Este documento presenta conceptos fundamentales sobre ecuaciones y desigualdades con una variable. Explica las propiedades básicas de la igualdad y desigualdad, incluyendo propiedades de suma, resta, multiplicación y división. También define intervalos, valor absoluto y cómo resolver ecuaciones y desigualdades elementales con una variable. Finalmente, incluye ejemplos resueltos para ilustrar estos conceptos.

1. Repaso Resolviendo
Ecuaciones y
Desigualdades con una
variable
Prof. Anuar Cortázar Cáez

2. Propiedades Básicas de la
Igualdad
Si a, b y c son nombres de objetos, entonces:
1. a = a P. Reflexiva
2. Si a = b, entonces b = a P. Simétrica
3. Si a = b, b = c entonces a = c P. Transitiva
4. Si a = b, entonces ambas pueden reemplazar a
la otra en cualquier proposición sin que cambie
la veracidad o falsedad de ésta.

3. Otras Propiedades de la
Igualdad
Si a, b y c son números reales cualesquiera,
1. Si a = b, entonces a + c = b + c P. Suma
2. Si a = b, entonces a - c = b - c P. Resta
3. Si a = b, entonces ac = bc, c ≠ 0 P.
Mult.
4. Si a = b, entonces a/c = b/c, c ≠ 0 P. Div.

4. Desigualdades simples
a < b
Significa a es menor o igual a b
a > b
Significa a es mayor o igual a b

5. Desigualdades
compuestas
a < x < b
Significa que a <x y x < b.
es decir
x está entre a y b incluyendo a b

6. Notación de Intervalos
Notación de
Intervalo
Notación de
desigualdad
Gráfica
[a,b] a < x < b
[a,b) a < x < b
(a,b] a < x < b
(a,b) a < x < b
[b,∞) x > b
(b, ∞) x > b
(- ∞,a] x < a
(- ∞,a) x < a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b

7. Propiedades de las
desigualdades
Si a, b y c son números reales
cualesquiera:
1. a < b, entonces a + c < b + c P. Suma
2. a < b, entonces a - c < b - c P. Resta
3. a < b, entonces ac < bc P. Mult.
4. a < b, entonces a/c < b/c P. División
5. a < b y c es negativo, entonces
a/c > b/c

8. Valor Absoluto
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
|-5| = 5 |5| = 5
|-5| se lee el “valor absoluto de -5” y significa
que la distancia de 0 hasta -5 es 5 unidades.

9. Definición de Valor
Absoluto
El valor absoluto de un número nunca es
negativo porque la distancia nunca es negativa.
x si x es positivo
|x| = 0 si x es cero
-x si x es negativo

10. Desigualdades con
Valor Absoluto
Para p > 0
|x| < p -p < x < p
|x| > p x < p ó x > p

11. Ejemplos:
1. 3x – 2(2x - 5)= 2(x + 3)- 8

12. Ejemplos:
1. 3x – 2(2x - 5)= 2(x + 3)- 8
3x – 4x + 10 = 2x + 6 - 8 Eliminación de paréntisis
– x + 10 = 2x - 2 Suma términos semejantes
Propiedad de la resta
– 3x = -1 2
x = 4 Propiedad de la división
El conjunto de solución es {4}

13. Intenta:
2 (3 – x) – (3x + 1) = 8 – 2 (x + 2)

14. Intenta:
2 (3 – x) – (3x + 1) = 8 – 2 (x + 2)
6 – 2x – 3x – 1 = 8 – 2x - 4
5 – 5x = 4 – 2x
– 3x = -1
x = 1/3
El conjunto de solución es {1/3}

15. Ejemplos:
2. Resuelve 2
1
4
3
1


 x
x

16. Ejemplos:
2. Resuelve









2
1
4
3
1
12
x
x Multiplicar por el denominador común
Simplificar fracciones
Eliminar paréntesis
Términos semejantes y P. Resta de la
igualdad
El conjunto de solución es {2}
2
1
4
3
1


 x
x









2
1
4
3
1
12
x
x
6
)
(
3
)
1
(
4 

 x
x
6
3
4
4 

 x
x
2

x

17. Intenta:
4
3
2
2
5
:
Re 


x
x
suelva

18. Intenta:
4
3
2
2
5
:
Re 


x
x
suelva









4
3
2
2
5
20
x
x
15
)
2
(
10
4 

 x
x
15
20
10
4 

 x
x
5
6 

 x
6
/
5

x
El conjunto de solución es {5/6}

19. Ejemplos:
3. Resuelve para P t
P
A Pr



20. Ejemplos:
3. Resuelve para P t
P
A Pr


)
1
( rt
P
A 
 Factorizar factor común
P
rt
A


1
P. División de la igualdad

21. Intenta:
)
32
(
9
5
C
:
F
para
Re 
 F
suelva

22. Intenta:
)
32
(
9
5
C
:
F
para
Re 
 F
suelva







 )
32
(
9
5
C
5
9
F
)
32
(
C
5
9

 F
F
32
C
5
9



23. Ejemplo 4:
Haz la gráfica de:
a.[-2,3)
b.(-4,2)
c. [-2, ∞)
d.(- ∞,3)

24. Ejemplo 4:
Haz la gráfica de:
a.[-2,3)
b.(-4,2)
c. [-2, ∞)
d.(- ∞,3)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

