Este documento presenta actividades relacionadas con ecuaciones de segundo grado y teoremas geométricos. Incluye problemas sobre ecuaciones cuadráticas completas e incompletas, y sobre el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones a triángulos rectángulos y figuras geométricas. El documento proporciona 19 actividades para que los estudiantes practiquen y apliquen diferentes conceptos matemáticos.

1. Banco de Actividades Parciales Bloque II
Matemáticas III
Escuela Secundaria Diurna No. 135
“Unión de República Socialistas Soviéticas”
Autor: Profesor Jose Javier Ramos Ponce
Ciclo Escolar 2015-2016
Alumno: _____________________
Grado: _______ Grupo: _______

2. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
2
Tema: Patrones y Ecuaciones
Contenido: Uso de Ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas
usando factorización.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Las ecuaciones de segundo grado son del tipo: ax2
+ bx + c = 0 con a ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas en las que o b = 0 o c = 0.
Ejemplo: 2x2
- 32 = 0 (ecuación del tipo ax2
+ c = 0, b = 0)
Se suma 32: 2x2
= 32
Se divide por 2: x2
= 16
Se extrae la raíz cuadrada: x = - 4, x = 4
Ejemplo: 2x2
+ 3x = 0 (ecuación del tipo ax2
+ bx = 0, c = 0)
Se extrae x como factor: x(2x + 3) = 0
Primer factor nulo: x = 0
Segundo factor nulo: 2x + 3 = 0
x = -3:2
Actividad: Indica el valor de los coeficientes a, b y c de las siguientes ecuaciones de
segundo grado.
a b c
a) 3x2
+ 2x – 3 = 0
b) x2
+ x = 0
c)
2
3
x – x2
+ 5 = 0
d) 6 – x2
= 0
e) 2x – 3 = x2
f) 3 + 5x2
=
2
3

3. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
3
Actividad: ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado son incompletas?
¿Por qué?
a) 6x2
+ 3x - 1 = 0 d) 2x - 4x2
= 0
b) 4x - x2
= 0 e) 3 - x = x2
c) 2x - 1 = x2
f) x2
- 3 + x = 0
Actividad: Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes
ecuaciones de segundo grado:
a) x1 = 1, x2 = -1 de x2
- 1 = 0
b) x1 = 4, x2 = -4 de 80 = 20x2
c) x1 = 9, x2 = -9 de 3x2
- 27 = 0
d) x1 = 1, x2 = -1 de -x2
+ 1 = 0

4. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
4
Actividad: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas,
empleando el método de los binomios conjugados
a) x2
- 16 = 0
b) 3x2
- 147 = 0
c) x2
- 144 = 0
d) 7x2
= 343
e) 3x2
= 243
f) x2
- 24 = 120
g) 3x2
+ 12 = 0
h) 7x2
- 28 = 0

5. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
5
Actividad: Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes
ecuaciones de segundo grado.
a) x1 = 1, x2 = -1 de x - x2
= 0
b) x1 = 0, x2 = 1 de x2
= x
c) x1 = 1, x2 = -10 de 3x2
= 30x
d) x1 = 0, x2 = 12 de 3x2
- 39x = 0
e) x1 = 0, x2 = -5 de 4x2
+ 20x = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas, utilizando el método
de factorización común
a) 2x2
+ 7x = 0
b) x2
- 64x = 0
c) 5x2
- 40x = 0
d) 4x2
– 9x = 0
e)
5
2
x
= x

6. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
6
Ecuaciones de segundo grado completas
La ecuación de segundo grado ax bx c2
0+ + = se dice que está completa cuando todos
los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la
regla:
x
b b ac
a
=
− ± −2
4
2
El valor del radicando de b ac2
4− permite saber el número de soluciones sin necesidad
de hallarlas. D b ac= −2
4 se llama discriminante.
si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -)
D b ac= −2
4 si D es cero, tiene una solución (solución doble)
si D es negativo, no tiene soluciones
Ejemplo: x x2
3 2 0− + = en esta ecuación a b c= = − =1 3 2, , y aplicando la fórmula
( ) ( )
x =
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅
=
± −
=
±
=
3 3 4 1 2
2 1
3 9 8
2
3 1
2
2
3 1
2
4
2
2
+
= =
3 1
2
2
2
1
−
= =
x = 2
x = 1

7. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
7
Actividad: Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes
ecuaciones:
a) x x2
7 3 0− + = b) x x2
16 64 0− + = c) x x2
6 13 0− + =
d) x x2
14 49 0− + = e) 3 5 2 02
x x− + = f) 2 45 02
x x− − =
g) x x2
2 0+ + = h) 4 12 9 02
x x− + = i) x x2
8 25 0− + =
j) x x− + =2 7 02
k) x x− + =5 3 02
l) 8 3 02
+ + =x x

8. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
8
Actividad. Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes
ecuaciones de segundo grado:
a) x1 = 1, x2= -1 de x2
- x - 1 = 0
b) x1 = 3, x2 = 4 de x2
- 7x + 12 = 0
c) x1 = -6, x2 = 0 de x2
+ 5x - 6 = 0
d) x1 = -2, x2 = 4 de x2
- 2x - 8 = 0
e) x1 = 0, x2 = 1 de x2
- 2x - 3 = 0
Actividad. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:
a) x2
- 5x + 6 = 0 g) 12 = x2
+ x
b) x2
+ 5x + 6 = 0 h) 3x + 10 = x2
c) x2
– x - 6 = 0 i) x2
- 4x + 4 = 0
d) x2
+ x - 6 = 0 j) 9x2
- 6x + 1 = 0
e) 8x2
- 10x + 3 = 0 k) 100x2
+ 20x = -1

9. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
9
Actividad. En cada uno de las siguientes situaciones, plantea la ecuación
correspondiente y, resolviéndola, encuentre la solución correspondiente.
1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?
2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál
es ese número?
3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es
ese número?
4. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?
5. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Cuál es ese
número?
6. El producto de dos números consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?
7. El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m2
,
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
8. El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro,
¿cuáles son los números?
9. Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es
270, ¿qué edad tiene cada uno?

10. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
10
Tema: Medida
Contenido: Análisis de las relaciones entre áreas de cuadrados que se construyen
sobre los lados de un triángulo rectángulo
Contenido: Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras (Teorema Jónico de los
Triángulos Rectángulos)
Tipos de Triángulos según sus ángulos
“Si la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo, es igual al cuadrado
de la longitud de la hipotenusa, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo”.
Las siguientes propiedades nos permiten saber la clasificación de un triángulo según la
medida de sus ángulos, conociendo sólo la medida de sus lados:
Si a, b y c representan las medidas de los lados
de un triángulo, tal que c es la mayor medida,
se cumple que:
• Si 222
bac += entonces el Δ es
rectángulo.
• Si 222
bac +< entonces el Δ es
acutángulo.
• Si 222
bac +> entonces el Δ es
obtusángulo.

11. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
11
Actividad. Indique en cada caso si las medidas de los lados corresponden a un triángulo
acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
a) 31, 40, 53 ______________________
b) 41, 38, 52 ______________________
c) 18, 30, 24 ______________________
d) 50, 48, 14 ______________________
e) 7, 8, 9 ______________________
f) 10, 26, 24 ______________________
g) 10, 3 , 12 ______________________
h) 2 , 3 , 1 ______________________

12. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
12
Actividad. Desarrolle y analice la manera de localizar ternas jónicas (¿ternas pitagóricas?)

13. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
13
Actividad. Desarrolle y analice el teorema jónico de los triángulos rectángulos (¿Teorema
de Pitágoras?)

14. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
14
Actividad. Hallar la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes casos.
x8 cm
5 cm
x
3,2 cm
4,1 cm
20 cm
12 cm
x cm
x
37
20

15. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
15
Actividad. Utilizando el teorema jónico, resuelva las siguientes situaciones. (Puede
realizar una figura auxiliar)
1. Calcule la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10 cm.
También se pide el área del cuadrado.
2. Calcular la medida de la diagonal de un rectángulo con lados 3 y 4 centímetros
respectivamente.
3. Calcular la altura de un triángulo equilátero de 5 cm de lado.
4. Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de acero.
Si se desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia de 4 m de la
base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán?.
5. Calcule la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm,
respectivamente.
6. Los lados de un triángulo isósceles miden 13 cm, 13 cm y 10 cm. Calcule su área.
7. Determinar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los
catetos miden 6 cm y 3 cm respectivamente.

16. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
16
8. Si en un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es 32 cm y la de uno de
sus catetos es 12 cm. Hallar la longitud del otro cateto.
9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección
de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.
10.En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la
hipotenusa.
11.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4056 m y la
proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
a) Los catetos.
b) La altura relativa a la hipotenusa.
c) El área del triángulo.
12. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la
proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la
altura relativa de la misma cm.

17. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
17
13. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared.
El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la
escalera sobre la pared?
14. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es
igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus
áreas?
15. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una
circunferencia de radio 6 cm.
16.Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de
longitud 18.84 m.
17. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado si su lado mide 12 cm?
18.Hallar el área y el perímetro de un rectángulo sabiendo que la medida del ancho
es 15 cm y la medida de la diagonal es 20 cm.
19.Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 10 cm respectivamente. ¿Cuánto
mide cada uno de sus lados?

18. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
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Tema: Figuras y Cuerpos
Contenido: Propiedades de la traslación y la rotación de figuras.
Actividad: Elija la opción que responda cada uno de los siguientes cuestionamientos.
1. ¿Cuál de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningún eje de simetría?
a) C b) M c) A d) R e) X
2. Los triángulos 2, 3, 4 y 5 han sido obtenidos a partir del triángulo 1. ¿Cuál de ellos
corresponde a la reflexión del triángulo 1?
a) triángulo 2 b) triángulo 3 c) triángulo 4 d) triángulo 5 e) Ninguno
3. ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a una transformación isométrica?
a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Reflexión e) Permutación

19. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
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4. El movimiento de un ascensor panorámico es un ejemplo de:
a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Isometría e) Teselación
5. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura siguiente?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6. ¿Qué figura muestra todo los ejes de simetrías de un rectángulo?:
a) b) c) d) e) Ninguna de
las anteriores
7. Un carrusel de niños es un ejemplo de:
a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Isometría e) Teselación

20. Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce
20
8. ¿Cuál de las alternativas representa la rotación de la figura dada?
a) b) c) d) e) Ninguna de
las anteriores
9. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación
(4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es:
a) (3,6) b) (2,1) c) (6,0) d) (6,1) e) (7,2)
10. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslación de este
punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada?
a) (-2,6) b) (8,6) c) (-2,4) d) (-15,5) e) (8,4)