Este documento presenta ejemplos de resolución de ecuaciones y inecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica dos formas de resolver ecuaciones exponenciales utilizando las propiedades de las funciones exponenciales e inversas. También muestra cómo resolver inecuaciones aplicando propiedades de logaritmos y funciones exponenciales para determinar el campo de soluciones.

1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGUNOS EJEMPLOS DE SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES
EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
PROFESOR FABIO VALENCIA M
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

2. Resolver la siguiente ecuación
La solución de la ecuación exponencial consiste en despejar el valor de x
Primera forma de resolver la ecuación
La función exponencial , es una función inyectiva, es decir que si
),entonces
Como, = Y ,de donde
, por lo tanto
, de donde x= , esta es la solución
Segunda forma de resolver la ecuación
La inversa de la función exponencial , es
Utilizando el concepto de la función inversa y el hecho de si f es la inversa de
g se cumple que,
En nuestro caso ,
Resolvamos la ecuación
Aplicamos su inversa ,ln(
Nos da la idéntica 3x-1 =0 , de donde ,x= i
Nota verifiquemos la solución
, con x= , tenemos , simplificando se
cumple, x= es la solución
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

3. Resolver la siguiente ecuación
Aplicamos la propiedad de los logarítmos ,
Hay dos formas de resolver la ecuación
Primera forma e de resolver la ecuación
Utilizando el hecho de la función logaritmo que es inyectiva o uno a uno
,factor común , de donde x=0 y x=
Verifiquemos cuales son solución de ,
x=0 no es solución porque
Sabemos que esto no se puede dar porque el dominio de la función logaritmo
son los reales positivos.
Revisemos, x= y veamos que es la solución
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

4. aplicando propiedades
de donde ,
Segunda forma de resolver la ecuación
, por propiedades
Utilizando el hecho de que la inversa de la función logaritmo es la función
exponencial
aplicamos la inversa
Solo sirve
Nota El alumno debe escoger una solución
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

5. Resolverla siguiente ecuación
Aplicando la inversa
,luego x=-1 es la solución
Revisemos la solución x=-1 en la ecuación,
se cumple
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

6. Resolver la siguiente ecuación
Primera forma de resolver la ecuación
Aplicando el hecho de que la función exponencial es inyectiva
De donde se tiene es la solución
Segunda forma de forma de resolver la ecuación
Aplico la la inversa que en este caso es
Se tiene x-1=1 de donde x=2 es la solución
Tercera forma de resolver la ecuación
Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros
Por propiedades de logaritmo tenemos
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

7. = luego x=2 es la solución
RESOLVER INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
El campo de solución son todos los reales, ese es el dominio de la función
exponencial
Como la función logaritmo es creciente al aplicarla no cambia el sentido de la
desigualdad
Solución
Resolver
El campo de solución son lo reales positivos
No se ve como aplicar propiedades , volvamos la inecuación positiva o
negativa
utilizando algebra como es
negativo se tiene que cumplir
debemos resolver cada inecuación , aplicando la
inversa de donde
para tenemos
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

8. , aplicando la inversa de donde
para tenemos
=
La solución es la unión
Veamos porque no es solución aplicando
propiedades del logaritmo
tenemos y esto es falso
Veamos porque no es solución
>1 y debe ser menor que 1
Por esto 0.2 no es soución
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

9. Resolver la inecuación
Antes de resolver el problema debemos saber cual es el campo de solución
de la inecuación, recordemos que el dominio de la función logaritmo
Son todos los reales positivos o tambien
Para el dominio
x> o también (
Para el dominio
x>1 o también
hacemos una intersección y tenemos como campo de solución
ya sabemos que el resultado del problema debe estar en este intervalo
Aplicando propiedades del logaritmo lna+lnb=ln(a.b)
aplicamos la inversa en ambos miembros de la inecuación, el sentido de la
inecuación no cambia porque la función exponencial es creciente
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

10. Se tiene que dar
Se hace una intersección y nos queda
Posible solución pero nuestro campo de solución es
luego la solución
Se puede revisar porque no es solución -5 o cualquier otro que este en
(
Si se reemplaza x por -5 en
Encontramos nos queda y esto no se puede dar
porque el dominio de la función logaritmo son los reales positivos
La solución es
Resolver la inecuación
Veamos el campo de solución que es donde puedo trabajar
el logaritmo
Se debe cumplir
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

11. Es decir ambos son positivos o ambos son negativos
Resolviendo las inecuaciones tenemos
El campo de solución de la ecuación es
Una manera rápida de hallar este dominio es utilizar
2x-1 ___-__-___-___-____0__-__ __+____+____+______
___ -__-___-___-____0__-__-___-__2__++++______
__+__+_+___+__+__0_+_+_ __-__-_2_+__+__+__+____
El campo de solución es
Ya sabemos cuales son los posibles valores de la solución ahora resolvamos la
ecuación
Aplicamos la inversa en ambos miembros de la inecuación y como la función
exponencial es creciente no cambia el sentido de la inecuación
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

12. Debemos saber si es positiva o negativa, despejemos
Se debe cumplir x+1_-_-_-_-_-1_+_+__0_+_+__+___+___+____
__-__-_-_-__-_-_- -0-_--------1_+ +_+__+__+_
_+__+-1_-_-_-_-0_-_-_- 1_+__+______
Los valores posibles de solución de la inecuación [-1,1]
Revisemos el campo de solución
La solución es
Revisemos porque no sirve -3
ln( ) y esto es falso
El logaritmo es negativo si y
Revisemos porque no sirve 6
y esto no se puede dar
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

13. Resolver la inecuación
El campo de solución son todos los números reales por ser una función
exponencial
Primera forma de resolver la inecuación
Utilizando el hecho de que la función decreciente
Tenemos de donde
La solución es
Segunda forma de resolver la inecuación
Aplicando la inversa y recordando que es una función
decreciente, significa que al aplicarlo a la inecuación se invierte el sentido de
la inecuación
Nos da la idéntica donde es la solución
La solución es
Tercera forma de resolver la inecuación
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M

14. Aplicando logaritmo natural en ambos miembros
es importante observar que no cambia de sentido la
inecuación por ser una función creciente
Aplicando propiedades
Debemos despejar x, como al pasarlo al otro miembro
dividiendo, cambia de sentido la inecuación.
donde x<2 solución es decir
Universidad tecnológica de Pereira
Profesor Fabio Valencia M