Este documento define la derivada direccional de una función multivariable y explica cómo se puede interpretar geométricamente. También presenta propiedades clave de la derivada direccional y dos ejemplos para ilustrar su cálculo.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
ESCUELA DE ARQUITECTURA
Autora:
Sánchez Carrero; Stefany Andreina
CI 26.407.534
Semestre III
Sección “S1”

2. Dirección: Una dirección en ℝ n es
cualquier vector de norma 1.
La derivada direccional o bien derivada según una dirección de una función
multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de
la función en la dirección de dicho vector.
Si u → es una dirección en el plano ℝ 2 (n=2) entonces se puede expresar
como u → =( cosϕ,senϕ ) siendo ϕ el ángulo que forma el vector con el eje
positivo de las X.
Vamos a considerar ahora la variación de
una función cuando nos movemos desde un
punto a lo largo de una dirección.
Si la función es de dos variables, la noción de
derivada direccional se puede interpretar
geométricamente como la pendiente de la
recta tangente a la curva intersección de la
superficie con el plano vertical que contiene a
la dirección dada.

3. Derivada Direccional en un punto:
Sea f una función definida en un entorno del punto P o y u → una dirección.
Se define la derivada direccional de f en el punto P o como el valor del siguiente
límite en el caso de que exista:
lim t→0 f( P o +t u → )−f( P o ) t
Notación: La derivada direccional se denota
por D u f( P o )= f u ' ( P o )= f φ ' ( P o ) siendo u → =( cosφ,senφ ) .
Observaciones:
•La existencia de esta derivada direccional significa que la función de
una variable h( t )=f( P o +t u → ) es derivable en
t=0: D u f( P o )=h'(0 ) .
•En el caso de una función de dos variables tenemos:
•La derivada direccional en la dirección u → =( 1,0 ) es la derivada
parcial respecto a x
•La derivada direccional en la dirección u → =( 0,1 ) es la derivada
parcial respecto a y.

4. Propiedades de la Derivada Direccional:
Sean f y g dos funciones reales de n variables reales, u → un vector unitario y
c un número real. Entonces si las derivadas direccionales de f y g en la
dirección u → existen en P o entonces las funciones:
cf f+g f⋅g f/g (este último caso siempre que g( P )≠0 próximos a P o ) son
derivables en la dirección u → en el punto P o . Además:
D u ( cf )( P o)=c D u f( P o )
D u ( f+g )( P o )= D u f( P o )+ D u g( P o )
D u (f . g ) ( P o )= g( P o ) . D u f ( P o) +f( P o) . D u g( P o)
D u ( f g )( P o )= g( P o) . D u f( P o ) –f( P o) . D u g( P o) [ g( P o) ]2

5. Ejemplo:
Dada la función f( x,y )= x y x 2 + y 2 ∀( x,y )≠( 0,0 ) y f(0,0)=0,
determinar, si es que existe, la derivada direccional en (0,0).
Solución:Aplicando la definición de derivada direccional para la función dada,
en el punto (0,0), se tiene
D u f( 0,0 )= lim h→0 f( h cosϕ,h senϕ )−f( 0,0 ) h = lim h→0 h 2 cosϕ⋅senϕ
h 2 ( cos 2 ϕ+se n 2 ϕ ) h = lim h→0 cosϕ⋅senϕ h
Esta derivada solo existe para las direcciones u → =( 1,0 ) y u → =( 0,1 ) , en las
cuales se verifica sen ϕ=0 y cos ϕ=0 , respectivamente, es decir, las direcciones
de los semiejes X e Y positivos. En esos casos
D u f( 0,0 )= f ϕ ' ( 0,0 )=0
Para las demás direcciones no existe la derivada direccional.

6. Ejemplo 2:
Estudiar si existen las derivadas de la
función f( x,y )={ x 3 + y 3 x 2 + y 2 si ( x,y )≠( 0,0 ) 0 si ( x,y )=( 0,0 ) e
n el punto (0,0), en todas las direcciones.
Solución:En este caso tenemos
D u f( 0,0 )= lim h→0 f( h cosϕ,h senϕ )−f( 0,0 ) h = = lim h→0 h 3 ( cos 3 ϕ+
se n 3 ϕ ) h 2 ( cos 2 ϕ+se n 2 ϕ ) h = cos 3 ϕ+se n 3 ϕ
Como puede verse, la derivada direccional en el punto (0,0) existe para
cualquier dirección u → =( cos ϕ,sen ϕ ) .