El documento explica la derivada direccional de funciones multivariables, la cual mide la tasa de cambio de una función en la dirección de un vector. Se discuten definiciones generales y restricciones, así como la relación con el gradiente y su cálculo en el espacio tridimensional. Además, se menciona la importancia de la dirección y magnitud del vector en esta derivada.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Escuela de Arquitectura
Matemática III
Estudiante:
Génesis, Ramírez.
24.664.895
Docente:
Domingo, Méndez.
San Cristóbal, 07 de Abril del 2017

2. En análisis matemático,
la derivada direccional (o
bien derivada según una
dirección) de una función
multivariable, en la
dirección de un vector dado,
representa la tasa de
cambio de la función en la
dirección de dicho vector.
Este concepto generaliza
las derivadas parciales,
puesto que estas son
derivadas direccionales
según la dirección de los
respectivos ejes
coordenados.
Definición general:
La derivada direccional de una función real de
numero de variables
F (x): f (X1,X2,…,Xn)
en la dirección del vector:
V: (V1,V2,…,Vn)

3. es la función definida por
el límite:
Si la función es diferenciable,
puede ser escrita en término de
su gradiente
donde “.” denota el producto escalar o
producto punto entre vectores. En cualquier
punto X
la derivada direccional de f representa
intuitivamente la tasa de cambio de f con
respecto al tiempo cuando se está moviendo a
una velocidad y dirección dada por V en dicho
punto.

4. Definición solo en la dirección
de un vector:
Algunos autores definen la
derivada direccional con
respecto al vector V después
de la normalización, ignorando
así su magnitud. En este caso.
Esta definición tiene algunas
desventajas: su aplicabilidad
está limitada a un vector
de norma definida y no nula.
Además es incompatible con
la notación empleada en
otras ramas de la
matemática, física e
ingeniería por lo que debe
utilizarse cuando lo que se
quiere es la tasa de
incremento de F por unidad
de distancia.

5. Restricción al vector unitario:
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional
con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos
definiciones anteriores se convierten en una misma
Demostración:
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio
tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable es:
derivada direccional según la dirección de un vector unitario es:

6. El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio H1
Vxh……lo cual lleva, por ser diferenciable la función como: F,a
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente
por el vector:

7. La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
donde V es la parametrización de una curva para la cual V es tangente y la
cual determina su magnitud