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Ejercicios Resueltos
Ingenier´ıa
Sistemas de control autom´atico
´Ultima edici´on: 8 de abril de 2016
Problema 2: Cuando ξ es igual a uno
Tenemos la siguiente planta:
G(s) =
ω2
n
s(s + 2ξωn)
Encuentre una expresi´on para c(t) cuando ξ = 1 y la entrada es un escal´on unitario.
ξ ωns(s+2 )
ωn
2R(s) C(s)
−
+
Soluci´on:
Como ξ = 1, la funci´on G(s) queda de la siguiente manera:
G(s) =
ω2
n
s2 + 2ωns
. (2.1)
Sabemos que la funci´on de transferencia en un lazo cerrado viene dada por:
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 + H(s)G(s)
(2.2)
pero en este caso H(s) = 1. Reemplazamos la ec. (2.1) en (2.2), y desarrollamos:
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 + G(s)
=
ω2
n
s2 + 2ωns
1 +
ω2
n
s2 + 2ωns
=
ω2
n
s2 + 2ωns
s2
+ 2ωns + ω2
n
s2 + 2ωns
=
ω2
n
s2 + 2ωns + ω2
n
,
C(s)
R(s)
=
ω2
n
s2 + 2ωns + ω2
n
, (2.3)
C(s)
R(s)
=
ω2
n
(s + ωn)2
. (2.4)

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Como la entrada es un escal´on unitario, sabemos que la Transformada de Laplace de un escal´on unitario es R(s) = 1/s,
entonces, reemplazamos en la ec. (2.4) y obtenemos
C(s) =
ω2
n
s(s + ωn)2
,
separamos esta expresi´on en fracciones parciales, de modo que
C(s) =
ω2
n
s(s + ωn)2
=
A1
s
+
A2
(s + ωn)
+
A3
(s + ωn)2
.
Es f´acil notar que las raices del polinomio caracter´ıstico son:
s1 = 0, s2 = −ωn, s3 = −ωn.
Entonces, calculamos los valores de A1, A2 y A3 usando el m´etodo de l´ımites:
2

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A1 = l´ım
s→s1
(s − s1) · C(s) = l´ım
s→0 ¡s ·
ω2
n
¡s(s + ωn)2
=
ω2
n
ω2
n
= 1.
A2 = l´ım
s→s2
(s − s2) · C(s) = l´ım
s→−jωn
@@@@@@
(s − {− jωn}) ·
ω2
n
s$$$$(s + jωn)(s − jωn)
= l´ım
s→−jωn
ω2
n
s(s − jωn)
,
=
ω2
n
(−jωn)(− jωn − jωn)
,
=
ω2
n
(−jωn)(−2 jωn)
,
=
ω2
n
2 j2ω2
n
,
=
ω2
n
−2ω2
n
,
= −
1
2
,
A3 = l´ım
s→s3
(s − s3) · C(s) = l´ım
s→ jωn
$$$$$
(s − { jωn}) ·
ω2
n
s(s + jωn)$$$$(s − jωn)
= l´ım
s→ jωn
ω2
n
s(s + jωn)
,
=
ω2
n
( jωn)(jωn + jωn)
,
=
ω2
n
( jωn)(2 jωn)
,
=
ω2
n
2 j2ω2
n
,
=
ω2
n
−2ω2
n
,
= −
1
2
,
en s´ıntesis
A1 = 1, A2 = −
1
2
, A3 = −
1
2
,
Por lo tanto, reemplazamos estos valores en la ec. (2.5)
C(s) =
1
s
−
1
2(s + jωn)
−
1
2(s − jωn)
.
Al aplicar la Anti-Transformada de Laplace obtenemos
c(t) = A1e−s1t
+ A2e−s2t
+ A2e−s3t
,
3

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por lo tanto
c(t) = 1 · e−0·t
−
1
2
e−(− jωn)t
−
1
2
e−(jωn)t
,
c(t) = 1 −
1
2
ejωnt
−
1
2
e− jωnt
. (2.5)
4