La derivada direccional de una función de varias variables f(x,y) a lo largo de un vector v⃗ en el espacio de entrada indica la tasa de cambio de f cuando la entrada se mueve en la dirección de v⃗. Se calcula tomando el producto punto entre el gradiente de f y el vector v⃗ (∇f⋅v⃗). Para calcular la pendiente usando la derivada direccional, el vector v⃗ debe normalizarse.

1. Derivadas
Direccionales
Alumna:
Gregoryth Pinzón
MATEMATICA III
San Cristobal,enero 2018

2. Las derivadas direccionales
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según
una dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección
marcada por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el
incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida
tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media”
en una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función
en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar
mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación
posee significado geométrico. En tres dimensiones la interpretación
geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.
Qué vamos a construir
Si tienes una función de varias variables, F(x,y) y un vector en el espacio de
entradas de la función V a derivada direccional de f a lo largo del vector V dice
la tasa de cambio f a medida que entrada se mueve con el vector de velocidad
V

3. La notación aquí es ∇v⃗f y se calcula al tomar el producto punto entre el
gradiente de f y el vector v es decir, ∇f⋅v
Cuando uses la derivada direccional para calcular la pendiente, primero
asegúrate de normalizar el vector V
Ejm:
. La derivada parcial de f con respecto a x:
Si evaluamos esto en algún punto, como (2, 3)
¿Pero qué significa esto en realidad?
Digamos que evalúas la función original fen el punto (2, 3)

4. Ahora mueve el valor de entrada un poco en la dirección de x, tal vez por
un valor de 0.01, moviéndola a (2.01, 3)
El cambio total en la salida, de –2 a –1.9899, es de 0.0101. La razón
entre este cambio y el tamaño del cambio en el espacio de entrada se
muestra a continuación:
Mientras más pequeño sea nuestro cambio original, esta razón será más
cercana a
La pregunta aquí es saber qué pasa si movemos la entrada de f en una
dirección que no sea paralela al eje x o al eje y.
Por ejemplo, la siguiente imagen muestra la gráfica de f junto con un
pequeño paso a lo largo de un vector v⃗, en el espacio de entrada que, en
este caso, quiere decir el plano x,y. ¿Existe alguna operación que nos
indique cómo se compara la altura de la gráfica por encima de la punta
de v⃗ con la altura de la gráfica por encima de su cola?

5. Como seguro habrás adivinado, hay un nuevo tipo de derivada, llamada
la derivada direccional, que responde esta pregunta.
Igual que como se toma la derivada parcial con respecto a alguna
variable, por ejemplo x o y, la derivada direccional se toma a lo largo de
algún vector v⃗ el espacio de entrada.
Una manera muy útil de pensar acerca de esto es imaginar un punto en el
espacio de entrada de la función que se mueve con una velocidad v⃗. La
derivada direccional de f a lo largo de v⃗, es la razón de cambio
resultante en la salida de la función. Así que, por ejemplo, multiplicar el
vector v por dos duplicaría el valor de la derivada direccional, ya que
todos los cambios ocurrirían el doble de rápido.
Notación
Existen varias distintas notaciones para este concepto:

6.  ∇v⃗ f
 f′v⃗
 Dv⃗ f
 ∂v⃗ f
 ∂v⃗
∂f
Todas estas notaciones representan lo mismo: la razón de cambio de f a
medida que mueves la entrada a lo largo de la dirección de v⃗. Vamos a
usar la notación ∇v⃗ f, simplemente porque de manera sutil te da una pista
de cómo calcular la derivada direccional al usar el gradiente, lo cual
verás en un instante.
Ejemplo 1: v⃗=j^

7. Cómo calcular la derivada direccional
Digamos que tienes una función multivariable f(x,y,z) que toma tres
variables de entrada, x, y y z, y quieres calcular su derivada direccional a
lo largo del siguiente vector:
Resulta que la respuesta es
Esto debería tener sentido porque un pequeño desplazamiento a lo largo
del vector v⃗ se puede dividir pequeños movimientos en dirección de x,
en en la dirección de y y uno hacia atrás, por en la dirección de z.
En general, podemos escribir el vector v⃗ de manera abstracta como
sigue:
La derivada direccional se ve así:

8. Es decir, el pequeño desplazamiento en la dirección del vector v⃗
consiste de veces un pequeño desplazamiento en la dirección
de x, veces un pequeño desplazamiento en la dirección de z
Esto puede escribirse en una forma compacta y muy agradable al usar el
producto punto y el gradiente:
Es por esto que la notación ∇v⃗ es tan sugestiva de la forma en la que
calculamos la derivada direccional:
∇v⃗f=∇f⋅v⃗
Encontrar la pendiente
¿Cómo obtendrías la pendiente de una gráfica que se interseca con un
plano que no es paralelo ni al eje x ni al eje y?

9. Puedes utilizar la derivada direccional, pero hay algo importate que
debes recordar:
Si se usa la derivada direccional para calcular la pendiente, v⃗, ser un
vector unitario o debes recordar dividirlo entre ∣∣v⃗∣∣
En la definición y el cáclulo de arriba, duplicar la longitud del vector v
duplicaría el valor de la derivada direccional. En términos del cálculo,
esto se debe a que ∇f⋅(2v⃗)=2(∇f⋅v)
Sin embargo la pendiente de la gráfica en la dirección v⃗ depende solo
de la dirección v⃗, y no de la magnitud v⃗.

10. Resumen
 Si tienes una función de varias variables, f(x,y) y un vector en el
espacio de entradas de la función, v⃗, la derivada direccional de f a lo
largo del vector v⃗, te dice la tasa de cambio f a medida que la entrada
se mueve con el vector de velocidad v
 La notación aquí es f∇v y se calcula al tomar el producto punto
entre el gradiente de f y el vector v, es decir, ∇f⋅v
 Cuando uses la derivada direccional para calcular la pendiente,
primero asegúrate de normalizar el vector v⃗