Este documento explica el concepto de derivada direccional de funciones multivariables. La derivada direccional representa la tasa de cambio de una función en la dirección de un vector dado y generaliza las derivadas parciales. Se define como el límite de la variación de la función dividida por la variación del parámetro a lo largo de la dirección del vector. También se discuten propiedades como las reglas de suma, producto y cadena para derivadas direccionales.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
Derivada direccional
Nombre: Tibisay Florez
C.I: 28195385
Ing de sistemas

2. Derivada direccional
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según
una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este
concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas
direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
La derivada direccional de una función real de n variable:
En la dirección del vector:
Es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede serescritaen término de su gradiente
Donde " ." denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En
cualquier punto
x,la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio
de f conrespecto al tiempo cuando se estámoviendo a una velocidad y dirección
dada por en dicho punto.
Definiciónsolo enla direcciónde unvector

3. Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector
después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a
un vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación
empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe
utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de f por unidad de
distancia.int a,b,c; a+b=c
Restricciónal vector unitario
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con
respectoa un vector unitario. Con estarestricción,las dos definiciones anteriores
se convierten en una misma.
Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio
tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable La
derivada direccional según la dirección de un vector unitario
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio
lo cual lleva, por ser diferenciable la función f, a:

4. Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente
por el vector
Notaciones alternas
La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
Donde v es la parametrización de una curva para la cual v es tangente y
la cual determina su magnitud.
Propiedades
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en
las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones f
y g definidas en la vecindad de un punto p, donde son diferenciables:
Regla de la suma:
Regla del factor constante:
Donde c es cualquier constante.
Regla del producto (o fórmula de Leibniz):

5. Regla de la cadena: Si g es diferenciable en elpunto p y h es diferenciable
en g(p), entonces:
Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones
de , del tipo:
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía
con funciones de una variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que
la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica
necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable
resulta que la aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:
Funcionales
La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho
una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de
funciones.