X1, X2, X3, ..., Xn n variables aleatorias independientes
distribuidas idénticamente con E(Xi) = µ y V ar(Xi) = σ2,
σ2 < ∞. Entonces,
Zn =
n
i=1 Xi − nµ
√
nσ
(1)
Converge en distribución a una variable Z normal estándar
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38. Primera sección
Theorem (Lindeberg-Lévy)
Sean X1, X2, X3, ..., Xn n variables aleatorias independientes
distribuidas idénticamente con E(Xi) = µ y V ar(Xi) = σ2,
σ2 < ∞. Entonces,
Zn =
n
i=1 Xi − nµ
√
nσ
(1)
Converge en distribución a una variable Z normal estándar
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39. Primera sección
Theorem (Lindeberg-Lévy)
Sean X1, X2, X3, ..., Xn n variables aleatorias independientes
distribuidas idénticamente con E(Xi) = µ y V ar(Xi) = σ2,
σ2 < ∞. Entonces,
Zn =
n
i=1 Xi − nµ
√
nσ
(1)
Converge en distribución a una variable Z normal estándar
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40. Primera sección
Ejercicio
1 Una fábrica de zapatillas sabe que el 10% de su producción es
defectuosa. Supóngase que se desea seleccionar una muestra
aleatoria de 20 unidades. Halle la probabilidad de que la
muestra contenga al menos 17 zapatillas no defectuosas,
aplicando la distribución:
1 Normal, con y sin factor de corrección.
2 Binomial.
Ejercicio
Un encuestador considera que el 30% de los colombianos son
fumadores. Si se seleccionan aleatoriamente 70 colombianos, ¿cuál
es la probabilidad de que la fracción de fumadores en la muestra
difiera en más de 0.02 del porcentaje de fumadores considerado por
el encuestador?
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41. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejercicio
Suponga que Xi ∼ Ber(0.5), i = 1, . . . , 20, son veinte v. a.
independientes. Halle c tal que P(| ¯X − 0.5 |< c) > 0.5.
1 Utilizando el teorema del límite central.
2 Aplicando el teorema de Tchebysheff:
Teorema
Si X es una variable aleatoria con media finita θ y varianza σ2,
entonces,
P(| X − θ |< kσ) > 1 −
1
k2
donde k es una constante positiva.
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42. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Theorem
Media La media de la distribución en el muestreo de ¯X igual a la
media poblacional.
µ ¯X = µ
ión típica La desviación típica de la distribución en el muestreo de ¯X es
igual a la desviación típica poblacional dividida por la raíz
cuadrada del tamaño de la muestra.
σ ¯X = σ√
n
Forma a Si la distribución poblacional de X es normal, entonces la
distribución en el muestreo de ¯X es normal,
independientemente del tamaño de la muestra n.
b Teorema Central del Límite, Si n es grande, entonces la
distribución en el muestreo de ¯X es aproximadamente normal,
incluso aunque la distribución poblacional de X no sea normal.
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43. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Theorem
Media La media de la distribución en el muestreo de ¯X igual a la
media poblacional.
µ ¯X = µ
ión típica La desviación típica de la distribución en el muestreo de ¯X es
igual a la desviación típica poblacional dividida por la raíz
cuadrada del tamaño de la muestra.
σ ¯X = σ√
n
Forma a Si la distribución poblacional de X es normal, entonces la
distribución en el muestreo de ¯X es normal,
independientemente del tamaño de la muestra n.
b Teorema Central del Límite, Si n es grande, entonces la
distribución en el muestreo de ¯X es aproximadamente normal,
incluso aunque la distribución poblacional de X no sea normal.
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44. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Theorem
Media La media de la distribución en el muestreo de ¯X igual a la
media poblacional.
µ ¯X = µ
ión típica La desviación típica de la distribución en el muestreo de ¯X es
igual a la desviación típica poblacional dividida por la raíz
cuadrada del tamaño de la muestra.
σ ¯X = σ√
n
Forma a Si la distribución poblacional de X es normal, entonces la
distribución en el muestreo de ¯X es normal,
independientemente del tamaño de la muestra n.
b Teorema Central del Límite, Si n es grande, entonces la
distribución en el muestreo de ¯X es aproximadamente normal,
incluso aunque la distribución poblacional de X no sea normal.
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45. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Theorem
Media La media de la distribución en el muestreo de ¯X igual a la
media poblacional.
µ ¯X = µ
ión típica La desviación típica de la distribución en el muestreo de ¯X es
igual a la desviación típica poblacional dividida por la raíz
cuadrada del tamaño de la muestra.
σ ¯X = σ√
n
Forma a Si la distribución poblacional de X es normal, entonces la
distribución en el muestreo de ¯X es normal,
independientemente del tamaño de la muestra n.
b Teorema Central del Límite, Si n es grande, entonces la
distribución en el muestreo de ¯X es aproximadamente normal,
incluso aunque la distribución poblacional de X no sea normal.
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46. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Theorem (continuación)
Cuando la muestra es sin reemplazo de una población finita
entonces se necesita un ajuste para obtener el valor correcto de
σ ¯X. Se utiliza el factor de corrección:
σ ¯X = σ√
n
× N−n
N−1
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47. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
La distribución poblacional de una variable X
distribuida normalmente.
La distribución en el muestreo de ¯X de la muestras de
la población
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48. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Para la desviación típica, si el muestreo se realiza sin reemplazo
y si el tamaño de la muestra es más del 5% de la población,
n > 0.05N, debe aplicarse el factor de corrección para pobla-
ciones finitas (fpc). La fórmula apropiada para el error estándar
entonces es:
σ ¯X = σ√
n
N−n
N−1
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49. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Theorem
Otra forma muy utilizada de enunciar el teorema central del limite:
Teorema del límite central Si ¯X es la media de una muestra
aleatoria de tamaño n tomada de una población con media µ y
varianza finita σ2, entonces la forma límite de la distribución de
Z =
¯X − µ
σ√
n
conforme n −→ ∞ es la distribución normal estándar N(z; 0, 1)
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50. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS, APLICACIÓN
La aproximación normal para ¯X será buena si n ≥ 30 sin importar
la forma de la población. Si n ≤ 30, la aproximación es buena sólo
si la población no es muy diferente de una distribución normal y,
como se dijo, si la población es normal, la distribución muestral de
¯X seguirá una distribución normal exacta, no importa qué tan
pequeño sea n
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51. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS, APLICACIÓN
La aproximación normal para ¯X será buena si n ≥ 30 sin importar
la forma de la población. Si n ≤ 30, la aproximación es buena sólo
si la población no es muy diferente de una distribución normal y,
como se dijo, si la población es normal, la distribución muestral de
¯X seguirá una distribución normal exacta, no importa qué tan
pequeño sea n
MSc Edgar Miguel Madrid Cuello. Dto de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribuciones Muestrales

52. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS, APLICACIÓN
La aproximación normal para ¯X será buena si n ≥ 30 sin importar
la forma de la población. Si n ≤ 30, la aproximación es buena sólo
si la población no es muy diferente de una distribución normal y,
como se dijo, si la población es normal, la distribución muestral de
¯X seguirá una distribución normal exacta, no importa qué tan
pequeño sea n
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53. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejemplo
Si se puede predecir la probabilidad de que un cierto estadístico
esté dentro de un rango dado, la toma de decisiones se vuelve más
precisa y científica. Por ejemplo, es posible determinar la
probabilidad de error considerando una población con una media
de µ = 25 y una desviación estándar de σ = 2.5.si se toma una
muestra de n = 50, se presentará un error de muestreo de 2 o más
si la media muestral es 27 o más, o 23 o menos. Por tanto,
P(error) = P( ¯X ≥ 27) + P( ¯X ≤ 23).
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54. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejemplo
Si se puede predecir la probabilidad de que un cierto estadístico
esté dentro de un rango dado, la toma de decisiones se vuelve más
precisa y científica. Por ejemplo, es posible determinar la
probabilidad de error considerando una población con una media
de µ = 25 y una desviación estándar de σ = 2.5.si se toma una
muestra de n = 50, se presentará un error de muestreo de 2 o más
si la media muestral es 27 o más, o 23 o menos. Por tanto,
P(error) = P( ¯X ≥ 27) + P( ¯X ≤ 23).
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55. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejemplo
Si se puede predecir la probabilidad de que un cierto estadístico
esté dentro de un rango dado, la toma de decisiones se vuelve más
precisa y científica. Por ejemplo, es posible determinar la
probabilidad de error considerando una población con una media
de µ = 25 y una desviación estándar de σ = 2.5.si se toma una
muestra de n = 50, se presentará un error de muestreo de 2 o más
si la media muestral es 27 o más, o 23 o menos. Por tanto,
P(error) = P( ¯X ≥ 27) + P( ¯X ≤ 23).
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56. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejemplo
La Gran Papelería vende invitaciones, sorpresas y otros productos
de papelería para ocasiones festivas.Se asume que las horas
semanales promedio que trabajan los empleados en la tienda es de
µ = 36.7, con una desviación estándar de σ = 3.5. Gerardo Perez,
propietario de La Gran Papelería, desea por lo menos un 90% de
confiabilidad en que su estimado de las horas promedio trabajadas
por empleado cada semana esté dentro de 1 hora de la media
poblacional real. Se selecciona una muestra de n = 36 semanas.
¿Cuál es la probabilidad de que Perez no esté desilusionada con el
estimado?
