Curso de Matemáticas Financieras Realizado por Gustavo Camargo Gutierrez

Valor del Dinero en el Tiempo

Conceptos Claves
INFLACION: La inflación es una medida económica que indica el crecimiento
generalizado de los precios de bienes, servicios y factores productivos dentro de una
economía en un periodo determinado. Para su cuantificación se usa el "índice de precios
al consumo".
Causas de la inflación
Debido a la demanda (la capacidad monetaria de una población es excesiva frente a una
oferta de bienes y servicios)
Debido al aumento de costos ( los productos y servicios ofertados aumentan debido al
incremento en los costos de materia prima y mano de obra que utilizan.
Expansión Monetaria: Los gobiernos acuden a la emisión de dinero para cubrir déficit
fiscal.
Efectos de la inflación
Los efectos que la inflación acarrea a una economía suelen ser negativos. El daño de las
consecuencias dependerá de si la subida de precios estaba prevista o fue sorpresiva.
Cuanto mayor se la inflación, mayores serán los costos que sufra la economía, partiendo
de la pérdida del poder adquisitivo del dinero.
Índice de Precios al Consumo (IPC)
Consiste en un indicador económico que mide periódicamente la variación que
experimentan los precios de un conjunto de productos, en relación con el periodo
anterior.
Tomado de : www.e-conomic.es/

Suponga que usted dispone de un billete de $1.000 el día primero de enero del
año 2013, con esta cantidad usted puede adquirir una botella de su bebida
preferida. Ahora suponga que usted no compro esa bebida en ese momento y que
guardo este billete par dentro de un año. Precisamente el día 1 de enero de 2014
usted fue a comprar con este dinero guardado su bebida preferida. Que puede
pasar?
Desafortunadamente usted no podrá adquirir su bebida puesto que este producto
ya no costara $1.000 si no una cifra superior.
RAZONES.
INFLACION. Este fenómeno económico hace que el dinero pierda valor o poder de
compra, por tanto con los $1.000 podrá adquirir menos bienes que los que pudo
adquirir hace un año.

COSTO DE OPORTUNIDAD.
El costo de oportunidad de una decisión económica que tiene varias alternativas,
es el valor de la mejor opción no realizada. Es decir que hace referencia a lo que
una persona deja de ganar o de disfrutar, cuando elije una alternativa entre varias
disponibles.
En la vida cotidiana de las personas se toman innumerables decisiones que
implican la elección de una alternativa entre varias. Ejemplo 1: ¿Voy al trabajo
caminando o en taxi? Si voy caminando, el no voy a pagar dinero, sin embargo,
desde el punto de vista del costo de oportunidad no puedo afirmar que el costo es
cero, debido a que debo tener en cuenta que ir caminando me tomará un tiempo.
Si ir caminando al trabajo me toma 30 minutos, mientras que ir en taxi me toma
10 minutos, el costo de oportunidad de ir caminando al trabajo expresado en
tiempo será 20 minutos. Si considero que caminar me reporta un beneficio a la
salud, el costo de oportunidad de ir en taxi está representado por la suma de lo
mejor que pudiera haber hecho con el dinero que me cobró el taxista, mas los
beneficios para la salud que dejé de recibir por no ir caminando.
Si una persona tiene un dinero depositado en una cuenta de ahorro que le
garantiza un rendimiento del 0.8% mensual, un amigo le propone un negocio cuyo
rentabilidad es el doble, al sacar este dinero del banco y clocarlo en este nuevo
negocio, incurre en un costo de oportunidad al desaprenderse de un rendimiento
del 0.8% con la esperanza de obtener el doble.

RIESGO FINANCIERO.

El riesgo financiero es un término amplio utilizado para referirse al riesgo asociado
a cualquier forma de financiación. El riesgo puede se puede entender como
posibilidad de que los beneficios obtenidos sean menores a los esperados o de que
no hay un retorno en absoluto.
Por tanto, el riesgo financiero engloba la posibilidad de que ocurra cualquier
evento que derive en consecuencias financieras negativas. Se ha desarrollado todo
un campo de estudio en torno al riesgo financiero para disminuir su impacto en
empresas, inversiones, comercio, etc.

Fuente: Riesgo financiero | Definición http://www.efxto.com/diccionario/r/3738riesgo-financiero#ixzz2lgiElDcX

BIEN ECONOMICO.

El dinero es una activo económico que tiene la capacidad de generar mas riqueza.
Ejemplo. Cuando usted deposita en una banco una suma de dinero en un banco y
tiempo después (por decir dos años) usted va a recibir una cantidad superior a la
que deposito inicialmente.
Esta relación del dinero con el tiempo esta ligada al concepto de creación de
riqueza.
Una misma unidad monetaria colocadas en diferentes fechas tienen valores
diferentes..
Por ejemplo si hoy cancelamos $50.000 y dentro de 6 meses cancelamos
$100.000, no podemos afirmar que hemos cancelado $150.000, puestos que estas
sumas están situadas en distintas fechas afectadas por los fenómenos vistos
como la inflación, costo de oportunidad, riesgo y valor del dinero en el tiempo.

INTERES.

Las personas que quieran usar los dinero de otros no lo harán sin pagar un costo
por este uso (es decir el uso del dinero no puede ser gratuito).
Si en el día de hoy un amigo nos pide prestado $100.000 con la esperanza de
regresárnoslo en 2 meses, estamos aceptando que este amigo use un activo
nuestro para el sacarle provecho (usufructuarlo) y por lo tanto al desprendernos
de nuestro activo este amigo nos debe reconocer una cantidad adicional que
satisfaga a nosotros prestarle por dos meses nuestro dinero. Esa cantidad
adicional o utilidad que percibimos se conoce como INTERES.
INTERES. Es la utilidad que yo recibo por prestar mi dinero durante un tiempo
determinado, de tal forma que esta utilidad cobije variables que hemos
mencionado como son la inflación, el riesgo y una rentabilidad real que uno
espera obtener por facilitar el activo.
Se puede mirar el interés como un arriendo que se paga por un dinero (bien) que
se necesita.

