Este documento describe los diferentes tipos de cuerpos geométricos tridimensionales, incluyendo poliedros como el prisma y la pirámide, y cuerpos redondos como el cilindro, el cono y la esfera. Define los elementos de cada figura y presenta teoremas y fórmulas para calcular el área y volumen. Incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.

1. 2018
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2. Un sólido o cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones
(largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene
un volumen.
Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y Cuerpos Redondos:

3. ❖Poliedros
La palabra poliedro proviene del griego y significa muchas caras. Los poliedros son
cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos (figuras geométricas
planas). Por lo tanto, tienen todas sus caras planas. Los elementos de un poliedro
son caras, aristas y vértices.
➢ El prisma
Está constituido por dos bases poligonales e iguales y sus caras laterales son
paralelogramos. Según el número de lados de la base se le da el nombre al
prisma.
Por ejemplo: Prismas triangular (sus bases son un triángulo), Prismas
cuadrangulares (sus bases son cuadrados), Prisma pentagonal (sus bases son
pentágonos), Prisma hexagonal (sus bases son hexágonos), etc.
La altura de un prisma es la distancia entre las bases.
El teorema de Euler:
para poliedros establece una relación entre los números de caras (C),
aristas (A) y vértices (V) que se cumple para todo poliedro convexo. La
relación es la siguiente:

4. ✓ EJERICIO DE UN PRISMA
➢ La pirámide
Es una figura tridimensional constituida por una base poligonal y por caras
laterales cuyas aristas concurren a un punto del espacio llamado cúspide o
vértice común, por lo tanto las caras laterales siempre serán triangulares. El
eje o altura de la pirámide es la línea que va del vértice al centro de la base.
La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus
caras laterales.

5. La pirámide se llama rectangular cuando el eje es perpendicular al centro de la
base, en un caso diferente se llama oblicua. La porción de pirámide comprendida
entre la base y la sección producida por un plano que corta sus caras laterales se
llama tronco de la pirámide o pirámide truncada.
TEOREMA:
El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos
rectángulos (At):
✓ EJERCICIO DE UNA PIRAMIDE:

6. ❖ Cuerpos redondos
Son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas
curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.
El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos redondos .
➢ 5.1- El cilindro
Un cilindro es una superficie cilíndrica que se forma cuando una recta ,
denominada generatriz, gira alrededor de otra recta paralela, denominada eje.
También lo podemos definir como el cuerpo que se genera cuando un rectángulo
gira alrededor de un de sus lados. El cilindro tiene dos bases circulares y una
superficie curva.
5.1.1- Elementos del cilindro
Por medio del dibujo de arriba, es posible determinar los elementos de un cilindro,
que son: eje, bases, altura y generatriz.
- Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo.
- Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados
AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de sucírculo y
también, el radio del cilindro.

7. - Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al
centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.
- Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara
lateral o manto del cilindro.
- Radio: el radio de los círculos que forman las bases también es el radio del
cilindro.
- Centro: es el centro de cada una de las bases circulares.
El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral que
es curva y 2 aristas basales. Puedes observar que en el desarrollo en el plano se
forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de la
circunferencia que forma las bases y la altura o generatriz.
TEOREMA:
El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de
una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es
igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, 2 pi d recorrida por
su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje
✓ EJERCICIO DE UN CILINDRO

8. ➢ 5.2- El cono
El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar
en torno a uno de sus catetos. El cono tiene una base circular y una superficie
curva.
5.2.1- Elementos del cono
En el dibujo de arriba podemos distinguir los elementos de un cono recto:
- Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.
- Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es
el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB).
- Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región
lateral conocida como manto del cono.
- Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la
cúspide siendo perpendicular a la base.
- Centro: Es el centro de la base.
El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal
y un vértice llamado cúspide.

9. TEOREMA:
Generatriz del cono
El cono es un cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar en
torno a uno de sus catetos, que será la altura del cono y la hipotenusa será la generatriz.
Por el teorema de Pitágoras la longitud de la generatriz s del cono será igual a:
donde h es la altura del cono y r el radio de su base.
✓ EJERICICIO DE UN CONO

10. ➢ 5.3- Esfera
La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de
su diámetro.
5.3.1- Elementos de la esfera
Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica
donde se determinan los siguientes elementos:
- Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.
- Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia y corresponde al punto
O.
- Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.
- Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la
superficie esférica, pasando por el centro: AB.

11. La esfera tiene una sola cara curva. Todos los puntos que forman la superficie
esférica equidistan de uno fijo llamado centro, y que corresponde al centro de la
semicircunferencia que gira.
5.3.2- Cortes
Una esfera puede ser cortada por un plano que pasa por su centro. De esta forma
se obtienen 2 semiesferas y el plano deja como borde un círculo máximo.
Veamos la ilustración:
Si el plano corta a la esfera sin pasar por su centro se obtienen 2 casquetes
esféricos.
Veamos un ejemplo:

12. Teorema
Si cuatro círculos son mutuamente tangentes de curvatura ki (para cada i = 1,...,4), el
teorema dice:
Al tratar de encontrar el radio del cuarto círculo tangente a los otros tres círculos, la
ecuación se reescribe como:
El signo ± refleja que en general existen dos soluciones, criterios externos pueden
favorecer una solución sobre la otra en un determinado problema.
✓ EJERCICIO DE UN CIRCULO:

13. Formulario área y volumen cuerpos geométricos
En la siguiente ilustración podrás ver las distintas fórmulas para obtener el área y volumen de los
cuerpos geométricos.