La derivada direccional de una función representa la tasa de cambio de la función en una dirección dada por un vector. Se define como el límite de la variación de la función dividida por la magnitud del vector a medida que esta tiende a cero. Si la función es diferenciable, la derivada direccional es igual al producto escalar entre el gradiente de la función y el vector de dirección.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Estado Táchira
DerivadaDireccional

2. Definición
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según
una dirección) de una función multi variable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este
concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas
direccionales según la dirección de los respectivos
Definición General
La derivada direccional de una función real de n variables:
En la dirección del vector:
Es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente
Donde “.“ denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En
cualquier punto x, la derivada direccional de f representa intuitivamente la
tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una
velocidad y dirección dada por 𝒗⃑ en dicho punto.

3. Definición solo en la dirección de un vector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al
vector 𝒗⃑ después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este
caso:
Si la función es diferenciable, entonces:
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un
vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación
empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe
utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de f por unidad de
distancia.
Restricción al vector unitario
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con
respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones
anteriores se convierten en una misma.
Demostración:
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio
tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable .
La derivada direccional según la dirección de un vector unitario
es:

4. El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo
cual lleva, por ser diferenciable la función1 f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el
vector
Notaciones Alternas
La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
Donde v es la parametrización de una curva para la cual v es tangente y la cual
determina su magnitud.

5. Propiedades
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las
derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones f y
g definidas en la vecindad de un punto p, donde son diferenciables:
1-.Regla de la suma:
2-.Regla del Factor Constante:
3-. Regla del producto (o fórmula de Leibniz):
4-. Regla de la cadena: Si g es diferenciable en el punto p y h es diferenciable
en g (p), entonces:
Campos Vectoriales:
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de
R�
en R�
, del tipo:

6. En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con
funciones de una variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la
existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica
necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es
diferenciable resulta que la aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:
Funcionales
La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una
derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de
funciones.
Ejemplo
La diferencial de es:
Su valor para el vector es -14. Para ,
que tiene el mismo módulo que el anterior, pero dirección distinta, la diferencial
vale -1.