VALOR PRESENTE.

Es la suma de dinero que se tranza en el momento justo de hacer una operación
de préstamo de dinero. Si hoy presto $50.000 con la esperanza de recibir $70.000
dentro de 3 meses, los $50.000 son el valor presente y los $70.000 se conoce
como valor futuro.
Interés = Valor Futuro - Valor Presente
Interés = $70.000 - $50.000 = $20.000
El dinero prestado se incremento en tres meses la suma de $20.000 y se conocen
como los intereses o utilidad de la operación financiera.


TASA DE INTERES.
Es el indicador que se usa para definir la utilidad en una operación de préstamo
de dinero y se define como la relación que hay entre la utilidad recibida y la
cantidad prestado o invertida.
i = Utilidad (intereses) / Valor Presente Invertido o Prestado
i = I / VP
Ejemplo. Una persona deposita $100.000 en el día de hoy y al cabo de 6 meses
recibe la suma de $135.000. Cuales fueron los intereses y la tasa de interés ganada
en esta operación.
I = $135.000 - $100.000 = $35.000
i = $35.000 / $100.000 = 35% trimestral.
PERIODO DE LIQUIDACION.
Las tasas de interés (i) deben siempre ir acompañadas del periodo en que se
liquidan los intereses pues si no tienen este atributo no expresan nada.

EQUIVALENCIA
Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, son
equivalentes cuando, valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen la
misma cuantía.
Por ejemplo $1.000.000 de hoy es equivalente a $1.300.000 dentro de un año, si la
tasa de interés (i) es del 30% anual.
Es decir si una persona presta $1.000.000 en el día de hoy, para esta persona es
indiferente que recibir dentro de un año l suma de $1.300.000, pues estos valores
son financieramente equivalentes a la tasa del 30% anual.
Este concepto es relativo a las expectativas de rendimiento del dinero que en cada
persona es diferente de acuerdo al riesgo y la rentabilidad real esperada.
Cuando una persona ahorra una cantidad en un banco a una tasa de interés
determinada aplica el concepto de equivalencia, pues esta aceptando entregar una
cantidad inicial VP para recibir en el futuro una cantidad (VF), para este ahorrador
VP y VF son equivalentes a una tasa de interés (i) determinada.

FLUJO DE CAJA
Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos
valores se pueden representar sobre una línea recta que mida el tiempo de la
duración de la operación financiera . Los ingresos se indican hacia arriba de la línea
horizontal y los egresos o salidas hacia debajo de la línea horizontal.
En la solución de problemas de matemáticas financieras el primer paso es la
construcción del flujo de caja, pues en este se reflejan las variable s dadas y las
variables por encontrar.
Ejemplo. El señor Pérez deposita hoy la suma de $1.000.000 en el banco A y 6 meses
después el banco le devuelve la suma de $1.300.000 construir el flujo de caja.
Flujo de caja del sr Pérez
$1.300.000
hoy
6meses
$1.000.000

FLUJO DE CAJA
Flujo de caja del Banco A
hoy
$1.000.000
6meses

$1.300.000

ALGUNOS TIPOS DE CREDITO
1. CRÉDITO DE LIBRE INVERSIÓN
También llamado “crédito de libre disponibilidad” este préstamos ofrecido por todos los bancos de Colombia que cuentan
con banca personal.
¿QUÉ PUEDO FINANCIAR CON ESTE CRÉDITO?
La libertad es libre enseña el refrán. Y es así que cada cliente puede destinar el préstamo según sus preferencias.
Generalmente, se emplea para financiar viajes, compras de bienes para el hogar, pago de servicios, financiación de
educación y salud, etc. Este crédito de consumo tiene pocos requisitos, sobre todo si el monto solicitado es bajo.
2. CRÉDITO DE CUPO ROTATIVO
Con este crédito el solicitante accede un cupo de dinero que puede retirar cuando quiera de manera parcial o total. Con esta
herramienta los bancos de Colombia ofrecen una opción de financiamiento que permite administrar mejor el monto del
crédito.
¿CÓMO FUNCIONA ESTE CRÉDITO?
Cada vez que el cliente realiza un retiro de dinero, el saldo se le reprograma en varios meses y, a medida que realiza
pagos, el cupo crece y la persona puede volver a realizar retiros.
3. CRÉDITO DE LIBRANZA
Este préstamo ofrece una combinación imbatible de seguridad, tranquilidad y comodidad. Para solicitarlo es necesario que
la empresa en la que trabajas cuente con un convenio firmado con el banco o financiera.
¿CÓMO FUNCIONA EL CRÉDITO DE LIBRANZA?
Este crédito tiene la ventaja de que la cuota mensual se paga automáticamente a través de tu salario. Cada mes, se
descuenta el valor de la cuota del monto de tu sueldo, de modo tal que no tienes que preocuparte por pagos o vencimientos.
4. CRÉDITOS VEHICULARES
No solo financian compra de carros en Colombia, sino que varios bancos también prestan dinero para poder financiar
otro tipo de vehículos, como motos o unidades de transporte público.
¿CUÁNTO DINERO PUEDO OBTENER CON UN CRÉDITO VEHICULAR?
Eso depende de cada banco. Por eso es importante que al elegir un crédito automotriz, repares en el “porcentaje máximo
de financiación”. En algunos bancos es del 50 o 60%, pero en otros puede llegar al 70, 80, 90 y hasta 100%. Cuanto más
alto sea el porcentaje menor será el monto de la entrega de dinero inicial que debas hacer.
5. CRÉDITOS HIPOTECARIOS
Los créditos con mayores plazos de financiación son los hipotecarios, pues financian la compra de una vivienda nueva o
usada, así como la compra de un terreno, la financiación de construcción, remodelación, ampliación, o subdivisión de la
vivienda existente.
¿CUÁLES SON LAS CARACTERÍSTICAS?
Estas varían con cada banco, pero, por lo general ofrecen financiamiento en hasta 10, 15, 20 o más años. Además, muchos
bancos de Colombia financian viviendas de interés social (VIS), que son aquellas cuyo valor comercial no supera los 135
SMMLV.

INTERES SIMPLE.
Se conocen con este nombre cuando los intereses devengados en un periodo no
ganan intereses en los periodos posteriores , independiente de que los intereses se
paguen o no.
Los Intereses Simple son:
 El capital inicial no cambia durante todo el tiempo de la operación financiera,
aunque los intereses se liquiden en forma periódica estos se cancelan es al final
de la operación.
 La tasa de interés pactada siempre se va aplicar sobre el mismo capital o
monto inicial o capital insoluto.
 Los intereses periódicos siempre serán iguales a menos que halla abonos a
capital.

I = VP x i x n
Ejemplo. Un amigo le presta a usted $500.000 durante 1 año con una tasa de 1%
mensual simple. Calcule los intereses ganados en esta operación.
I = $1.000.000 x 1% x 12 = 120.000

VALOR FUTURO A INTERES SIMPLE.
El valor futuro es una suma equivalente a un Valor Presente (VP) después de n
periodos a una tasa de interés simple i.
f1
1

0

f2

f3

2

3

VP
VF : Valor Acumulado en el Futuro
n : numero de periodos

Periodo

Capital

f4

f5

4

5

f6

fn-1

6 ………… n-1

VP : Valor Presente
i = tasa de interés simple

Interés

Valor Final

0-1

P

I1= P x i

F1=P + I1
F1 = P + P x i

1-2

P

I2 = P x i

F2 = F1 + i2
F2 = P + 2Pi

2-3

P

…….

n

P

Fn = P(1 + ni)

fn
n

Ejemplo. Una persona le presta a usted $1.000.000 con una tasa de interés de 1%
mensual simple por un año. Determinar el valor a cancelar por este crédito dentro
de un año.
$1.000.000
i = 1% mensual
12 meses
VF = ?
VP = $1.000.000 n =12 meses i = 1% mensual
VF = VP x ( 1 + n x i) = $1.000.000 x ( 1 + 12 x 1%) = $1.120.000
De los cuales $120.000 son de intereses y $1.000.000 son el capital inicial.

TASA DE USURA.
La tasa de usura corresponde a una tasa superior en la mitad a la tasa de interés
corriente que cobran los bancos por sus créditos de libre asignación. Siendo así las
cosas, quien fija la tasa de usura no es la Superintendencia financiera como se
suele creer, sino el mismo mercado financiero. La Superintendencia financiera lo
que hace es certificar, mas no fijar. La Superintendencia certifica tanto el interés
corriente como la tasa de usura. Ya sabemos que la tasa de usura no es otra que el
resultado de multiplicar el interés bancario corriente por 1.5 y que el interés
corriente es resultado del comportamiento que tienen en el mercado los créditos
otorgados por los bancos, mercado financiero que a su ves esta afectado por las
políticas del Banco de la Republica, por lo que la Superintendencia no puede hacer
otra cosa que certificar lo que en la realidad ocurre con los intereses cobrados por
las entidades bancarias. La Superintendencia certifica los intereses que se cobran,
mas no los intereses son cobrados con base a la certificación de la
Superintendencia.

Tomado de http://www.gerencie.com/

INTERESES MORATORIOS.
Se originan cuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, estos
intereses ganados se llaman intereses de mora, los cuales se calculan con base en
el capital prestado o sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora el pago.
Ejemplo. Un pagare por valor de $1.000.000 devenga intereses del 2% mensual
simple y tiene un plazo de vencimiento de 45 días. Si se cancela 15 días después de
su fecha de vencimiento, calcular el interés moratorio. La tasa de interés moratorio
es del 3% mensual simple.
I = Pin
I = $1.000.000 x 15 x 3% = $15.000
30

VALOR PRESENTE A INTERES SIMPLE.
Permite en calcular el Valor Presente equivalente a un Valor Futuro, ubicado n
periodos adelante a una tasa de intereses simple.
VP = VF / (1 + ni)
TASA DE INTERES SIMPLE.
Permite calcular la tasa de interés simple (i) que produce una inversión inicial VP
después de n periodos recibe una cantidad futura VF.
i = [[ VF / VP ] - 1 ]] / n

NUMERO DE PERIODOS.
Permite calcular el numero de periodos (n) que se necesitan para que una Valor
Presente a una tasa de interés simple (i) se convierta en una suma futura VF.
n = [[ VF / VP ] - 1 ]] / i

OPERACIONES DE DESCUENTO.
El descuento es una operación financiera que consiste en cobrar sobre el valor de
un titulo el valor de los intereses en forma anticipada. Son muy usadas para hacer
efectiva las facturas o documento antes de la fecha de vencimiento.
DESCUENTO COMERCIAL.
En una operación con descuento comercial los intereses simples se calculan sobre
el valor nominal que corresponde al monto que aparece en el documento.

Ejemplo. Si se tiene un documento por cobrar dentro de 6 meses por valor de
$1.000, que ya tiene incluidos los intereses y se desea negociar en el día de hoy. El
intermediario financiero cobra una tasa de descuento del 1% mensual. Calcular el
valor efectivo.
$1.000
12 meses
VP=?

I = V x i x n = $1000 x 1% x 12 = $120
Valor a recibir = $1.000 - $120 = $880

CAPITALIZACION DE INTERESES.
Ocurren cuando en una operación financiera los intereses causados no son retirados quedando dentro de la
operación financiera y por lo tanto estos intereses generados se suman al capital.
PERIODO DE CAPITALIZACION.
Es el periodo pactada para convertir los intereses en capital.
Ejemplo. Una persona deposita en el día de hoy 1.000.000 en un banco que le reconoce una tasa del 5%
Trimestral, cuanto dinero dispondrá esta persona dentro de un año.
Periodo de capitalización cada tres meses.
Trimestre 1 : Capital Inicial = $1.000.000 I = VP x i% = $1.000.000 x 5% = $50.000
Capital Final = Capital Inicial + Interés = $1.000.000 + $50.000 = $1.050.000.
Capital Final = Capital Inicial + Interés = $1.050.000 + $52.500 = $1.102.500
Capital Final = Capital Inicial + Interés = $1.102.500 + $55.125 = $1.157.625
Trimestre 4 : Capital Inicial = $1.157.625 I = VP x i% = $1.157.625 x 5% = $57.881,25
Capital Final = Capital Inicial + Interés = $1.157.625 + $57.881,25 = $ 1.215.506,25

Observe como el capital al inicio de cada trimestre que es la base para calcular los
intereses del periodo va cambiando producto de los intereses generados en el
período anterior se convierten a capital

VALOR FUTURO A IINTERES COMPUESTO.
Nos sirve para hallar la suma equivalente de un valor presente inicial, después de estar
generando intereses a una tasa i% compuesta.
f1
0
VP

f2

f3

f4

1

2

3

4

fn-1
…….

n- 1

fn
n

VF = VP (1 i i)n

Periodo

Capital

Interes Periodo

Capital Final

0-1

P

I1 = P x i

F1 = P + P x i
F1 = p(1+ i)

1-2

p(1+ i)

I2 = P(1 + i) x i
I2 = Pi (1 + i)

F2 = F1 + I2
F2 = P(1 + i) + Pi (1 + i)
F2 = P(1 + i)2

2-3

P(1 + i)2

I3 = P(1 + i)2 x i

F3 = F2 + I3
F3 = P(1 + i)2 +Pi(1 + i)2

………..
F3 = P(1 + i)3

n

P(1 + i)^n - 1

In = Pi(1 + i)n-1

Fn = P(1 + i)n

CARACTERISTICAS DEL INTERES COMPUESTO.

 Cuando los interese causados se capitalizan o sea que al no pagarse se añaden a capital, por
tanto en cada periodo el capital aumenta con respecto al saldo de capital del del periodo
anterior
 Como el capital cambia periódicamente, la tasa de interés se aplica sobre cantidades
diferentes por lo tanto los intereses de cada periodo son mayores que los anteriores.
 Los intereses se reinvierten a la misma tasa de interés i

Ejemplo. Una persona coloca $1.000.000 en una cuenta de ahorro en el Banco A, el banco le
reconoce una tasa de interés de 1% mensual, cuanto dinero tendrá esta cuenta dentro de dos
años.
VP = $1.000.000 n = 24 meses i = 1% mensual
a)

Interés Simple VF = VP ( 1 + ni) = $1.000.000 ( 1 + 24 x 1%) = $1.240.000

b)

Interés Compuesto = VP (1 + i)n

VP = $1.000.000 (1 + 1%)24 = $1.269.734,65

CARACTERISTICAS DEL INTERES COMPUESTO.

Con interés simple los intereses que se causan y no se pagan se acumulan sin
generar nuevos intereses. En cambio el interés compuesto capitaliza (los convierte
en nuevo capital) los intereses causados pero no pagados.
Ejemplo. Una persona coloca hoy en el banco la suma de $500.000 en un banco
que reconoce una tasa de interés de 1% mensual, cuanto dinero dispondrá
dentro de 40 días esta persona.
VF =?
0
40 días
$500.000
i = 1% mensual n = 40 días.
VF = VP(1+i)n = 500.000(1 + 1%)(40/30) = $506.677
La tasa de interés (i) y el numero de periodos (n) deben estar expresados en la
misma unidad de tiempo. En este caso la tasa esta representada en términos de
meses y el periodo nos los están dando en días, por lo tanto estos días debemos
expresarlos en periodos de meses como lo esta indicando la tasa mensual.
40 días corresponden a (40/30) 1,33 meses.

VALOR FUTURO CON TASA (I) VARIABLE.

Es común que en ciertas operaciones financieras la tasa no sea constante sino que esta varié
periódicamente por condiciones de mercado. Cuando sucede este fenómeno se aplica una
variante a la formula de Valor Futuro.
VF = VP x (1 + i1 )(1 + i2)(1 + i3)…..(1 + in)
En donde i1 es la tasa de interés del periodo 1
i2 es la tasa de interés del periodo 2
i3 es la tasa de interés del periodo 3
in es la tasa de interés del periodo n

VALOR PRESENTE A INTERES COMPUESTO.
Se pretende es hallar el valor presente equivalente hoy de una suma futura ubicada n
periodos adelante utilizando una tasa de interés compuesto i.
VP = VF / ( 1 + i )n
Ejemplo. Una persona desea disponer dentro de un año la suma de $5.000.000, cuanto deberá
depositar en el día de hoy, si el banco le reconoce una tasa del 1% mensual.
VP = $5.000.000 / ( 1 + 1%)12 = 4.437.246.13
La persona entonces debe colocar en el día de hoy la suma de $4.437.246.13 con el fin de
disponer dentro de un año la suma de $5.000.000.

El sistema crediticio colombiano ofrece un paquete de servicios financieros para atender las
necesidades de corto, mediano y largo plazo, a todo tipo de empresa, pública, privada, mixta o de
economía solidaria.
Entre los recursos de financiación de corto plazo encontramos los sobregiros bancarios, la cartera
ordinaria o comercial, las cartas de crédito con financiación, las aceptaciones bancarias y el
descuento de bonos de prenda.
CORTO PLAZO.
a. Sobregiro Bancario
Que corresponde a un cupo de crédito automático, a un costo habitualmente más elevado que el
ordinario.
b. Cartera Ordinaria
Son los créditos que conceden los bancos para variados usos de sus clientes, cuyo compromiso
de amortización se suelen estipular para un año o menos.
c. Cartas de Crédito
Las cartas de crédito se utilizan para facilitar las negociaciones entre un comprador y un vendedor
que no se conocen o no se tienen entre sí la suficiente confianza comercial. Vale la pena anotar
que aunque se les llama de "crédito", en algunas ocasiones los pagos se hacen de contado. Se
podrían llamar en general "cartas de confianza" para cualquier negociación, y con más propiedad
"cartas de crédito" cuando la operación incluye algún nivel de financiación.
La carta de crédito tiene tres protagonistas principales: por un lado el vendedor, por otro lado el
comprador y garantizando la operación un banco intermediario. La operación se realiza en la
siguiente forma: el vendedor le exige al comprador que le garantice la operación con una carta de
crédito, y le determina las condiciones para su cancelación, si se trata de carta de crédito a la vista,
esto es, si su cancelación se debe producir inmediatamente a la presentación de documentos, o si
se concede algún plazo obviamente con el pago de intereses. El paso siguiente ocurre cuando el
banco del vendedor, entra en contacto con el banco del comprador y este se hace responsable y
garante de la operación; esta forma da confianza al vendedor, ya que su banco le responderá por
el éxito de la operación.

e. Aceptaciones Bancarias
La filosofía de las aceptaciones bancarias es la misma que la de las letras de cambio que son
aceptadas por una institución bancaria. El vendedor entrega al comprador una mercancía, y
con base a la factura comercial se elabora un título valor en que se estipula el compromiso del
comprador con el vendedor, y el plazo convenido para su pago. El banco elabora el documento
y asume la responsabilidad de la cancelación. La operación se efectúa así: el comprador recibe
la factura comercial y ordena a su banco donde tiene un cupo de crédito, que emita una
aceptación a nombre del vendedor. Esa aceptación constituye la garantía de pago, y el
vendedor puede conservarla para su redención en la fecha acordada, o puede negociarla en el
mercado secundario descontándola con propósitos de liquidez.
f. Descuentos de Bonos de Prenda
En esta operación financiera interviene en primer lugar un almacén general de depósitos, que
expide un bono de prenda con base a una mercancía almacenada en su bodega o en cualquier
otro almacén prendario; y la financiación la concede una corporación financiera o un banco,
mediante el descuento de los bonos
g. Las Tarjetas de Crédito
Una forma muy socorrida en el mundo moderno del consumo es el "dinero plástico",
representado en las Tarjetas de Crédito. La clientela de los bancos y corporaciones tienen un
cupo asignado de crédito diferido a 6, 12 o 18 meses para sus compras rutinarias, con la sola
presentación de la tarjeta y el diligenciamiento de un cupón. Se trata de liberar a usuarios
sedentarios o a los viajeros de los inconvenientes de llevar dinero, así como la dependencia de
horarios y lugares forzosos de precaria atención.
http://antioquia.gov.co/antioquiav1/organismos/planeacion/descargas/banco_proyectos/libro/12_fuentes_financiacion.pdf

VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE.
VP = VF / ( 1 + i1)( 1 + i2)( 1 + i3)….( 1 + in).

CALCULO DE LA TASA DE INTERES COMPUESTA.
En una operación financiera en donde se conoce la Inversión Inicial o VP y el rendimiento que
esta produce al final de n periodos que conocemos como valor futuro VF, podemos halar la
rentabilidad de esta operación financiera mediante la siguiente ecuación.

i = [VF / VP ]( 1/n ) - 1
Esta ecuación solo se aplica cuando en el flujo de caja existen un valor inicial y un valor final,
no deben existir otros flujos en el periodo de la negociación.
Ejemplo. Si un deposito de $1.000.000 hecho en el día de hoy me garantiza que un año
después el banco me regresé $1.350.000, que tasa de interés mensual me esta otorgando el
banco.
VP = $1.000.000 n = 12 meses VF = $1.350.000 i = ?
i = [(VF / VP) - 1 ]( 1/n )
i = [VF / VP ]( 1/n ) - 1 = [$1.350.000 / $1.000.000](1/12) - 1
i = 2.53%

Numero de Periodos (n)
En algunas operaciones es muy importante conocer el numero de periodos (n) que se hacen
necesarios mantener una inversión inicial VP para poder obtener una suma futura VF, cuando
le reconocen una tasa de interés i.
n = log {VF / VP] / Log [ 1 + i]
Ejemplo. Una persona desea saber cuanto meses deberá mantener una inversión inicial para
que esta se triplique, si el banco le reconoce una tasa del 3% mensual.
VF = 3P
0
n
VP = P
n = log { 3P/ P] / Log [ 1 + 3%] = log (3) / log (1,03) = 37.17 meses

ECUACIONES DE VALOR.
Es una metodología para resolver problemas en operaciones financieras en donde se plantee
cambiar condiciones de pago pactadas inicialmente.

PASOS PARA COSNTRUIR UNA ECUACION DE VALOR.
Paso 1. Se construye el flujo de caja del problema
Paso 2. Se sitúa una fecha focal dentro del flujo de caja.
Paso 3. Se trasladan todos los ingresos y egresos a esa fecha focal
Paso 4. Se igualan ingresos y egresos
Paso 5. Se despejan y se halla los valores que resuelven las incógnitas del modelo.

Ejemplo. Una persona decide comprar un electrodoméstico con una cuota inicial de $300.000
y tres cuotas de $500.000 en los meses 3, 7 y 12. Si el banco le cobra un interés de 1%
mensual, determinar el valor del electrodoméstico.
ECUACION DE VALOR.
X
P1.
0
ff

3

300.000
500.000
P2. Seleccionamos Fecha Focal (ff) en 0

7

500.000

12

500.000

P3. Llevamos todos los ingresos y egresos a ff y los igualamos.
F4, En ff Ingresos = Egresos
X = 300.000 + 500.000 /(1 + 1%)3 + 500.000 /(1 + 1%)7 + 500.000 /(1 + 1%)12
X = 300.000 + 485.295 + 466.359 + 443.724 = 1.695.378
El mismo resultado se obtiene si seleccionamos ff en el mes 12, o en cualquier otro momento

Ejemplo. Una persona tiene hoy una deuda que firmo unos pagares por valor de $500.000,
$1.000.000 y $2.000.000 para pagarlos en los meses 4, 6 y 10. Luego propone en vez de
cancelar en los meses previstos, cancelar dos sumas iguales en los meses 14 y 22. Hallar el
valor de estos pagos si la operación financiera se realiza con una tasa del 1% mensual.
1.

Si esta persona tiene que hacer estos tres pagos es porque contrajo una deuda.
Hallemos primero el valor de esta deuda.
X
ff
0

4
$500.000

6
$1.000.000

10
$2.000.000

En ff en momento 0 Ingresos = Egresos
X = 500.000/(1 + 1%)4 + 1.0000.000/(1 + 1%)6 + 2.000.000/( 1+ 1%)10
X = 3.233.129,32
Esta es la deuda que esta persona contrajo y por la cual debería hacer los tres pagos en los
meses 4, 6 y 10. Ahora esa deuda hay que pagarla en dos cuotas en los meses 14 y 22.

3.233.129,32
ff
0

14
X

22
X

Con ff en el momento o periodo cero (0) hacemos en ese punto Ingresos = Egresos
Ingresos = Egresos
3.233.129,32 = X / (1+ 1%)14 + X / (1 + 1%)22
3.233.129,32 = 0,869 X
+
0,803 X
3.233.129,32 = 1,673 X
X = 3.233.129,32 / 1,673
X = $ 1.932.107,20

Es decir que el crédito por $3.233.129,32 lo puede cancelar con dos cuotas iguales de
$1.932.107,20 en los meses 14 y 22.

Ejemplo.
Una persona desea tener disponible en su cuenta de ahorros $4.000.000 dentro de 6 meses
para el pago de su semestre en la universidad y $5.000.000 dentro de 12 meses para el pago
de su segundo semestre, adicionalmente desea tener $1.000.000 disponible para su viajes de
vacaciones en el mes 15, cuanto deberá depositar en el banco si este le reconoce una tasa de
1% mensual.
5.000.000
1.000.000
4.000.000
ff
0
6
12
15
X
En ff en el periodo 15 Ingresos = Egresos
X(1 + 1%)15 = 4.000.000(1 + 1%)8 + 5.000.000(1 + 1%)3 + 1.000.000
1,16 X
= 4.331.426,82
+ 5.151.505
+ 1.000.000
1,16 X
= 10.482.931,82
X
= $9.829.467,82
Ósea que la persona debe depositar la suma de $9.829.467,82 en el día de hoy si desea retirar
$4.000.000 dentro de 6 meses, $5.000.000 dentro de un año y tener disponible $1.000.000
dentro de 15 meses para sus vacaciones.

Ejemplo.
Un televisor tiene precio de venta de $4.000.000, se puede financiar con una cuota inicial del
20% del precio de venta y tres pagos en los meses 2, 7 y 12, de tal forma que el segundo pago
sea el doble del primero y el tercer pago sea el doble del segundo pago. Hallar el valor de estos
pagos si la operación financiera se realiza con una tas de interés del 1,1% mensual.
4.000.000
ff 0
400.000

2

7

12

X
2X

4X
Situando ff en 0, Ingresos = Egresos
4.000.000 = 400.000 + X /(1 + 1,1%)2 + 2X /(1 + 1,1%)7 + 4X/(1 + 1,1%)12
3.600.000 = 0,978 X + 1,853 X + 3,508 X = 6,339 X 
X = 567,930,17
Cuota en el mes 7 = 567.930,17 x 2 = $1.135.860. Cuota en el mes 12 = 567.930,17 x 4 = $2.271.720,69

Ejemplo.
Una persona le debe a usted tres facturas, la primera factura se vence es dentro de 4 meses su
valor es de $500.000, la segunda factura vence en 8 meses y su valor es de $300.000 y la
tercera factura vence dentro de 10 meses por valor de $1.000.000. pacta con su deudor un
solo pago por valor de $1.700.000. Si tasa de interés de financiación es del 1% mensual, en que
fecha deberá pagar ese único pago.
1.700.000
ff
0
4
8
n
10
500.000

300.000

1.000.000

En ff en el periodo 0, Ingresos = Egresos
1.700.000 /(1 + 1%)n = 500.000/(1 + 1%)4 + 300.000/(1 + 1%)8 + 1.000.000/(1 + 1%)10
1.700.000 /(1 + 1%)n = 480.490,17 + 277.044,97 + 887.449,23
1.700.000 /(1 + 1%)n = 1.644.984,36
(1 + 1%)n = 1.700.000 / 1.644.984,36
(1 + 1%)n = 1,033 aplicando logaritmo de ambos lados
n log(1 + 1%) = log(1,033)
n = log(1,033) / log(1,01) = 3,3 meses (99 dias)

ANUALIDADES.
Cunando existen flujos (ingresos o egresos) con igual magnitud (valor) y de forma continua (sin
interrupciones) y con en el mismo intervalo de tiempo se llaman anualidades.
En el siguiente esquema de flujo de caja hay tres Anualidades.
A1

A2
A3
Las anualidades pueden ser intervalos iguales de tiempo que pueden ser diarios, semanales,
quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales o anuales.
Las anualidades es uno de los sistemas mas comunes de amortización (pago) de los créditos
comerciales, bancarios y de vivienda. Mediante este sistema cada vez que el deudor pague un
cuota en ella este abonando a capital.
Pago: Es el flujo periódico y de igual valor.

ANUALIDADES VEENCIDAS.
Son las operaciones financieras en donde los pagos (ingresos) ocurren al finalizar el periodo.
El siguiente flujo representa una anualidad vencida A, en donde VP es el valor inicial de una la
obligación y A es el valor de los pagos iguales periódicos.

VP

0

1

2

3 4

5

6 7

8

9 ………

n

A
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.
Es un valor VP ubicado un periodo anterior a la fecha del primer flujo equivalente a una serie
de pagos iguales, continuos y periódicos.

VP = A

[ (1 + i) – 1 / i (1 + i) ]
n

n

Con esta ecuación se calcula un valor presente equivalente a una serie de pagos iguales y
periódicos, conocidos el numero de pagos (n), el valor de cada pago (A) y la tasa de interés (i).

Ejemplo.
Se adquiere un vehículo financiado a 5 años con cuotas mensuales iguales de $450.000 ,
calcular el valor del vehículo, si el banco le cobra una tasa de 1,1% mensual.

VP = ?
n = 60 meses (5 años)
i = 1.1% mensual.

A = 450.000
VP = A [ (1 + i)n – 1 / i (1 + i) n]
VP = 450.000 [ (1 + 1,1%)60 – 1 / i (1 + 1,1%) 60]
VP = $19.688.841.
Es decir el costo del vehículo financiado es de $19.688.841 y que se piensa pagar en 60 cuotas
mensuales cada una de $450.000.

ANUALIDADES VENCIDAS.
Ejemplo.
Calcular el valor de contado de un vehículo que se financia de la siguiente forma: 30% del valor
de contado como cuota inicial y 36 cuotas iguales de $700.000. La tasa de interés como se
financio la operación financiera es del 0.8% mensual.
VP = X
n = 36 meses
i = 0,8% mensual
ff
0
0,2X

1

2

3

4

5

6

7 8

9 --------

36

A = 700.000
En ff en 0, Ingresos = Egresos
X = 0,2X + 700.000 [ (1 + 0,8%)36 – 1 / i (1 + 0,8%) 36]
X - 0,2X = 21.820.642,29
0,8X = 21.820.642,29
X = $27.275.802,80
El de contado del vehículo es de $27.275.802,80, el cual se financia con un 30% de cuota inicial
y 36 cuotas de $700.000.

VALOR DE LA CUOTA (PAGO) DADO EL VALOR PRESENTE.
A = VP

[i (1 + i)

n

]

/ (1 + i) n - 1

Ejemplo. Una casa que cuesta $150.000.000 se propone adquirir con una cuota inicial del 30%
y 60 cuotas mensuales, el banco cobra una tasa del 1% mensual. Calcular los pagos mensuales.
VP = 150.000.000

CI =

0
45.000.000

1

2 3

4

5

6 7

8

9 ……..

60

A =?
Valor a financiar = (150.000.000 - 45.000.000) = 105.000.000

A = 105.000.000 [i (1 + 1%)60 / (1 + 1%) 60 - 1]
A = $ 2.335.667,01
La persona que adquiera este bien mediante este plan deberá pagar una cuota inicial de
$45.000.000 y 60 cuotas mensuales de $2.335.667,01

Ejemplo.
Se tiene un crédito de $10.000.000 para pagarlo en 24 cuotas iguales mensuales de $350.000
mas tres cuotas extras en los meses 6, 12 y 24. Calcular el valor de estas cuotas si la operación
realiza con una tasa del 1% mensual.

VP = 10.000.000
ff
0

1

2

3

4

5

6

7 8

9 10 11 12 … 18 …..

24

A = 350.000
X

X

X

Colocando ff en 0, ingresos = egresos
10.000.000 =

350.000.000 [ (1 + 1%)24 – 1 / i (1 + 1%) 24] + X/(1 + 1%)6 + X/(1 + 1%)12 + X/(1 + 1%)24

10.000.000 = 7.335.667,81 + 0,94X + 0,89X + 0,79X
2.564.814,33 = 2,617 X
X = 2.564.814,33 / 2,617 = 980. Este es el valor a pagar en los meses 6,12 y 24.

AMORTIZACION: Es el proceso por medio del cual se cancela una deuda con sus intereses,
mediante una serie de pagos (anualidades) en un tiempo determinado
PAGOS: Cuando se hace un pago (el valor de una anualidad) esta tiene dos componentes:
INTERES Y ABONO A CAPITAL.
TABLA DE AMORTIZACION: Es una tabla que registra periodo tras periodo la forma como se va
pagando la deuda, los intereses pagados, el abono a capital y el saldo a capital que queda
después de amortizar en cada periodo el capital pagado.
Ejemplo. Una deuda de $1.000.000 se desea pagar en tres cuotas iguales mensuales, el banco
cobre una tasa de 1% mensual. Hacer la tabla de amortización de dicho préstamo.
PERIODO
0
1
2
3

SALDO INICIAL
1.000.000,00
669.977,89
336.655,56

INTERES

ABONO

10.000,00
6.699,78
3.366,56

330.022,11
333.322,33
336.655,55

CUOTA
340.022,11
340.022,11
340.022,11

SALDO FINAL
1.000.000,00
669.977,89
336.655,56
0,00

Saldo Inicial : Es igual al saldo final del periodo anterior.
Interés : Se multiplica el saldo inicial del periodo por la tasa de interés periódica.
Abono: Se obtiene restando de la cuota (anualidad) el valor de los intereses.
Cuota : Se obtiene de la ecuación, dado un valor presente, i, y n, hallamos anualidad.
Saldo Final : Se obtiene al restar el saldo inicial del periodo menos el abono hecho a capital
NOTA : EL SALDO FINAL DEL ULTIMO PERIODO SIMEPRE DEBE SER CERO.

