Este documento presenta la corrección de una prueba de matemáticas con 5 ejercicios. Cada ejercicio determina el dominio y/o recorrido de una función. Se proporciona la justificación para cada respuesta. Adicionalmente, se incluyen 2 ejercicios adicionales sobre inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de funciones.

1. ESCUELAPOLITÉCNICANACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
CORRECCIÓN DE LAPRUEBAN°1
2016 A GR11 2016-06-30
1. Sea 𝑓( 𝑥) = √| 𝑥 + 3| − 5 . El dominio de la función es:
a) [2,8]
b) ]−∞,−8] ∪ [2, +∞[
c) ]−∞,−8] ∪ [−2, +∞[
d) ]−∞,−2] ∪ [−8, +∞[
𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛.- | 𝑥 + 3| − 5 ≥ 0
| 𝑥 + 3| ≥ 5
𝑥 + 3 ≥ 5 ∪ 𝑥 + 3 ≤ −5
𝑥 ≥ 2 ∪ 𝑥 ≤ −8
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑏) ]−∞,−8] ∪ [2,+∞[
2. Sea 𝑓( 𝑥) = √𝑥2 − 4𝑥 − 5. El dominio de la función es:
a) ]−∞,−1] ∪ [5, +∞[
b) ]−∞,1] ∪ ]5, +∞]
c) [−1,5]
d) ]−1,5]
𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥2 − 4𝑥 − 5 ≥ 0
( 𝑥 − 2)2 − 9 ≥ 0
√ ( 𝑥 − 2)2 ≥ √9
| 𝑥 − 2| ≥ 3
𝑥 − 2 ≥ 3 ∪ 𝑥 − 2 ≤ −3
𝑥 ≥ 5 ∪ 𝑥 ≤ −1
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑎) ]−∞,−1] ∪ [5, +∞[

2. 3. Sea 𝑓( 𝑥) =
𝑥+5
𝑥−3
, 𝑥 < −5. El recorrido de la función es:
a) ]−∞,1]
b) ]−∞,0[
c) ]0,1[
d) [0,1[
𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑓: 𝑥 < −5
x + 5 x –3 𝑥 − 3 < −8 < 0
-x +3 1
−8
8
<
8
𝑥−3
< 0
+ 8 −1 <
8
𝑥−3
< 0
0 < 1 +
8
𝑥+3
< 1
𝑦 = 1 +
8
𝑥−3
0 < 𝑦 < 1
𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ]0,1[
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑐) ]0,1[
4. Sea la 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10, 𝑥 < 2. El recorrido de la función es:
a) [2,+∞[
b) ]−∞,2]
c) ]−∞,2[
d) ]2,+∞ [
𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑓: 𝑥 < 2
𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 𝑥 − 3 < −1
𝑦 = ( 𝑥 − 3)2 + 1 ( 𝑥 − 3)2 > 1
( 𝑥 − 3)2 + 1 > 2
𝑦 > 2
𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ]2, +∞[
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑑) ]2,+∞[

3. 5. Sea 𝑓: ]−5,2] → 𝐵
𝑥 → 𝑓( 𝑥) = 4 − 7𝑥
Determinar el conjunto B para que la función sea sobreyectiva.
a) [10,39[
b) [−10, 39]
c) [−10, 39[
d) [14,39[
𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑓: − 5 < 𝑥 ≤ 2
−35 < 7𝑥 ≤ 14
35 > −7𝑥 ≥ −14
39 < 4 − 7𝑥 ≥ −10
−10 ≤ 𝑦 < 39
𝑅𝑓: 𝑦 ∈ [−10,39[ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑠𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐵 = 𝑅𝑓
𝑓: ]−5,2] → [−10, 39[
𝑥 → 𝑓( 𝑥) = 4 − 7𝑥
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑐) [−10,39[
Ejercicios.-
1. Determinar los conjuntos A y B para que la función f sea biyectiva.
𝑓: 𝐴 → 𝐵
𝑥 → 𝑓( 𝑥) = √
2−𝑥
𝑥+3
𝑦 = √
5
𝑥+3
− 1
2 − 𝑥
𝑥 + 3
≥ 0 ∧ 𝑥 + 3 ≠ 0
𝑥 ≠ −3
[ −3, 2]
𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ]−3,2] 𝑦 = √
5
𝑥+3
− 1
𝐴 = 𝐷𝑓 𝑓( 𝑥1) = 𝑓( 𝑥2)
𝐴 = ]−3,2] √
5
𝑥1+3
− 1 = √
5
𝑥2+3
− 1
5
𝑥1+3
− 1 =
5
𝑥2+3
− 1
𝑥1 + 3 = 𝑥2 + 3
𝑥1 = 𝑥2
∴ 𝑓( 𝑥) 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
(2 − 𝑥) +
( 𝑥 + 3 ) +
2 − 𝑥
𝑥 + 3
- + +
+ -
- +
-∞ - 3 2 + ∞

4. 𝐷𝑓: − 3 < 𝑥 ≤ 2
0 < 𝑥 + 3 ≤ 5
1
5
≤
1
𝑥 + 3
1 ≤
5
𝑥 + 3
0 ≤
5
𝑥 + 3
− 1
𝑦 ≥ 0
𝑅𝑓 ∶ [0,+ ∞ [
𝑅𝑓 = 𝐵
𝐵 = [0,+ ∞ [
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑓( 𝑥) = {
4 − 𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
2𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 > 0
a) Determinar si f es inyectiva
𝑓( 𝑥)1 = 4 − 𝑥2
𝑓(𝑥)2 = 2𝑥 + 6
𝑥 ≤ 0 𝑥 > 0
𝑓( 𝑥1) = 𝑓( 𝑥2) 𝑓( 𝑥1) = 𝑓( 𝑥2)
4 − 𝑥1
2
= 4 − 𝑥2
2
2𝑥1 + 6 = 2𝑥2 + 6
√ 𝑥1 = √ 𝑥2 2𝑥1 = 2𝑥2
| 𝑥1| = | 𝑥2| 𝑥1 = 𝑥2
( − ) ( − )
−𝑥1 = − 𝑥2 ∴ 𝑓(𝑥)2 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑥1 = 𝑥2
∴ 𝑓(𝑥)1 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

5. 𝐷𝑓( 𝑥)1: 𝑥 ≤ 0 𝐷𝑓( 𝑥)2: 𝑥 > 0
𝑥2
≥ 0 2𝑥 > 0
−𝑥2
≤ 0 2𝑥 + 6 > 6
4 − 𝑥2
≤ 4 𝑦 > 6
𝑦 ≤ 4 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ]6,+∞[
𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ]−∞,4]
𝑅 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿: ]−∞,4] ∪ ]6,+∞[
𝑅𝐼𝑁𝑌𝐸𝐶𝑇𝐼𝑉𝑂 : ]−∞,4] ∩ ]6,+∞[
𝑅𝐼𝑁𝑌𝐸𝐶𝑇𝐼𝑉𝑂 = ∅
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
b) Redefinir la función para que f sea sobreyectiva
𝑓: ℝ → ]−∞,4] ∪ ]6,+∞[
𝑥 → 𝑓( 𝑥) = {
4 − 𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
2𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 > 0
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎.