Pres 2 mf 2013

MATEMATICA FINANCIERA 01/05/2013
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ 1
RJAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE CIENCIAS Y SISTEMA
INGENIERIA DE SISTEMAS
UNIDAD II: CONCEPTOS BASICOS Y LA
EQUIVALENCIA DEL DINERO EN EL TIEMPO
MSC.ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
ING. ROBERTO AGUILERA LOPEZ
FLUJOS DE EFECTIVO O FLUJOS DE CAJA
El movimiento de dinero (ingresos o pagos) de una
entidad física o moral, que se dan en cierto intervalo
de tiempo se denomina flujo de efectivo.
Los flujos de caja pueden ser de dos tipos:
 Flujos de caja positivos: representan todas las
entradas de dinero independientemente de
donde provengan.
 Flujos de caja negativos: representan todas las
salidas o egresos de dinero independientemente
del concepto que los origine

LOPEZ 2
RJAL
FLUJOS DE EFECTIVO O DE CAJA
Diagrama de flujo de caja: es la representación gráfica de
un flujo de caja en una escala de tiempo. Representa el
planteamiento del problema y muestra lo que es dado y lo
que debe encontrarse.
$100 $700
$45
0 1 2 3 4 5 6 Períodos
$95 $115
$145
$180
RJAL
FLUJOS DE EFECTIVO O DE CAJA
Un flujo de caja normalmente toma lugar en diferentes
intervalos de tiempo dentro de un período de interés, un
supuesto para simplificar es el de que todos los flujos de
caja ocurren al final de cada periodo de interés. Esto se
conoce como convención de fin de periodo.
Escala de tiempo típica para flujos de caja
inicio fin inicio fin
Años
├─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼─────────┼───────
0 1 2 3 4 5
│ │ │ │
└─────────┘ └─────────┘
Año 1 Año 3

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RJAL
EQUIVALENCIA
 Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta
indiferente recibir una suma de dinero hoy o recibir otra
diferente de mayor cantidad transcurrido un período
 Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez,
sustentadas en el sacrificio de consumo:
1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos,
preferimos aquel más cercano.
2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero
de diferente valor, preferimos aquel de importe más
elevado.
RJAL
EQUIVALENCIA
Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos;
justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida
que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación
financiera.
Un modelo matemático representativo de estas ideas,
consiste en la siguiente ecuación:
F = P + COMPENSACIÓN POR APLAZAR CONSUMO
Donde: F = Suma futura poseída al final de n períodos (Valor Futuro)
P = Suma de dinero colocado en el período 0 (Valor Actual)

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RJAL
INTERES
 Interés: es la cantidad convenida que se paga por
utilizar dinero de otro agente económico o que se gana
por invertir el dinero propio.
 Interés: precio del dinero en el tiempo o sea es la
compensación financiera por aplazar en el tiempo el
uso del dinero.
 El interés es un precio, el cual expresa el valor de un
recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta
pagada por el uso de recursos prestados, por período
determinado. Es un factor de equilibrio, hace que el
dinero tenga el mismo valor en el tiempo.
RJAL
INTERES
 Interés: medida del aumento entre el capital inicial y el
valor futuro.
Interés = Valor futuro - Valor presente
 Cuando el interés se expresa como porcentaje del
monto original por unidad de tiempo, el resultado es la
tasa de interés
i = (I / P)100%

LOPEZ 5
RJAL
TASAS DE INTERÉS UTILIZADAS EN LA BANCA
NACIONAL
A) DE ACUERDO A COMO SE FIJA EL INTERÉS
EN EL TIEMPO
 Interés fijo: Es cuando la tasa de interés
permanece constante en el tiempo.
 Interés variable: Es cuando la tasa de interés la
calculamos sobre una base fija más un índice de
referencia. El índice de referencia varía según
las condiciones del mercado.
RJAL
NACIONAL
B) DE ACUERDO A LOS PLAZOS DE LAS
TASAS DE INTERÉS
Interés de corto plazo: Es cuando los
intereses que se devengan o se liquidan se
dan en un período inferior a 12 meses
Interés de largo plazo: Son intereses
devengados o liquidados en períodos
superiores a un año.