ANUALIDAD CON INTERES GLOBAL
Algunos almacenes que financian electrodomésticos diseñan sistemas de amortización que
tienen incorporados unos sobre costos, pues plantean cobrar una determinada tasa de interés
pero en realidad cobran una tasa mucho mayor.
Cuando se toma un crédito el sistema de pagos o amortización implica en cada cuota el pago
de intereses y abono a capital, recordando que los intereses se calculan al multiplicar el saldo
de capital al comienzo del sub periodo (saldo insoluto de la deuda o capital no pagado
multiplicado por la tasa. Para este caso el saldo a capital siempre permanece constante (es
decir como si no se hicieren abonos a la deuda) y por lo tanto los intereses no disminuyen sino
que permanecen constante durante toda la operación financiera.
Ejemplo.
Al comprar un electrodoméstico por valor de $1.000.000 un almacén le dice que le financia de
la siguiente forma: Tasa de interés 4% a interés global con cuatro cuotas iguales mensuales.
Calcular el valor de cada pago.
Interés mensual = $1.000.000 x 4% = $40.000
Intereses de los cuatro meses = 4 x $40.000 = $160.000
Valor de la cuota = (intereses + capital ) / numero de cuotas = ($160.000 + $1.000,000)/ 4
Valor de la cuota = $1.160.000 / 4 = $290.000.
Lo inconsistente de este método es que cuando se paga una cuota se abona una parte a capital
y por lo tanto el saldo de la deuda disminuye, en este sistema siempre el capital es el mismo es
decir no reconoce la amortización a capital, por lo tanto genera una tasa mucho mayor.

Ejemplo.
Un concesionario de autos le plantea la financiación de un vehículo con el siguiente esquema:
Cuota inicial de $3.000.000 y 36 cuotas mensuales iguales de $700.000 pagaderas en forma
anticipadas y tres cuotas extraordinarias en lo meses 8, 16 y 24 por valor de $1.000.000. si tasa
de interés de financiación es del 1% mensual, calcular el valor de contado del vehículo.
VP=?
ff
0

1 2 3

4

5 6

7

8

16

24

36

A=700.000
3.000.000

1.000.000

1.000.000

1.000.000

Seleccionando ff en el momento 0, tenemos ingresos = egresos
VP = 3.000.000 + 700.00(1+ 1%)[ (1 + 1%)36 –1 / 1% (1 + 1%) 36] + 1.000.000 /(1+ 1%)8 + 1.000.000 /(1+ 1%)16 + 1.000.000 /(1+ 1%)24

VP = $26.639.124
El valor de contado del vehículo es de = $26.639.124

ANUALIDAD ANTICIPADA.
Su característica principal es que los pagos (anualidades) se hacen es al principio de cada
periodo y no al final. Por lo tanto para hallar su valor presente, se añade un periodo (-1) y se
calcula en ese punto (-1) el valor presente usando la formula ya vista. Luego ese valor
presente se lleva a valor futuro en el en momento 0.
P1
P
-1

0

1

2

3

4

……………… n

P1 = A [ (1 + i)n – 1 / i (1 + i) n]

Luego llevamos este valor presente (P1) a Valor Futuro en el momento 0.
VF = VP (1 + i)n
P = P1 (1 + i )1 = A [ (1 + i)n – 1 / i (1 + i) n] x (1 + i)1

[

]

VP = A (1+ i) (1 + i)n – 1 / i (1 + i) n

[

o VP = A + A (1 + i)n-1 – 1 / i (1 + i)n-1

Con esta ecuación hallamos el valor presente de una serie anual anticipada

]

VALOR DE CUOTA CON ANUALIDAD ANTICIPADA DADO VP. I, n.
A =

VP
[1 + [ (1 + i)n-1 – 1 / i (1 + i) n-1]]

VALOR DE TIEMPO DE NEGOCIACION (n) dado VP, A, i
n

=

Log (A) - Log [ A – (VP – A)]
Log (1 + i)

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
VF =?
0 1 234 5

……………
A

VF = A [ (1 + i)n-1 - (1 + i) / i]

n-1

n

Ejemplo.
Usted ahorra los ingresos que recibe por un arriendo de una maquinaria (de forma anticipada)
el valor de $500.000. Usted desea conocer cuando tendrá ahorrado al finalizar el año si el
banco le reconoce una tasa de 1% mensual.

0 1 2

3 4

5

11 12
A=500.000

VF = A [ (1 + i)n-1 - (1 + i) / i]

VF = 500.00 [ (1 + 1%)11 - (1 + 1%) / 1%]
VF = 5.283.417.
Usted ahorrando $500.000 de forma anticipada obtendrá la suma de $5.283.417 al finalizar el
año.

ANUALIDAD DIFERIDA .
Es aquel tipo de operaciones (anualidades) que el primer pago se realiza unos periodos
después de iniciada la operación.
El tiempo que transcurre sin amortización a capital se llama PERIOOD DE GRACIA o TIEMPO
MUERTO. Debe quedar clara que durante este tiempo hay causación de intereses. Si los
intereses se causan (se liquidan) durante este periodo pero no se pagan, estos intereses pasan
a formar parte de capital (se capitalizan) al final del periodo de gracia. Si los intereses se pagan
durante el periodo de gracia el capital inicial permanece constante.

Ejemplo.
Cuando los intereses son causados y no pagados. Se adquiere un bien financiado a 18 meses
mensuales iguales de $300.000 cada una, debiendo cancelar la primera cuota dentro de 5
meses. Si el banco cobra una tasa de interés de 1%, calcular el valor del electrodoméstico.
VP

0

VP1

4 5

6

7

8

9

22
A = 300.000

VP1 = 300.000 [ (1 + 1%)18 – 1 / 1% (1 + 1%) 18] = $4.919.480. Este valor lo llevamos al momento 0
VP = F / (1 + 1%)n

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