Este documento describe los diseños en bloques incompletos balanceados (DBIB), donde no todos los tratamientos se prueban en cada bloque. Explica que un DBIB cumple tres condiciones y dos igualdades que definen sus parámetros. También presenta el modelo estadístico, el análisis de varianza y cómo estimar las medias ajustadas de los tratamientos para realizar comparaciones.

1. DBIB
MSc. Edgar Madrid Cuello.
Dpto. de Matem´atica, UNISUCRE
An´alisis y dise˜no de experimentos
Mayo 2019
MSc. Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matem´atica, UNISUCRE An´alisis y dise˜no de experimentosDBIB Mayo 2019 1 / 15

2. Dise˜no en bloques incompletos balanceados
Hay situaciones de investigaci´on experimental en las que es necesario
recurrir a los llamados dise˜nos en bloques incompletos, donde,
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3. Dise˜no en bloques incompletos balanceados
Hay situaciones de investigaci´on experimental en las que es necesario
recurrir a los llamados dise˜nos en bloques incompletos, donde,como
su nombre lo indica, no se prueban todos los tratamientos en cada
bloque,
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4. Dise˜no en bloques incompletos balanceados
Hay situaciones de investigaci´on experimental en las que es necesario
recurrir a los llamados dise˜nos en bloques incompletos, donde,como
su nombre lo indica, no se prueban todos los tratamientos en cada
bloque, sino s´olo un subconjunto de ellos. [2].
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5. Dise˜no en bloques incompletos balanceados
Hay situaciones de investigaci´on experimental en las que es necesario
recurrir a los llamados dise˜nos en bloques incompletos, donde,como
su nombre lo indica, no se prueban todos los tratamientos en cada
bloque, sino s´olo un subconjunto de ellos. [2].
Como ejemplo, un dise˜no para comparar cinco tratamientos con solo
tres tralamienlos por bloque y que sea balanceado requiere diez
bloques: ABC, ABD, ABE, ACD, AGE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE.
[1]
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6. Consideremos k tratamientos y b bloques, donde en cada bloque se
prueban t < k tratamientos. Un dise˜no en bloques incompletos
balanceados cumple las siguientes tres condiciones:
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7. Consideremos k tratamientos y b bloques, donde en cada bloque se
prueban t < k tratamientos. Un dise˜no en bloques incompletos
balanceados cumple las siguientes tres condiciones:
1 Cada tratamiento ocurre a lo m´as una vez en un bloque.
2 Cada tratamiento ocurre exactamente en r bloques.
3 Cada par de tratamientos ocurren juntos en exactamente λ
bloques.
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8. Consideremos k tratamientos y b bloques, donde en cada bloque se
prueban t < k tratamientos. Un dise˜no en bloques incompletos
balanceados cumple las siguientes tres condiciones:
1 Cada tratamiento ocurre a lo m´as una vez en un bloque.
2 Cada tratamiento ocurre exactamente en r bloques.
3 Cada par de tratamientos ocurren juntos en exactamente λ
bloques.
Los valores que representan las letras k, b, r, t y λ , son los
par´ametros del dise˜no, y deben cumplir las siguientes dos igualdades:
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9. Consideremos k tratamientos y b bloques, donde en cada bloque se
prueban t < k tratamientos. Un dise˜no en bloques incompletos
balanceados cumple las siguientes tres condiciones:
1 Cada tratamiento ocurre a lo m´as una vez en un bloque.
2 Cada tratamiento ocurre exactamente en r bloques.
3 Cada par de tratamientos ocurren juntos en exactamente λ
bloques.
Los valores que representan las letras k, b, r, t y λ , son los
par´ametros del dise˜no, y deben cumplir las siguientes dos igualdades:
kr = bt; λ(k − 1) = r(t − 1)
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10. Dise˜no BIB para el rendimiento de trigo
Bloque I II III IV V VI VII VIII IX X Yi .
A 69 77 72 63 70 63 - - - -
B 55 65 57 - - - 59 50 45 -
C 68 - - 65 69 - 68 60 - 60
D - 62 - 55 - 54 65 - 62 65
E - - 61 - 40 54 - 57 63 56
Y .j
Ver ejemplo 4.4 [2]
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11. An´alisis del DBIB
El modelo estad´ıstico del BIBD es:
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12. An´alisis del DBIB
El modelo estad´ıstico del BIBD es:
yij = µ + τi + βj + εij
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13. An´alisis del DBIB
El modelo estad´ıstico del BIBD es:
yij = µ + τi + βj + εij
La variabilidad total en los datos se expresa por la suma de cuadrados
totales corregida:
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14. An´alisis del DBIB
El modelo estad´ıstico del BIBD es:
yij = µ + τi + βj + εij
La variabilidad total en los datos se expresa por la suma de cuadrados
totales corregida:
b
j=1
k
i=1
y2
ij −
y2
..
