Este documento trata sobre la congruencia de triángulos y elementos secundarios. Define la congruencia de triángulos como dos triángulos que tienen lados y ángulos correspondientes iguales. Presenta postulados de congruencia como tener dos lados y el ángulo opuesto al mayor lado iguales. Incluye ejemplos y ejercicios sobre elementos secundarios como alturas, bisectrices y más.

1. C u r s o : Matemática
Material N° 12
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 10
UNIDAD: GEOMETRÍA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de
modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
R
A
C
∆ ABC ≅ ∆ PQR ⇒
Q
P
AB ≅ PQ
AC ≅ PR
CB ≅ RQ
( A ≅ P
(
( B ≅ Q
(
( C ≅ R
(
B
EJEMPLOS
1. Los triángulos PQR y TNM de la figura 1, son escalenos. Si ∆PQR ≅ ∆TNM, entonces ¿cuál
de las siguientes proposiciones es falsa?
A) PQ ≅ TN
B) PR ≅ TM
C) QR ≅ NM
D) QRP ≅ NMT
( (
E) PQR ≅ TMN
( (
M
T
N
R
P Q Fig. 1
2. En la figura 2, ∆ ABC ≅ ∆ DEF con D ∈ BC , AC // DF , ( BDE = 80º y ACB = 40º,
¿cuál es la medida del ( DEF?
(
A) 40º
B) 60º
C) 80º
D) 90º Fig. 2
C
F
E
D
B
A
E) No se puede determinar

2. POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
c
α
C
B
A
β
C’
c’
α
B’
A’
β
β
B’
c’
α
C’
A’
b’
B
C
α
A
b
c
C
B
A c
b a
C’
c’ B’
A’
b‘ a’
γ
C
B
A c
b < c
B’
c’
C’
A’
γ
b b’
N LLA > : Dos triángulos son congruentes cuando tiene
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos
lados respectivamente iguales.
N LLL : Dos triángulos son congruentes si tienen sus
tres lados respectivamente iguales.
N LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
N ALA : Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.
EJEMPLOS
1. En la figura 1, DC ⊥ AD y CB ⊥ AB . Si ( DAC ≅ BAC, entonces el triángulo CAB
es congruente con el triángulo DCA en su orden
(
2
A) ACD
B) ADC
C) CAD
D) DCA
A
B
C
D
Fig. 1
E) CDA
2. El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB , CD ⊥ AB y AD = DB .
Entonces, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) congruentes?
I) ∆ADE con ∆BDE
II) ∆AEC con ∆BEC
III) ∆ADC con ∆BDC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
Fig. 2
C
E
A D B

3. C
3
A B
E
H = ORTOCENTRO (punto de
intersección de las alturas)
F
H
D
C
I = INCENTRO (punto de
intersección de las bisectrices)
γ
γ
A B
I β
α
β
α
G = CENTRO DE GRAVEDAD
(punto de intersección de las
transversales de gravedad)
A D
F
B
C
G
E
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
N ALTURA
Es la perpendicular que va
desde un vértice al lado
opuesto o a su prolongación.
N BISECTRIZ
Es el trazo que divide al ángulo
en dos ángulos congruentes
N TRANSVERSAL DE GRAVEDAD
Es el trazo que une un vértice con
el punto medio del lado opuesto.
OBSERVACIÓN: Si ∆ABC rectángulo en C,
entonces CD .
= AD = DB
FE // AB
FD // BC
DE // AC
A D B
F E
C
N SIMETRAL
Es la recta perpendicular que pasa
por el punto medio de cada lado
del triángulo.
N MEDIANA
Es el segmento de recta que une los
puntos medios de los lados del triángulo.
OBSERVACIÓN:
O = CIRCUNCENTRO
(punto de i
de las simetrales)
ntersección
A B
C
O
∆ADF ≅ ∆DBE ≅ ∆FEC ≅ ∆EFD

4. EJEMPLOS
1. En la figura 1, el ∆ABC es equilátero y el ∆DEA es rectángulo isósceles. Si CE es altura,
entonces (α + (β + (γ = C
D
B
γ
β
α
A E
fig. 1
A) 105º
B) 120º
C) 135º
D) 150º
E) 165º
2. En la figura 2, CD es bisectriz del (C. ¿Cuál es la medida del (x?
B
fig. 2
x
60º
A
70º
D
A) 10º
B) 20º
C) 50º
D) 60º
E) 110º C
3. En el ABC de la figura 3, CE es transversal de gravedad y CE = BE. La medida del (x es
A
70º
E
B C
x
A) 40º
B) 70º
C) 80º
D) 90º
fig. 3
E) no se puede calcular
4. En la figura 4, RS es simetral de AB y AD // RS . ¿Cuál es la medida del (x?
S
x
49º
A B
C
49º
fig. 4
R
D
A) 139º
B) 90º
C) 51º
D) 49º
E) 41º
5. En el triángulo PQR de la figura 5, (PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide el (x?
R
Q
D
E
55º x
P
fig. 5
A) 35º
B) 45º
C) 50º
D) 55º
E) 60º
4

5. ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO
N En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado
distinto.
N En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
α α
B
A D
C
AC = BC
AB ≠ BC
CD = hc = tc = by = sc
C
30
30 30
F E
B
D
G
30 30
30
A
EJEMPLOS
1. El triángulo DEF de la figura 1 es isósceles de base DF . R es punto medio de DF y DFE
= 50º. ¿Cuánto mide el ángulo REF?
(
fig. 1
R
D E
F
A) 25º
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 80º
2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, E es punto medio de AB y BD es bisectriz
del ángulo ABC. ¿Cuánto es el suplemento de ( x + ( y?
C
A) 150º
y
x
D
fig. 2
B) 120º
C) 90º
D) 60º
E) 30º
A E B
5

