Este documento describe diferentes métodos de simulación en R, incluyendo simulaciones de lanzamientos de dados, extracciones de bolas de urnas, cartas de baraja, y colas de autobús. Explica funciones como sample(), rbinom(), rpois(), y rnorm() para generar números aleatorios que siguen distribuciones discretas y continuas específicas. También cubre conceptos como medias, varianzas, densidades de probabilidad y funciones de distribución acumulativa.

1. Pr_actica 3: Simulaci_on con R (II)<br />1. Simulaciones<br />La funci_on sample es muy _util para efectuar simulaciones<br />> sample(1:10, 6)<br />[1] 5 2 9 3 8 7<br />extrae del vector 1:10, seis elementos al azar sin repetici_on<br />> sample(1:10, 6, rep = T)<br />[1] 10 8 4 10 6 6<br />extrae del mismo vector 6 elementos en los que se admite repetici_on.<br />1.1. Dados<br />Para simular la tirada de un dado podemos utilizar<br />> sample(1:6, 1)<br />[1] 3<br />Para simular la tirada de 4 dados, o de un mismo dado 4 veces, podemos<br />utilizar<br />> sample(1:6, 4, rep = T)<br />[1] 3 2 4 5<br />admitiendo repetici_on.<br />Si queremos simular la distribuci_on de la suma de los n_umeros que salen<br />al tirar 4 dados<br />1<br />> t <- sapply(1:10000, function(x) {<br />+ sum(sample(1:6, 4, rep = T))<br />+ })<br />donde la funci_on sapply aplica a un vector de tama~no 10000 una funci_on sin<br />nombre, generando a su vez un vector de tama~no 10000. La funci_on obtiene<br />muestras con repetici_on de tama~no 4 y, a continuaci_on, suma los n_umeros<br />de la muestra. Este proceso se repite 10000 veces. Lo mismo se podr__a haber<br />conseguido con un ciclo for, pero el procedimiento utilizado es m_as r_apido.<br />Para garantizar que los resultados son los mismos que los de esta pr_actica,<br />nos servimos de set.seed(111)<br />> set.seed(111)<br />> t <- sapply(1:10000, function(x) {<br />+ sum(sample(1:6, 4, rep = T))<br />+ })<br />y tabulamos los resultados con<br />> table(t)<br />t<br />4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19<br />11 31 82 170 263 417 633 773 976 1086 1121 1131 971 754 598 467<br />20 21 22 23 24<br />230 154 75 49 8<br />y podemos representar los resultados con un diagrama de barras<br />> barplot(table(t))<br />2<br />4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24<br />0 200 400 600 800 1000<br />Se podr__a haber procedido similarmente as__:<br />> x <- runif(4, 0, 6)<br />> x<br />[1] 5.02819982 1.82267011 5.95054520 0.05559562<br />genera 4 n_umeros aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 6.<br />La funci_on<br />> ceiling(x)<br />[1] 6 2 6 1<br />transforma los valores anteriores en el menor entero no inferior al n_umero<br />(digamos que el n_umero siempre se redondea por arriba).<br />Combinando las dos instrucciones, se pueden generar n_umeros aleatorios<br />entre 1 y 6.<br />> ceiling(runif(4, 0, 6))<br />3<br />[1] 1 4 6 1<br />Con la siguiente instrucci_on podr__amos conseguir<br />> t <- sapply(1:10000, function(x) {<br />+ sum(ceiling(runif(4, 0, 6)))<br />+ })<br />lo mismo que anteriormente con<br />> t <- sapply(1:10000, function(x) {<br />+ sum(sample(1:6, 4, rep = T))<br />+ })<br />Si lo que se quiere es simular el n_umero de veces que sale, digamos, un seis,<br />en, por ejemplo, 10 tiradas, como el n_umero de seises sigue una distribuci_on<br />binomial de n=10 y p=1/6, podemos utilizar la funci_on de R rbinom para<br />generar n_umeros aleatorios seg_un esta distribuci_on y realizar la simulaci_on<br />m_as c_omodamente.<br />Con la siguiente expresi_on se generan 12 n_umeros aleatorios en las condiciones<br />antedichas<br />> rbinom(12, 10, 1/6)<br />[1] 4 2 3 3 1 2 1 0 2 1 1 3<br />que se interpreta as__: en la primera tirada de 10 dados salieron 2 seises; en la<br />segunda, 0; en la tercera, 0...<br />Si generamos 10000 n_umeros aleatorios con<br />> set.seed(111)<br />> t <- rbinom(10000, 10, 1/6)<br />que tabulamos con<br />> table(t)<br />t<br />0 1 2 3 4 5 6 7<br />1634 3209 2898 1572 537 127 20 3<br />y representamos con<br />4<br />> barplot(table(t))<br />0 1 2 3 4 5 6 7<br />0 500 1000 1500 2000 2500 3000<br />obtenemos un<br />diagrama del todo an_alogo al anteriormente obtenido.