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57. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejemplo
La Gran Papelería vende invitaciones, sorpresas y otros productos
de papelería para ocasiones festivas.Se asume que las horas
semanales promedio que trabajan los empleados en la tienda es de
µ = 36.7, con una desviación estándar de σ = 3.5. Gerardo Perez,
propietario de La Gran Papelería, desea por lo menos un 90% de
confiabilidad en que su estimado de las horas promedio trabajadas
por empleado cada semana esté dentro de 1 hora de la media
poblacional real. Se selecciona una muestra de n = 36 semanas.
¿Cuál es la probabilidad de que Perez no esté desilusionada con el
estimado?
MSc Edgar Miguel Madrid Cuello. Dto de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribuciones Muestrales

58. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejercicio (1)
1 La población de millas recorridas por camioneros de Over the
Road Van Lines presenta una media de 8500, con una
desviación estándar de 1950. Si se toma una muestra de
n = 100 conductores, cuál es la probabilidad de que la media
sea:
1 ¿Mayor que 8900?
2 ¿Menor que 8000?
3 ¿Entre 8200 y 8700?
4 ¿Entre 8100y 8400?
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59. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejercicio (1)
1 La población de millas recorridas por camioneros de Over the
Road Van Lines presenta una media de 8500, con una
desviación estándar de 1950. Si se toma una muestra de
n = 100 conductores, cuál es la probabilidad de que la media
sea:
1 ¿Mayor que 8900?
2 ¿Menor que 8000?
3 ¿Entre 8200 y 8700?
4 ¿Entre 8100y 8400?
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60. Primera sección
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS
Ejercicio (2)
1 Las latas de gaseosa vendidas en Mercado el Hueso tienen un
promedio de 16.1 onzas, con una desviación estándar de 1.2
onzas. Si se toma una muestra de n = 200, cuál es la
probabilidad de que la media sea:
1 ¿Menor que 16.27?
2 ¿Por lo menos 15.93?
3 ¿Entre 15.9 y 16.3?
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61. Primera sección
Distribución muestral de la proporción
Teorema (Teorema central del límite de Moivre-Laplace)
Sea X1, ....Xn una muestra aleatoria de una población que tiene
distribución B(n, p). Si p(n) representa la proporción muestral de
éxitos en la muestra, entonces,
pn − p
p(1 − p)/n
∼ N(0, 1)
En la práctica, el teorema será válido si n > 30 o si np > 5 y
n(1 − p) > 5. [3]
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62. Primera sección
Distribución muestral de la proporción
Teorema (Teorema central del límite de Moivre-Laplace)
Sea X1, ....Xn una muestra aleatoria de una población que tiene
distribución B(n, p). Si p(n) representa la proporción muestral de
éxitos en la muestra, entonces,
pn − p
p(1 − p)/n
∼ N(0, 1)
En la práctica, el teorema será válido si n > 30 o si np > 5 y
n(1 − p) > 5. [3]
MSc Edgar Miguel Madrid Cuello. Dto de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribuciones Muestrales

63. Primera sección
Distribución muestral de la proporción
Teorema (Teorema central del límite de Moivre-Laplace)
Sea X1, ....Xn una muestra aleatoria de una población que tiene
distribución B(n, p). Si p(n) representa la proporción muestral de
éxitos en la muestra, entonces,
pn − p
p(1 − p)/n
∼ N(0, 1)
En la práctica, el teorema será válido si n > 30 o si np > 5 y
n(1 − p) > 5. [3]
MSc Edgar Miguel Madrid Cuello. Dto de Matemática, UNISUCRE Estadística IIDistribuciones Muestrales

64. Primera sección
Distribución muestral de la proporción
Ejemplo
Se desea estudiar una muestra de 20 personas para saber la
proporción de ellas que tiene más de 40 años. Sabiendo que la
proporción en la población es del 40%, ¿cuál es la probabilidad de
que la proporción en la muestra sea menor del 50%?
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65. Primera sección
Distribución muestral de la proporción
Ejemplo
Hallar la probabilidad de que, en 200 lanzamientos de una moneda
autentica, el número de caras esté comprendido en el 40% y el
60%.
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66. Primera sección
Bibliográfia
Cepeda, E. "Estadística matemática". Universidad Nacional de
Colombia, Bogotá D. C. 2015.
Lind, D. Marchal, W. Wathen, S.“Estadística Aplicada a los
negocios y a la economía”. Mc Graw Hill, Mexico, D.F., 2012.
Llinás, H. “ Guía resumida de Estadística Aplicada”. Uninorte,
Barranquilla, 2012.
Mayorga, J, H. "Inferencia Estadística". Universidad Nacional
de Colombia, Bogotá D. C. 2003.
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