N
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15. An´alisis del DBIB
El modelo estad´ıstico del BIBD es:
yij = µ + τi + βj + εij
La variabilidad total en los datos se expresa por la suma de cuadrados
totales corregida:
b
j=1
k
i=1
y2
ij −
y2
..
N
Puede hacerse la partici´on de la variabilidad total en
SCT = SCTratamientos(ajustados) + SCBloques + SCE
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16. An´alisis del DBIB
El modelo estad´ıstico del BIBD es:
yij = µ + τi + βj + εij
La variabilidad total en los datos se expresa por la suma de cuadrados
totales corregida:
b
j=1
k
i=1
y2
ij −
y2
..
N
Puede hacerse la partici´on de la variabilidad total en
SCT = SCTratamientos(ajustados) + SCBloques + SCE
donde la suma de cuadrados de los tratamientos est´a ajustada para
separar los efectos de los tratamientos y de los bloques.
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17. Este ajuste es necesario porque cada tratamiento est´a representado
en un conjunto diferente de r bloques.
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18. Este ajuste es necesario porque cada tratamiento est´a representado
en un conjunto diferente de r bloques. Por lo tanto, las diferencias
entre los totales de los tratamientos no ajustados y1, y2, . . . tambi´en
son afectadas por las diferencias entre los bloques. [3]
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19. Este ajuste es necesario porque cada tratamiento est´a representado
en un conjunto diferente de r bloques. Por lo tanto, las diferencias
entre los totales de los tratamientos no ajustados y1, y2, . . . tambi´en
son afectadas por las diferencias entre los bloques. [3]
SCTaj =
t
λk
k
i=1
Q2
i
donde Qi = yi . −
1
t
b
j=1 nij y.j ; para i = 1, 2, . . . , k
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20. Este ajuste es necesario porque cada tratamiento est´a representado
en un conjunto diferente de r bloques. Por lo tanto, las diferencias
entre los totales de los tratamientos no ajustados y1, y2, . . . tambi´en
son afectadas por las diferencias entre los bloques. [3]
SCTaj =
t
λk
k
i=1
Q2
i
donde Qi = yi . −
1
t
b
j=1 nij y.j ; para i = 1, 2, . . . , k
con nij = 1 si el tratamiento i ocurre en el bloque j y nij = 0 en caso
contrario.
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21. Este ajuste es necesario porque cada tratamiento est´a representado
en un conjunto diferente de r bloques. Por lo tanto, las diferencias
entre los totales de los tratamientos no ajustados y1, y2, . . . tambi´en
son afectadas por las diferencias entre los bloques. [3]
SCTaj =
t
λk
k
i=1
Q2
i
donde Qi = yi . −
1
t
b
j=1 nij y.j ; para i = 1, 2, . . . , k
con nij = 1 si el tratamiento i ocurre en el bloque j y nij = 0 en caso
contrario.
SCB =
b
j=1
y2
.j
t
−
y2
..
