Este documento explica el concepto de derivada direccional de funciones multivariables. La derivada direccional representa la tasa de cambio de una función en una dirección dada por un vector. Puede expresarse en términos del gradiente de la función y el producto escalar del vector. Existen diferentes definiciones, como restringirla a vectores unitarios. La derivada direccional generaliza las derivadas parciales y tiene propiedades similares a las derivadas de funciones de una variable.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
POLITÉCNICO ¨SANTIAGO MARIÑO¨
EXTENSIÓN- SAN CRISTÓBAL
MATEMÁTICAS III
ALUMNA: MAYRENE
ALEXANDRA VIVAS MÉNDEZ
C.I:25980077
SECCIÓN:A
ING-ELECTRÓNICA
LIC: DOMINGO MÉNDEZ
JULIO-2017

2. En análisis matematico la derivada direccional (o bien derivada
según una dirección) de una función multivariable, en la dirección
de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la
dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas
parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la
dirección de los respectivos ejes coordenados.
La derivada direccional de una función real de n variables:
en la dirección del vector:

3. es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de
su gradiente
donde "∙ " denota el producto escalar o producto punto entre
vectores. En cualquier punto X la derivada direccional de f
representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al
tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada
por en dicho punto.
Definición solo en la dirección de un vector

4. Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al
vector después de la normalización, ignorando así su magnitud.
En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está
limitada a un vector de norma definida y no nula, además es
incompatible con la notación empleada en otras ramas de la
matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo
que se quiere es la tasa de incremento de f por unidad de distancia.

5. Restricción al vector unitario
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional
con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos
definiciones anteriores se convierten en una misma.
Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio
tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable
z=f(x,y) La derivada direccional según la dirección de un vector unitario
v= vx, vy) es:
El primero de estos límites puede calcularse mediante el
cambio h’= vxy lo cual lleva, por ser diferenciable la función f,a :

6. Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del
gradiente por el vector v= (vx,vy):
Notaciones alternas
La derivada direccional puede ser denotada mediante los
símbolos:

7. donde v es la parametrización de una curva para la cual v es
tangente y la cual determina su magnitud.
Propiedades
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se
mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para
cualquier pareja de funciones f y g definidas en la vecindad de
un punto p, donde son diferenciables:

8. Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones
de Rm en Rn del tipo:
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con
funciones de una variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la
existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica
necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es
diferenciable resulta que la aplicación:

9. Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:
Funcionales
La derivada funcional definida como derivada de Gâteaux, es de
hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio
vectorial de funciones.