De un total de N números, la fracción p son unos, y la fracción q = 1 – p son ceros. Probar que la desviación típica de ese conjunto de números es √pq

1. UniversidadTécnicade Ambato
Facultadde IngenieríaenSistemas,Electrónicae Industrial
HenryAlvarado
De untotal de N números,lafracciónp sonunos,y la fracciónq = 1 – p sonceros. Probarque
la desviacióntípicade ese conjuntode númeroses √ 𝑝𝑞
Suponiendounaserie de cerosy unos:
Siendonel númerototal de datos,entoncesplanteandolasfracciones:
n
xn
n
x
1
n
x



q
p
Calculode la media:
Realizandolasumatoriaparael numerode datos,losceros sonneutrosportanto solose
sumanlosunos.
n
x
x 
Realizando el momento 5
M
n
n
x
0
n
x
1
M
x
1i
xn
1i
55
5
 
















 
n
n
x
0xn
n
x
1x
M
55
5














 
n
n
x
xn5101051x
M
5
5
55
5
5
4
4
3
3
2
2
5














n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
5
n
x
10
n
x
10
n
x
n
x
5
n
x
n
x
M
2
2
3
3
4
4
5
4
5
5
6
5
6
5


n
x
n
x
5
n
x
10
n
x
10
n
x
4
M
2
2
3
3
4
4
5
5


















1
1
1
0
0
0
p
q

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HenryAlvarado
n
n
xnxn5xn10nx10x4
M
4
4233245
5


5
4233245
5
n
xnxn5xn10nx10x4
M


5
4233245
5
n
xnxn5xn10nx10x4
M


   
3
3223
5
n
nxn4nx6x4
n
xn
n
x
M


 





 


 3
3223
5
n
nxn4nx6x4
n
xn
n
x
M
Agrupandopara posteriormente expresarenfunciónde py q
       





 






 3
3223
3
322
3
32
3
3
5
n
xnx3xn3n
n
xnx2xn
n
xnx
n
x
n
xn
n
x
M
Sabemosque:
n
x
p ;
n
xn
q ; 3
3
3
n
x
p ; 3
32
2
2
2
n
xnx
n
xn
n
x 





 
qp
 
3
322
3
222
2
n
xnx2xn
n
xnx2nx
n
xn
n
x
pq








 

3
32233
3
n
xnx3xn3n
n
xn 





 
q
Por tanto:
 32235
qpqqpppqM 
Ejemplo:
Tenemosque lasfraccionesson:
5
2
5
3


p
q








1
1
0
0
0
p
q

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HenryAlvarado
 32235
qpqqpppqM 

























































3223
5
5
3
5
3
5
2
5
3
5
2
5
2
5
3
5
2
M
025,0M5

Comprobación:
5
5
2
1
5
2
1
5
2
0
5
2
0
5
2
0
M
55555
5
































025,0M5
