1. La distribución de temperatura en una pared se determina resolviendo la ecuación de calor con las condiciones de frontera apropiadas. 2. Para condiciones de estado estable sin fuente o sumidero de energía dentro de la pared, la forma apropiada de la ecuación de calor es para la conducción unidimensional. 3. Bajo estas condiciones, el flujo de calor es constante e independiente de la posición a lo largo de la pared.

1. M. En C Miguel Moctezuma
ITSPR
Transferencia de calor

2.  La distribución de temperatura en la pared se
determina resolviendo la ecuación de calor con las
condiciones de frontera apropiadas.
 Para condiciones de estado estable sin una fuente o
sumidero de energía dentro de la pared, la forma
apropiada de la ecuación de calor, ecuación 2.17, es




 En consecuencia, de la ecuación 2.2 se sigue que,
para la conduce ion unidimensional de estado estable
en una pared plana sin generación interna de calor, el
flujo de calor es una constante independiente de x
0





dt
dT
k
dt
d

3. Si la conductividad térmica del material de la
pared se supone constante, la ecuacion se
integra dos veces para obtener la solucion
general

 Para obtener las constantes de integracion,
C1 y C2. deben introducirse las condiciones de
frontera.

21 cxcT 
2
1
)(
,)0(
s
s
TLT
TT



4. De donde se puede obtener C2=Ts1
 La constante C1 se puede obtener despejando de
la Ecuación (2)

 Al sustituir en la ecuación general se obtiene:

L
TT
c ss 12
1


1
12
s
ss
Tx
L
TT
T 



5.  Al sustituir en la ecuación general se obtiene:

 De este resultado es evidente que, para la
conduccion unidimensional en estado estable de
una pared plana sin generacion interna de calor ni
conductividad termica constante, la temperatura
varia de forma lineal con x.
1
12
s
ss
Tx
L
TT
T 



6.  Ahora que tenemos la distribucion de temperaturas, utilizaremos la ley
de Fourier, ecuacion 2 I. para determinar la transferencia de calor por
conduccion. Es decir,
 Advierta que A es el area de la pared normal hacia la direccion de la
transferencia de calor y. para la pared plana, es una constante
independiente de x. El flujo de calor es entonces
 Las ecuaciones 3 4 y 3.*5 indican que tanto la transferencia de calor qx
como el flujo de calor q" son constantes independientes de x





 

L
TT
kA
dx
dT
kAq ss
x
21





 

L
TT
kqq ss
xx
21
¨

7.  En este punto notamos que la ecuacion 3.4 propone un
concepto muy importante. En particular, existe una
analogia entre la difusion de calor y la carga electrica.
 De la misma manera que se asocia una resistencia
electrica con la conduccion de electricidad, se asocia
una resistencia termica con la conduccion de calor. Al
definir la resistencia como la razon de un potencial de
transmision a la transferencia de calor correspondiente,
se sigue de la ecuacion 3 4 que la resistencia termica
para la conducción es:
kA
L
q
TT
Rt
x
ss





 
 21

8. Resistencia termica de varias capas paralelas en una
Pared
EL Flujo de calor en este caso se escribe como:
Cuando se toma en cuenta la conveccion en cada lado de
la pared (h1,lado caliente, h2, lado frio)
 coldhot
Tot
x TT
R
q 
1
¨
33
3
22
2
11
1
Ak
L
Ak
L
Ak
L
Rtot 
233
3
22
2
11
1
1
11
hAk
L
Ak
L
Ak
L
h
Rtot 

9.  Los sistemas cilindricos y esfericos a menudo
experimentan gradientes de temperatura solo en
la direccion radial y, por consiguiente, se tratan
como unidimensionales
 Ademas, bajo condiciones de estado estable sin
generacion interna de calor, estos sistemas se
analizan con el metodo estandar, que comienza
con la forma apropiada de la ecuacion de calor, o
el metodo alternativo, el cual inicia con la fonna
apropiada de la ley de Fourier
 En esta seccion, el sistema cilindrico se analiza
por medio del metodo estandar y el sistema
esferico mediante el metodo alternativo.

10. Los flujos son qr, q y qz
Son las componentes del
flujo en la direccion radial,
angular y axial,
respectivamente.
Cuando el operador  de la ecuación 2.3 se expresa en
coordenadas cilindricas, la forma general del vector del flujo
de calor, y por ello de la ley de Fourier es:

11. Aplicando un balance de energía al volumén de control diferencial de
la figura, se obtiene la siguiente forma general de la ecuación de
calor para coordenadas cilindricas:
En forma Unidimensional, esta ecuación se escribe:

12.  Un ejemplo común es el cilindro hueco, cuyas superficies interna
y extema se exponen a fluidos con diferentes temperaturas
(figura 3.6).
 Para condiciones de estado estable sin generacion de calor, la
forma apropiada de la ecuacion de calor, ecuacion 2.20, es
 donde, por el momento, k se trata como una variable El
significado fisico de este resultado se vuelve evidente si
consideramos tambien la forma apropiada de la ley de
Fourier.
 La rapidez a la que se conduce la energia a traves de
cualquier superficie cilindrica en el solido se expresa como

13.  donde A = 2rL es el area normal a la direccion de
la transferencia de calor.
 Como la ecuacion 3.23 dicta que la cantidad
kr(dT/dr) es independiente de r, se sigue de la
ecuacion 3 24, que la transferencia de calor por
conduccion q (no el flujo de calor q'') es una
constante en la direccion radial.

15.  Es posible determinar la distribucion de temperaturas en el
cilindro resolviendo la ecuacion 3 23 y aplicando las
condiciones de frontera apropiadas. Si se supone que el valor
de k es constante, la ecuacion 3.23 se integra dos veces para
obtener la solucion general

16.  Tenga presente que la distribucion de temperaturas asociada
con la conduccion radial a traves de una pared cilindrica es
logaritmica, no lineal, como lo es para la pared plana bajo las
mismas condiciones
 La distribucion logaritmica se dibuja en el recuadro de la
figura 3.6.
 Si la distribucion de temperaturas, ecuacion 3.26, se usa
ahora con la ley de Fourier. ecuacion 3.24, obtenemos la
siguiente expresion para la transferencia de calor

18.  De este resultado es evidente que, para la
conduccion radial en una pared cilindrica, la
 resistencia termica es de la forma

19.  Esta resistencia se muestra en el circuito en serie de la figura
3.6 Note que como el calor de qr es independiente de y el
resultado precedente se pudo obtener con el método
alternativo.
 Considere ahora el sistema compuesto de la figura 3.7 Si se
recuerda como tratamos la pared plana compuesta y dejando
de lado las resistencias termicas de contacto interfacial, la
transferencia de calor se expresa como

20. •La posible existencia de un aislamiento
optimo para sistemas radiales lo sugiere la
presencia de efectos que compiten asociados
con un aumento en este espesor.
•EN particular aunque la resistencia de
conducción aumenta al agregar un aislante, la
resistencia de convección disminuye debido al
aumento del area de la superficie exterior.
•Por ello puede existir un espesor de
aislamiento que minimice la perdida de calor al
maximizar la resistencia total a la transferencia
de calor.

21. Considere el siguiente sistema:
1. Un tubo de cobre con pared delgada de radio ri se
usa para transportar un fluido refrigerante de baja
temperatura y está a una temperatura Tf que es
menor a la del aire del medio a T alrededor del
tubo ¿ Hay un espesor optimo asociado con la
aplicación del aislante al tub0?
2. Confirme el resultadoa anterior con el calculo de la
resistencia térmica total por unidad de longitud del
tubo, para un tubo de 10 mm de diametros que
tiene los siguientes espesores del aislante
0,2,5,10, 20 y 40 mm. El aislante se compone de
vidrio celular, y el coeficiente de convección de la
superficie externa es 5 W/m2.K

24. Análisis:
1. La resistencia a la transferencia
de calor entre el fluido
refrigerante y el aire es dominada
por la conducción del aislante y
la convección del aire. Por lo
tanto el circuito térmico es:
 
rhk
rr
R i
tot
 2
1
2
/ln

totR
T
q


Donde la resistencia de
conduccion y conveccion por
unidad de longitud se
dieron previamente. La
resistencia termica total por
unidad de longitud de tubo
es entonces:
Y la transferencia de calor
por unidad de longitud del
tubo es:

25. Un espesor optimo de aislamiento estaria asociado con
el valor de r que minimiza q´o maximiza R´. Este valor
se obtiene del requerimiento que
De aquí.
0
´

dr
dR tot
h
k
r
hrkrdr
dR tot

 0
2
1
2
1´
2

Para determinar si el resultado
anterior maximiza o minimiza la
resistencia total debe evaluarse la
segunda derivada. De Aquí: