Este documento presenta tres ejercicios relacionados con funciones y su composición e inversa. El primer ejercicio pide probar que una función dada es biyectiva. El segundo ejercicio pide hallar la función inversa de otra función. Y el tercer ejercicio pide hallar la composición e inversa de composición de varias funciones dadas.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
ESTRUCTURAS DISCRETAS I
PROF. GABY MUJICA
Realizado por:
Luis Andrade C.I: 20.274.953
Gustavo Cova C.I: 16.997.371
Elvis Sánchez C.I: 17.858.806

2. 1.- Probar que la función es biyectiva:
x,2 si x >= 4;
g(x)
5/(2x+6), si x < 4
Para probar que la función es biyectiva, se debe corroborar primero que es
inyectiva y sobreyectiva
Paso 1: para la inyectiva se tiene lo siguiente:
Si f(a) = f(b)
2 2
a = b , x >= 4
a = b (es inyectiva)
Paso 2: ahora se evalúa con 5/(2x+6), x < 4:
Si f(a) = f(b)
2a+6 = 2b+6
5 5 1 1
= = 2a = 2b
2a+6 2b+6 2a+6 2b+6 a=b
(es inyectiva)

3. Paso 3: Ahora se debe probar que es sobreyectiva :
g(x) = y = x 2 , x >= 4
x= y
Entonces sustituimos en:
2
g(x) = ( y ) = y (Entonces es sobreyectiva)
Paso 4: Cuando x < 4
5 5 5-6 5 – 6y
= y = g(x) = 2x+6 = 2x x=
2x+6 y y 2y
Sustituimos en g(x):
5
5
5 1 10y
g(x) = = 10 – 12y + 12y = = = y
2 ((5-6y) / (2y)) + 6 10 10
2y
2y
Como la función ramificada, es inyectiva y sobreyectiva, para los dos intervalos,
entonces dicha función es biyectiva. Por otro lado, se puede observar que dicha función
tiene una discontinuidad en x = 4.

4. 2.- Hallar la función inversa: f : R- -¼ R- -½
f(x) = 2x+3 / 4x +1
Paso 1: Despejamos x en función de y:
y (4x + 1) = 2x + 3
2x + 3 4yx + y = 2x + 3
y = 4x + 1
4yx – 2x = 3 - y
Paso 2: Sacamos factor común x:
x (4y - 2) = 3 - y
3-y
x=
4y - 2
Paso 3: Sustituimos la y por x, y nos queda:
-1 3-x
f (x) = 4x - 2 -1 3-x
El Dominio y Rango de f (x) = 4x - 2
es:
Dom(x): IR – { ½ }
Rag(x): IR - { -¼ }

5. 3.- Si f:R—>R definida como f(x)=3x-2 y g:R—>R definida por g(x)=x/27+2.
Halle:
a) gof con su respectivo dominio y rango.
b) fog con su respectivo dominio y rango.
-1
c) f og con su respectivo dominio y rango.
-1
d) g of con su respectivo dominio y rango.
a) g o f = g (f (x)) { Se lee g compuesta de f
(3x – 2) + 2
= 27
El Dominio y Rango:
3x – 2 + 54
=
27
Dom(x): IR
3x + 52
g (f (x)) = Rag(x): IR
27

6. b) f o g = f (g (x)) { Se lee f compuesta de g
=3 X + 2 -2
27
El Dominio y Rango:
3x + 6
= -2
27
Dom(x): IR
Rag(x): IR
1x + 4
f (g (x)) =
9

7. c) f -1 o g :
Paso 1: Hallamos la inversa:
f -1 (x) = ?
y = 3x – 2
y + 2 = 3x
y+2
X=
3
x+2
f -1 (x) =
3
Paso 2: Hallamos la compuesta:
El Dominio y Rango:
f -1 o g = f -1 (g (x))
( x/27 ) + 2 Dom(x): IR
= 3
Rag(x): IR
x + 108
f -1 o g = 81

8. d) g-1 o f :
Paso 1: Hallamos la inversa:
g -1 (x) = ?
X + 2
y=
27
y – 2 = x / 27
X = 27y – 54 x f (y)
Paso 2: Hallamos la compuesta:
El Dominio y Rango:
g -1(x) = 27x – 54
g -1(x) = 27 (3x – 2) – 54
Dom(x): IR
= 81x – 54 – 54
Rag(x): IR
-1
g (x) = 81x - 108

9. CONCLUSIÓN
Cuando se halla la función
inversa se cumple que el
conjunto de partida es ahora el
conjunto de llegada y viceversa,
el conjunto de llegada es el de
partida