Este documento define conceptos básicos de ecuaciones diferenciales, incluyendo que son ecuaciones que relacionan una función desconocida y sus derivadas. Explica que las ecuaciones diferenciales se clasifican por orden, grado, y si son ordinarias o parciales. También define soluciones generales, particulares y campos direccionales asociados a ecuaciones diferenciales.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES CONCEPTOS Alumno: Eduardo Ramírez Mora. Grupo: B-207 Registro:9310310.

2. ¿QUE SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial . La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

5. y’/y’’-y2+5 De segundo orden y primer grado.

7. d2y/dx2+4dy/dx+4y=0 (11)

8. dy/dx+2xy dy2/dx+y=0 (12)En este caso las ecuaciones (10) y (12) son de primer orden y la ecuación (11) es de segundo orden.

9. CLASIFICACION DE GRADO Y TIPOS DE ORDEN Según el grado se clasifican en lineales (EDL) y no lineales (EDNL), siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma de polinomio. Ecuación Diferencial Lineal (EDL): Esta ecuación diferencial tiene dos características que la distinguen del resto: La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado. b. Los coeficientes de la variable y de sus derivadas dependen sólo de la variable independiente x, o bien son constantes. Por ejemplo: d3y/dx3+4d2y/dx2+2dy/dx-y=x3

10. CLASIFICACION DE GRADO Y TIPOS DE ORDEN Ecuación Diferencial No Lineal (EDNL): Todas las ecuaciones que no sean lineales, son no lineales, por ejemplo: d2y/dx2+2xy dy/dx-4y=0 (1) d2y/dx2+seny dy/dx+3y=0 (2) Donde tanto la ecuación (1) como la (2) tienen coeficientes que no son sólo función de la variable independiente x, y por lo tanto no son Ecuaciones Diferenciales Lineales.

11. CLASIFICACION DE GRADO Y TIPOS DE ORDEN Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): Esta ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, por ejemplo: dy/dx+y=x2 (1) d3y/dx3+4d2y/dx2+4y=X2 (2) dy/dx+ dz/dx=0 (3) Ecuación Diferencial Parcial (EDP): Esta ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto a dos o más variables independientes, por ejemplo: d2u/dx2+d2u/dy2+d2u/dz2=0 (4)

12. ¿QUE ES SOLUCION?: Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. ¿QUE ES SOLUCION GENERAL?: Se llama solución general de una ecuación diferencial a toda relación entre las variables, libres de derivadas, que satisface dicha ecuación diferencial. Por lo común, la solución general de una ecuación diferencial de orden n tiene n constantes. Integrar o resolver una ecuación diferencial es hallar su solución general. ¿QUE ES SOLUCION PARTICULAR? Se llama solución particular de una ecuación diferencial a aquella solución que se obtiene a partir de la solución general, dando valores a las constantes.

15. CAMPOS DIRECCIONALES. En la ecuación diferencial F(x, y) = dy /dx el valor de F(x, y) para cada pareja ordenada (x, y) del plano, representa la pendiente de la curva solución que pasa por ese punto. Si a cada punto del plano le asociamos un pequeño segmento de recta con pendiente F(x,y) se obtiene lo que se llama campo direccional, éstos segmentos permiten visualizar en forma general las curvas solución. EJEMPLO:

16. CAMPOS DIRECCIONALES

18. www.cidse.itcr.ac.cr

19. www.uhu.es

20. www.elprisma.com

21. www.usuarios.multimania.es/calculodiferencial.htm

22. www.portalvlm.usal.es/index_files.

23. www.mazinger.sisib.uchile.cl