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RJAL
NACIONAL
C) DE ACUERDO A SI SE COBRAN O PAGAN INTERESES
 Tasa de interés activa: es la tasa de interés cobrada
por los bancos y las instituciones financieras en la
colocación de dinero, o sea aquella tasa cobrada a las
personas naturales y jurídicas a las cuales les ha sido
otorgado financiamiento.
Tasa de interés moratoria: Es el porcentaje de recargo
que se adiciona a la tasa de interés pactada por
incumplimiento de pago en la fecha establecida. Esta se
aplica únicamente al principal de dicha cuota vencida,
durante el tiempo en mora.
RJAL
NACIONAL
Tasa de interés pasiva: es la tasa de interés
pagada por los bancos a sus ahorrantes y
depositantes en sus diferentes formas.
TASAS DE INTERES ACTIVAS Y PASIVAS PROMEDIO
PONDERADO A MARZO 2013

LOPEZ 7
RJAL
CAPITALIZACIÓN DE LOS INTERESES
El período de capitalización es el período mínimo
necesario para que se pueda cobrar un interés, se
llama así por que a su término ya se tiene o ya se
forma más capital.
Ej: Si una persona presta $2,000 al 10% de interés
semanal, pasado el período de capitalización de una
semana, tendrá $2,200 en una semana.
Ej: Si otra persona deposita $5,000 en un banco que
paga 20% de interés anual, pasado el período de
capitalización de un año, su capital habrá aumentado
a $6,000.
RJAL
CAPITALIZACIÓN DE LOS INTERESES
 INTERES SIMPLE
Se llama interés simple al que, por el uso del dinero a
través de varios períodos de capitalización, no se cobra
interés sobre el interés que se debe.
Se define como un porcentaje fijo del valor presente
multiplicado por el tiempo de duración de la actividad
económica.
I = Pin

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RJAL
INTERES SIMPLE
El valor futuro a interés simple de una cantidad P
F = P + I = P(1 + in)
El valor presente a interés simple de una suma F
P = F .
(1 + in)
RJAL
INTERES SIMPLE
1. Encuentre el valor futuro a interés simple si el
principal es de $10,000, a una tasa de interés
del 8.5% anual durante un periodo de 16 meses
2. Encuentre el valor presente a interés simple de
un valor futuro de $125,000, a una tasa de
interés del 12.5% anual durante un periodo de 8
trimestres.

LOPEZ 9
RJAL
INTERESES MORATORIOS
 Cálculo del interés moratorio
Im = Pcv (im) (tm)
 Ajuste del interés corriente
Icoa = Sk (ic) (tm)
RJAL
Ejemplo:
Una empresa esta amortizando una deuda a un banco
y paga al final de cada mes una cuota de valor
C$ 17,666.67 la cual esta vencida y tiene 18 días de
mora. El principal de la cuota es de C$ 15,000 y los
intereses corrientes del mes son de C$ 2,666.67. El
último saldo es de C$ 45,000. La tasa de interés
corriente sobre el préstamo es del 15% anual sobre
saldos y la tasa de interés moratoria es del 18% anual.
¿Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse
al día?
INTERESES MORATORIOS

LOPEZ 10
RJAL
INTERES COMPUESTO
 INTERÉS COMPUESTO.
El interés compuesto es el interés de un
período calculado sobre el principal más la
cantidad acumulada de intereses ganados
en periodos anteriores. Es decir se cobra
interés sobre intereses.
RJAL
INTERES COMPUESTO
Ejemplo: Una persona deposita en un banco
$1,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un
año. El banco capitaliza el interés mensual a una
tasa del 3%, ¿Cuál será el valor de la cuenta final
del quinto mes?
Período Valor Presente Intereses Valor Futuro
1
2
3
4
5
1,000.00
1,030.00
1,060.90
1,092.73
1,125.51
1,000.00(0.03)
1,030.00(0.03)
1,060.90(0.03)
1,092.73(0.03)
1,125.51(0.03)
1,030.00
1,060.90
1,092.73
1,125.51
1,159.27