25. Ejemplo 5:
Escriba las siguientes desigualdades
como notación de intervalos.
a. -3 < x < 3
b. -1 < x < 2
c. x > 1
d. x < 2

26. Ejemplo 5:
Escriba las siguientes desigualdades
como notación de intervalos.
a. -3 < x < 3
b. -1 < x < 2
c. x > 1
d. x < 2
a.(-3,3]
b.[-1,2]
c.(1, ∞)
d.(- ∞, 2]

27. Ejempo 6:
Resuelve: 2 (2x + 3) < 6 ( x – 2) + 10

28. Ejempo 6:
Resuelve: 2 (2x + 3) < 6 ( x – 2) + 10
4x + 6 < 6x – 12 + 10
Eliminación de paréntesis.
4x + 6 < 6x – 2
Suma de términos semejantes
-2x < – 8
P. Suma y resta de la igualdad
x > 4 P. De la división de la igualdad
La solución es x>4 ó (4, ∞)

29. Intenta:
Resuelve: 3 (x - 1) > 5 ( x + 2) - 5

30. Intenta:
Resuelve: 3 (x - 1) > 5 ( x + 2) - 5
3x - 3 > 5x + 10 - 5
3x - 3 > 5x + 5
-2x > 8
x < -4
La solución es x < -4 ó (-∞,- 4]

31. Intenta:
Resuelve: 3
4
2
6
4
3
2 x
x





32. Intenta:
Resuelve: 3
4
2
6
4
3
2 x
x




La solución es x < 3.9 ó (-∞, 3.9]










3
4
2
6
4
3
2
12
x
x
)
4
(
4
)
12
(
2
)
6
(
12
)
3
2
(
3 x
x 



x
x 16
24
72
9
6 



x
x 16
24
63
6 


39
10 

 x
10
/
39

x

33. Intenta:
Resuelve: 2
3
6
8
3
3
4 x
x





34. Intenta:
Resuelve: 2
3
6
8
3
3
4 x
x




La solución es x > 6 ó ( 6 , ∞ )










2
3
6
8
3
3
4
6
x
x
)
3
(
3
)
6
(
6
)
8
(
6
)
3
4
(
2 x
x 



x
x 9
36
48
6
8 



x
x 9
36
42
8 


6


 x
6

x

35. Ejemplo 7:
Resuelve: 18
7
4
3 


 x

36. Ejemplo 7:
Resuelve: 18
7
4
3 


 x
La solución es ó (-2, 1]
4
18
7
4
3 




 x
14
7
7 


 x
P. Resta de la Igualdad
P. División de la Igualdad
7
14
7
7





x
2
1 

 x
2
1 

 x

37. Intenta:
Resuelve: 7
2
7
3 


 x

38. Intenta:
Resuelve: 7
2
7
3 


 x
La solución es ó (-5, 0]
7
7
2
7
3 



 x
0
2
10 

 x
P. División de la Igualdad
2
0
2
10



x
0
5 

 x
0
5 

 x
P. Resta de la Igualdad
Términos semejantes

39. Ejemplo 8:
a. |7| =
b. |π - 3|=
c. |-7| =

40. Ejemplo 8:
a. |7| = 7
b. |π - 3|= π - 3
c. |-7| = 7

41. Ejemplo 9
Resuelve: |x – 3 | = 5

42. Ejemplo 9
Resuelve: |x – 3 | = 5
x – 3 = 5
Dos resultados, uno
positivo y el otro
negativo
x – 3 = -5
x = 5 + 3
x = 8
x = -5 + 3
x = -2
La solución es {8,-2}

43. Ejemplo 10
Resuelve: |x – 3 | < 5

44. Ejemplo 10
Resuelve: |x – 3 | < 5
x – 3 < 5
Dos resultados, uno
positivo y el otro
negativo
x – 3 > -5
x < 5 + 3
x < 8
x > -5 + 3
x > -2
La solución es {-2 < x < 8}
Cambio de signo al
que negativo.
y

45. Ejemplo 11
Resuelve: |x – 3 | > 5

46. Ejemplo 11
Resuelve: |x – 3 | > 5
x – 3 > 5
Dos resultados, uno
positivo y el otro
negativo
x – 3 < -5
x >< 5 + 3
x > 8
x < -5 + 3
x < -2
La solución es {x < -2 ó x > 8}
Cambio de signo al
que negativo.
ó

47. Ejemplo 12
Resuelve: 0 < |x – 3 | < 5

48. Ejemplo 12
Resuelve: 0 < |x – 3 | < 5
0 < |x – 3 |
Desigualdad compuesta
|x – 3 | < 5
La solución es {-2< x < 8 x ≠ 3}
Cada una de ellas tiene dos
contestaciones
y
0 < x – 3 0 > x – 3 x – 3 < 5 x – 3 > -5
x > -5 + 3
x > -2
x < 5 + 3
x < 8 y
3< x 3 > x
ó
x ≠ 3

49. Ejercicios sugeridos
• Barnett: p. 81-82 (1-20) (31-38)
p. 100-101 (1-46)
p. 108-109 (1-62)