N
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22. ANOVA para el DBIB
Fuente de
variabilidad
Grados de
libertad
Suma de
cuadra-
dos
Cuadrado
medio
F0 Valor p
Tratamientos
ajustados
k − 1 SCTaj CMTaj
CMTaj
CME
P(F > F0
Bloques b − 1 SCB CMB
Residuos bt − k − b + 1 SCE CME
Total bt − 1 SCT
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23. Comparaciones de medias
Las medias ajustadas de tratamiento se estiman de la siguiente
manera:
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24. Comparaciones de medias
Las medias ajustadas de tratamiento se estiman de la siguiente
manera:
˜µ1 = ¯y.. +
tQ1
λk
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25. Comparaciones de medias
Las medias ajustadas de tratamiento se estiman de la siguiente
manera:
˜µ1 = ¯y.. +
tQ1
λk
˜µ2 = ¯y.. +
tQ2
λk
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26. Comparaciones de medias
Las medias ajustadas de tratamiento se estiman de la siguiente
manera:
˜µ1 = ¯y.. +
tQ1
λk
˜µ2 = ¯y.. +
tQ2
λk
˜µ3 = ¯y.. +
tQ3
λk
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27. Comparaciones de medias
Las medias ajustadas de tratamiento se estiman de la siguiente
manera:
˜µ1 = ¯y.. +
tQ1
λk
˜µ2 = ¯y.. +
tQ2
λk
˜µ3 = ¯y.. +
tQ3
λk
˜µ4 = ¯y.. +
tQ4
λk
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28. Comparaciones de medias
Las medias ajustadas de tratamiento se estiman de la siguiente
manera:
˜µ1 = ¯y.. +
tQ1
λk
˜µ2 = ¯y.. +
tQ2
λk
˜µ3 = ¯y.. +
tQ3
λk
˜µ4 = ¯y.. +
tQ4
λk
˜µ5 = ¯y.. +
tQ5
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29. Comparaciones de medias
Las medias ajustadas de tratamiento se estiman de la siguiente
manera:
˜µ1 = ¯y.. +
tQ1
λk
˜µ2 = ¯y.. +
tQ2
λk
˜µ3 = ¯y.. +
tQ3
λk
˜µ4 = ¯y.. +
tQ4
λk
˜µ5 = ¯y.. +
tQ5
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30. Comparaciones de medias
˜µ5 = ¯y.. +
tQ5
λk
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31. Comparaciones de medias
˜µ5 = ¯y.. +
tQ5
λk
En este dise˜no, la diferencia m´ınima significativa (LSD) para las
medias mu´estrales ajustadas de dos tratamientos, que permite
concluir si ´estos son diferentes, est´a dada por:
LSD = tα/2,N−k−b+1
2tCME
λk
ver [2], pag 100-102
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32. En R utilizando el paquete agricolae
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33. En R utilizando el paquete agricolae
library(agricolae)
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34. En R utilizando el paquete agricolae
library(agricolae)
modelo
< −BIB.test(block=Bloque,trt=Tratamiento,y=Rendimiento,
test=”lsd”,group=TRUE,console=TRUE)
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35. En R utilizando el paquete agricolae
library(agricolae)
modelo
< −BIB.test(block=Bloque,trt=Tratamiento,y=Rendimiento,
test=”lsd”,group=TRUE,console=TRUE)
Number of observations: 30
Analysis of Variance Table
Response: Rendimiento
Df SumSq MeanSq Fvalue Pr(> F)
block.unadj 9 413,63 45,959 1,4506 0,24729
trt.adj 4 892,40 223,100 7,0416 0,00181 ∗ ∗
Residuals 16 506,93 31,683
— Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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36. Grafica de Medias
607080
q
q
q
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
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37. Grafica de Medias
4050607080
q
q
q
q
q
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
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38. Comparaciones de medias
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39. Comparaciones de medias
Rendimiento mean.adj SE r std Min Max
A 69,00000 69,16667 2,474964 6 5,403702 63 77
B 55,16667 52,83333 2,474964 6 6,997619 45 65
C 65,00000 66,03333 2,474964 6 4,098780 60 69
D 60,50000 60,16667 2,474964 6 4,847680 54 65
E 55,16667 56,63333 2,474964 6 8,134290 40 63
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40. Comparison between treatments means
Difference pvalue sig.
A − B 16,333333 0,0004 ∗ ∗ ∗
A − C 3,133333 0,3918
A − D 9,000000 0,0224 ∗
A − E 12,533333 0,0028 ∗∗
B − C −13,200000 0,0020 ∗∗
B − D −7,333333 0,0560 .
B − E −3,800000 0,3016
C − D 5,866667 0,1188
C − E 9,400000 0,0178 ∗
D − E 3,533333 0,3358
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41. Bibliogr´afia
D´ıaz, A., Dise˜no estad´ıstico de experimentos, Universidad de
Antioquia, 2a edici´on, Medellin, 2009
Guti´errez, H. and De la Vara, R., An´alisis y dise˜no de
experimentos. Mc Graw Hill, 3a edici´on Mexico, D.F., 2012.
Montgomery, D. Dise˜no y an´alisis de experimentos.
Iberoam´erica S.A., Mexico, D.F., 1991.
Kuehl, R.O. and Osuna, M.G. Dise˜no de experimentos:
principios estad´ısticos de dise˜no y an´alisis de investigaci´on.2a.
Ed., Thomson Learning. Mexico, 2001.
MSc. Edgar Madrid Cuello. Dpto. de Matem´atica, UNISUCRE An´alisis y dise˜no de experimentosDBIB Mayo 2019 15 / 15