<br />1.2. Urnas<br />Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 7 negras. Queremos simular la<br />extracci_on de una bola. El n_umero 1 representa blanca y 0, negra. Podemos<br />hacerlo con<br />> sample(c(1, 0), 1, prob = c(3, 5))<br />[1] 0<br />En este caso, habr__a salido blanca.<br />Si queremos simular 8 extracciones con reposici_on<br />> sample(c(1, 0), 8, rep = T, prob = c(3, 5))<br />[1] 0 1 0 1 0 0 0 1<br />5<br />En este caso, s_olo habr__amos obtenido una bola blanca en las 8 extracciones.<br />Si lo que nos interesa es s_olo el n_umero de bolas blancas, como este sigue una<br />distribuci_on binomial con n=8 y p=3/8<br />> rbinom(1, 8, 3/8)<br />[1] 3<br />Podemos simular 10000 extracciones de 8 bolas con reposici_on<br />> t <- rbinom(10000, 8, 3/8)<br />> set.seed(111)<br />> t <- rbinom(10000, 8, 3/8)<br />tabulamos<br />> table(t)<br />t<br />0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />232 1168 2288 2797 2174 984 299 54 4<br />y representamos<br />> barplot(table(t))<br />6<br />0 1 2 3 4 5 6 7 8<br />0 500 1000 1500 2000 2500<br />Los valores exactos de las probabilidades los da la funci_on<br />> dbinom(0:8, 8, 3/8)<br />[1] 0.0232830644 0.1117587090 0.2346932888 0.2816319466 0.2112239599<br />[6] 0.1013875008 0.0304162502 0.0052142143 0.0003910661<br />donde 0:8 son los 9 valores cuya probabilidad se calcula. Comp_arense estas<br />probabilidades con los valores aproximados en diezmil_esimas obtenidos con<br />table(t) anteriormente.<br />1.3. Barajas<br />Si estamos interesados en los oros que salen en una extracci_on de 12 cartas<br />con reposici_on, se trata de una distribuci_on binomial con n=12 y p=10/40.<br />Si repetimos el experimento 10000 veces<br />> t <- rbinom(10000, 12, 0.25)<br />> table(t)<br />7<br />t<br />0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />307 1313 2287 2578 1907 1041 420 123 20 4<br />Si estamos interesados en las _guras que salen en las mismas 12 extracciones<br />con reposici_on, se trata de una distribuci_on binomial con n=12 y p=16/40<br />1.4. Cola de espera para el autob_us<br />Supuesto que sigue una distribuci_on de Poisson de media 15 personas en<br />espera<br />La funci_on<br />> set.seed(111)<br />> t <- rpois(10000, 15)<br />genera 10000 experimentos, que tabulamos con<br />> table(t)<br />t<br />2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18<br />1 11 19 63 98 217 344 489 661 805 938 1005 998 933 864 696<br />19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31<br />536 459 317 210 135 87 54 27 16 10 2 1 4<br />y representamos con<br />> barplot(table(t))<br />8<br />2 5 7 9 11 14 17 20 23 26 29<br />0 200 400 600 800 1000<br />Los valores exactos de las probabilidades los da la funci_on<br />> dpois(0:31, 15)<br />[1] 3.059023e-07 4.588535e-06 3.441401e-05 1.720701e-04 6.452627e-04<br />[6] 1.935788e-03 4.839470e-03 1.037029e-02 1.944430e-02 3.240717e-02<br />[11] 4.861075e-02 6.628739e-02 8.285923e-02 9.560681e-02 1.024359e-01<br />[16] 1.024359e-01 9.603362e-02 8.473555e-02 7.061296e-02 5.574707e-02<br />[21] 4.181031e-02 2.986450e-02 2.036216e-02 1.327967e-02 8.299794e-03<br />[26] 4.979876e-03 2.873006e-03 1.596114e-03 8.550612e-04 4.422730e-04<br />[31] 2.211365e-04 1.070015e-04<br />con que obtenemos las probabilidades de los valores de 0 a 31, para una media<br />de 15.<br />9<br />2. Funciones de densidad y probabilidad<br />2.1. Variables aleatorias discretas<br />Hasta aqu__ se han mencionado las funciones: rbinom, rpois y otras en las<br />que la r inicial se ha sustituido por d, relativas a la distribuci_on binomial y de<br />Poisson, respectivamente. Todas ellas, desde el punto de vista del lenguaje R,<br />responden al mismo patr_on. Lo vemos con la binomial. Para _esta, disponemos<br />de 4 funciones, que empiezan por las letras: d, p, q, y r.<br />> dbinom(5, 10, 0.3)<br />[1] 0.1029193<br />devuelve la probabilidad P(x=5) en una binomial con n=10 y p=0.3.<br />> pbinom(5, 10, 0.3)<br />[1] 0.952651<br />devuelve P(x<=5), con con n=10 y p=0.3.<br />> pbinom(5, 10, 0.3, lower.tail = F)<br />[1] 0.04734899<br />devuelve P(x>5), con n=10 y p=0.3.