El documento resume conceptos fundamentales sobre derivadas de funciones, incluyendo la definición de derivada en un punto, función derivada, ecuación de la recta tangente y normal, derivadas laterales, relación entre continuidad y derivabilidad, operaciones con derivadas, cálculo de derivadas de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y trigonométricas, y conceptos de monotonía y extremos relativos.

1. Autor:
Sebastián Lema

2. Derivada de una función en un punto
 La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es
finito, de las tasa de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La
representamos por f'(a) y es :
 Función derivada.
La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es
una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en
ese punto. La representamos por f'(x) o y' y viene dada por :

3. Ejemplo de cálculo de la función derivada

4. Idea gráfica del concepto de derivada

5. Ecuación de la recta tangente y normal a una curva
 La recta tangente a a una curva
en un punto es aquella que pasa
por el punto (a, f(a)) y cuya
pendiente es igual a f '(a).
y-f(a)=f’(a)(x-a)
 La recta normal a una curva en
un punto es aquella que pasa
por el punto (a, f(a)) y cuya
pendiente es igual a -1/f '(a).
y-f(a)=-1/f’(a)(x-a)

6. Derivada lateral por la izquierda
 La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x)
en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media
TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero,
es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite
existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral
por la izquierda y es :

7. Derivada lateral por la derecha
 La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el
punto x=a es el límite de las tasa de variación media, TVN[a,a+h]
cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo
valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la
función tiene derivada lateral por la derecha y es:

8. Continuación de derivadas laterales
 Si en un punto x=a, las derivadas
laterales no coinciden, es decir, son
distintas, la función no es derivable
en el punto x=a.
 Si la función tiene derivada en un
punto x=a, existen las derivadas
laterales y son iguales,es decir;
f’(a)=f’(a+)=f’(a-)

9. Relación entre continuidad y derivabilidad
 La condición de derivabilidad es más fuerte que la condición de continuidad,
una función derivable en un punto, además de ser continua en ese punto ,
varía suavemente al pasar por el punto, no sufre cambios bruscos. Esto, lo
expresamos matemáticamente en el siguiente enunciado:
“Si una función y=f(x) es derivable en x=a, entonces la función es continua en ese punto”
Demostración: Si existe y es finita f'(a)
Luego la función es continua en x=a .

10. Operaciones con derivadas
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

11. Cálculo de derivadas de funciones elementales
Función Derivada Ejemplos
Constante
y=k y'=0 y=8 y'=0
Identidad
y=x y'=1 y=x y'=1
Funciones potenciales

12. Cálculo de derivadas de funciones elementales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas

13. Cálculo de derivadas de funciones elementales
Funciones trigonométricas (Continuación)

14. Funciones crecientes y decrecientes

15. Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento
 TEOREMA 1  TEOREMA 2
Sea (f,D) derivable en c c R. Sea (f,D) derivable en c c R.
Entonces: Entonces:
 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Si una función es creciente en un punto, la pendiente de la recta tangente es
mayor o igual que cero.

16. Extremos relativos: Máximos y Mínimos relativos
 TEOREMA
Sea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un mínimo
relativo en a, entonces f´(a) = 0.
 El recíproco no es cierto en general:
f(x) = x3 es derivable en 0, y f´(x) = 3 x2, con f´(0) = 0; pero f no
tiene máximos ni mínimos en ningún punto (es estrictamente
creciente).
f(x) = |x| no es derivable en 0 y posee un mínimo en él.