LOPEZ 11
RJAL
INTERES COMPUESTO
Período Valor Presente Intereses Valor Futuro
1
2
3
4
n
P
P(1 + i)
P(1 + i)2
P(1 + i)3
P(1 + i)n-1
Pi
P(1 + i) * i
P(1 + i)2
* i
P(1 + i)3
* i
P(1 + i)n-1
* i
P(1 + i)
P(1 + i)2
P(1 + i)3
P(1 + i)4
P(1 + i)n
A B A + B
De acuerdo al ejemplo anterior lo que hemos hecho
es lo siguiente:
RJAL
INTERES COMPUESTO
El valor futuro de una cantidad (P) a interés
compuesto
F = P (1 + i)n
F : Valor futuro o monto
P : Principal o valor presente
i : tasa de interés efectiva que se capitaliza una
vez en el periodo.
n : Plazo de la transacción medido de acuerdo
a la tasa de interés.

LOPEZ 12
RJAL
INTERES COMPUESTO
El valor futuro de una cantidad (P) a interés
compuesto
F = P (1 + j/m)m.n
F : Valor futuro o monto
P : Principal o valor presente
j : tasa de interés nominal que se capitaliza más de
una vez al año.
m : frecuencia de capitalización de la tasa j
m.n : número total de capitalizaciones
RJAL
INTERES COMPUESTO
El valor presente a interés compuesto de una
suma F
P = F . = F (1 + i)-n
(1 + i)n
P = F (1 + j/m)-m.n

LOPEZ 13
RJAL
INTERES COMPUESTO
1. Encuentre el valor futuro si de un capital inicial
de $25,000, a una tasa de interés del 15% anual
durante un período de 3 años.
2. Encuentre el valor presente de un monto de
$150,000, a una tasa de interés del 10%
trimestral durante un período de 5 trimestres.
3. Encuentre el tiempo necesario para tener al final
un valor de $36,780 si se depositan el día de hoy
15,000 a una tasa de interés del 12% semestral
RJAL
INTERES NOMINAL Y EFECTIVO
TASA DE INTERES NOMINAL
La tasa nominal es la tasa de interés que la
denominaremos "j” o iNOM , que se pacta a un año y el
pago de interés se puede acordar que se realice cada
día, cada mes, cada 2 meses, cada 3 meses, cada 6
meses etc.
De ahí, que una tasa nominal es aquella que se expresa
sobre la base de un año con períodos de capitalización
diario, mensual, trimestral etc.
j = ip * m o ip = j / m

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RJAL
TASA DE INTERES EFECTIVA
Esta tasa determina la cantidad de utilidad periódica que
realmente se adiciona al capital en el instante que se
liquida. La tasa efectiva también puede ser diaria,
mensual, bimensual, trimestral etc.
Refleja el rendimiento que se habría recibido al final de un
período de inversión si los intereses se hubiesen
capitalizado, independientemente que se paguen o se
capitalicen.
RJAL
TASAS EQUIVALENTES
Las tasas equivalentes son aquellas que, en
condiciones diferentes, producen la misma
tasa efectiva anual. Esto significa que si una
misma cantidad de dinero gana intereses a dos
tasas diferentes pero equivalentes, estas
producirán la misma cantidad de dinero al final
del año

LOPEZ 15
RJAL
EQUIVALENCIAS ENTRE DIFERENTES TASAS DE
INTERES
 Equivalencia entre una tasa de interés nominal y una
tasa de interés efectiva
ie = ( 1 + j /m)m - 1
j = [ ( 1 + ie)1/m - 1 ] * m
 Equivalencia entre dos tasas de interés nominal.
j2 = [ (1 + j1/m1) m
1
/ m
2 - 1 ] * m2
RJAL
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ

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