<br />> qbinom(0.952651, 10, 0.3)<br />[1] 5<br />devuelve el cuantil, 5, correspondiente a 0.952651, P(x<=5)= 0.952651<br />> qbinom(0.04734899, 10, 0.3, lower.tail = F)<br />[1] 5<br />muestra el valor, 5, que deja por encima de s__ a .04734899 del total. P(x>5)=.04734899.<br />> rbinom(1, 10, 0.3)<br />[1] 2<br />genera 1 n_umero aleatorio para una distribuci_on binomial con n=10 y p=0.3.<br />Las restantes distribuciones rigen de modo an_alogo. Para saber qu_e par<br />_ametros han de introducirse y en qu_e orden, consultar la informaci_on. Por<br />ejemplo ?dpois nos da la informaci_on correspondiente a las funciones disponibles<br />para la distribuci_on de Poisson.<br />10<br />2.2. Variables aleatorias continuas<br />Ya hemos visto runif de la familia de la distribuci_on uniforme u<br />> dunif(5, 0, 6)<br />[1] 0.1666667<br />devuelve la ordenada en x=5 de la funci_on de densidad de la distribuci_on<br />uniforme entre 0 y 6.<br />> punif(3, 0, 6)<br />[1] 0.5<br />devuelve P(x<=3) en una uniforme entre 0 y 6<br />> punif(4, 0, 6, lower.tail = F)<br />[1] 0.3333333<br />devuelve P(x>4) en una uniforme entre 0 y 6.<br />> qunif(0.6, 0, 6)<br />[1] 3.6<br />devuelve el cuantil correspondiente a 0.6<br />> qunif(0.6, 0, 6, lower.tail = F)<br />[1] 2.4<br />devuelve el valor que deja por encima de s__ a 0.6 del total. P(x>=2.4)=0.6<br />> runif(1, 0, 6)<br />[1] 4.35431<br />devuelve un n_umero aleatorio para la distribuci_on uniforme entre 0 y 6<br />Para las otras dos familias de funciones que nos interesan: la normal y la<br />exponencial, v_ease la informaci_on correspondiente, por ejemplo con ?dnorm,<br />o ?dexp. En la distribuci_on exponencial, ha de tenerse en cuenta que el par_ametro<br />rate coincide con la ordenada en el origen de la funci_on de densidad<br />y es igual al inverso de la media. Para saber de qu_e distribuciones dispone R<br />, escribir<br />> help.search(quot;
distributionquot;
)<br />11<br />2.3. Simulaci_on de una distribuci_on normal<br />> set.seed(111)<br />> t <- rnorm(100, 3, 2)<br />genera 100 valores aleatorios que siguen una distribuci_on normal de media 3<br />y desviaci_on t__pica 2<br />> hist(t, freq = F)<br />representa el histograma, donde frec=F obliga a representar densidades.<br />> curve(dnorm(x, 3, 2), -4, 10, add = T)<br />representa la curva normal de media 3 y desviaci_on t__pica 2, para comparar.<br />El par_ametro add=T tiene el efecto de superponer la curva al histograma. Si<br />no se pone, se borrar__a _este.<br />Histogram of t<br />t<br />Density<br />-4 -2 0 2 4 6 8 10<br />0.00 0.05 0.10 0.15 0.20<br />Veamos el efecto que tiene sumar dos distribuciones normales, una de<br />media 3 y desviaci_on t__pica 2, y otra de media 5 y desviaci_on t__pica 3. Sabemos<br />que la distribuci_on normal es reproductiva respecto de la media y la varianza,<br />12<br />es decir: la distribuci_on resultante de sumar dos distribuciones normales es<br />tambi_en normal, con media la suma de medias y varianza la suma de varianzas<br />de las distribuciones sumadas. Con<br />> set.seed(111)<br />> t <- sapply(1:10000, function(x) {<br />+ rnorm(1, 3, 2) + rnorm(1, 5, 3)<br />+ })<br />generamos 10000 n_umeros aleatorios para la suma. Con<br />> mean(t)<br />[1] 7.998157<br />7;998157 ' 3 + 5 suma de medias<br />> var(t)<br />[1] 13.02742<br />13;02742 ' 22 + 32 suma de varianzas<br />Vemos qu_e bien se aproxima lo obtenido a lo esperado.<br />Con<br />> hist(t, freq = F)<br />> curve(dnorm(x, 8, sqrt(13)), -5, 20, add = T)<br />13<br />Histogram of t<br />t<br />Density<br />-5 0 5 10 15 20<br />0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10<br />constatamos gr_a-<br />_camente la normalidad de la suma.<br />2.4. Constataci_on de la alta de memoriaquot;
de la dis-<br />tribuci_on exponencial<br />Tenemos una distribuci_on exponencial de media 5.<br />Determinamos la probabilidad P(x>4)<br />> pexp(4, 0.2, lower.tail = F)<br />[1] 0.449329<br />y P(x>3)<br />> pexp(3, 0.2, lower.tail = F)<br />[1] 0.5488116<br />Finalmente la P(x>4+3 j x>4)<br />14<br />> pexp(4 + 3, 0.2, lower.tail = F)/pexp(4, 0.2, lower.tail = F)<br />[1] 0.5488116<br />que, como vemos coincide con P(x>3) sin condiciones.<br />15<br />