6. EJERCICIOS
1. En el triángulo ABC de la figura 1, BD es bisectriz del (ABC. Si (CAB = 70º y
(ACB = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
C
fig. 1
A B
D x
A) 30º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) 100º
2. Si en el triángulo DEF de la figura 2, MN es mediana, entonces el ángulo NMD mide
fig. 2
40º
F
N
M
D
A) 40º
B) 100º
C) 120º
D) 130º
E) 140º
E
3. En el triángulo SRT de la figura 3, TH es altura, α = 110º y (
( β = 140º. ¿Cuál es la
medida del ángulo x?
6
A) 20º
B) 30º
C) 50º
fig. 3
x
R
β
H
S
T α
D) 60º
E) 70º
4. En el triángulo ABC de la figura 4, AC = CD = DB . ¿Cuál es la medida del (x?
B
fig. 4
35º
D
A C
x
A) 35º
B) 40º
C) 60º
D) 70º
E) 110º

7. 5. En la figura 5, los puntos A, B y D son colineales, ∆ABC ≅ ∆DBE, α = 36º y CBE = 20º,
¿cuánto mide el ( BED?
(
C E
fig. 5
α
A) 20º
B) 36º
C) 64º
D) 108º
E) 116º
D
B
A
6. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida del
ángulo x?
C E
B
D
x
fig. 6
25º
40º
A) 140º
B) 135º
C) 125º
D) 115º
E) 100º
A
7. ¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es(son) congruente(s)?
I) II) III)
15
10º 150º
5
7
30º
30º
7
5
12
115º 30º
12
150º
65º
15
20º
150º
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
8. ¿Cuánto mide el (x en el ∆ABC de la figura 7, si DE es mediana?
C
fig. 7
A B
D
x
α
2α
E
72º
A) 90º
B) 72º
C) 60º
7

8. D) 48º
E) 42º
9. En la figura 8, ∆QRP ≅ ∆DFE. Si QP ≅ PR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF?
Q
P
H E
F
58º
A) 62º
B) 64º
fig. 8
C) 74º
D) 106º
E) 116º
D
R
10. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) de ellas se
puede asegurar que los triángulos son congruentes?
I) II) III)
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) Sólo en II y III
E) En ninguna de ellas
11. Los triángulos de la figura 9, son congruentes según el criterio
60º
4
3
70º
7
70º
50º
A) LAL fig. 9
B) LLA
C) ALA
D) LLL
E) AAA
12. Los triángulos PQR y STU de la figura 10, son congruentes. Si PQ = QR = 5 cm,
VU = 3 cm y TV es transversal de gravedad, ¿cuánto mide PR ?
A) 2
8
fig. 10
P Q
V
S T
U
R
B) 3
C) 4
D) 5

9. E) 6
13. En la figura 11, ∆ABC rectángulo en C y ∆BED isósceles de base BD . ¿Cuál es la medida del
(x?
fig. 11
A B
C
D
x
30º
E
A) 40º
B) 35º
C) 30º
D) 20º
E) 15º
14. En la figura 12, si el ∆ABC es rectángulo en C y CD es altura, ¿cuáles de las afirmaciones
siguientes nos permiten asegurar que los triángulos ADC y BDC son congruentes?
I) ∆ABC isósceles.
fig. 12
C
D
II) AD ≅ DC
III) D punto medio de AB .
A) Sólo I y II
B) Sólo I y III
C) Sólo II y III
A B
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
15. En el triángulo ABC de la figura 13, CD es transversal de gravedad y CD = AD . Si
(CAD = 60º, entonces el ángulo DCB mide
C
fig. 13
A) 20º
B) 25º
C) 30º
D) 40º
E) 5º B
A D
16. En la figura 14, ∆ABC ≅ ∆NMT. Si ( CAB = 40º y ( NMT = 80º, entonces es falso que
A) ABC ≅ ( NMT
(
9
fig. 14
N
T
C
A B M
B) el NTM mide 60º
(
C) el ∆MNT es escaleno
D) NT ≅ AC
E) el TNM mide 80º
(

10. 17. ¿En qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes?
A) Rectángulo isósceles
B) Isósceles acutángulo
C) Rectángulo escaleno
D) Equilátero
E) En ninguno
18. En el ∆ABC (fig. 15), AD es transversal gravedad y ( CAD = BAD. Entonces, la medida
del ángulo ADB es
(
C
A) 110º
D
fig. 15
B) 100º
C) 90º
D) 80º
E) 60º
A B
19. Los ángulos exteriores de un triángulo están en la razón 3 : 2 : 3, luego el triángulo es
A) escaleno obtusángulo
B) escaleno rectángulo
C) isósceles obtusángulo
D) isósceles rectángulo
E) isósceles acutángulo
20. ¿En cuál de las alternativas se encuentra el dato que falta para afirmar que los triángulos
ABC y DEF de la figura 16, son congruentes?
C
A) AB ≅ DE F
B) (C ≅ (F
60º
C) AC // DF E 40º
D) (B ≅ (E
E) No se requiere dato adicional 80º
80º
80º
fig. 16
A
B D
10

11. 21. El ∆ABC de la figura 17, es equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
siempre verdadera(s)?
I) (EPD = 120º
II) Si P punto medio de AB , entonces ∆APE ≅ ∆BPD.
III) Si CE ≅ CD, entonces P es punto medio de AB .
C
A B
D
P
E
fig. 17
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son
congruentes.
B) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.
C) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes,
son congruentes.
D) Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, son
congruentes.
E) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo respectivamente congruentes, son
congruentes.
23. Los triángulos ABD y ACD de la figura 18, son congruentes por el(los) criterio(s):
I) LAL
II) ALA
10
10
A
D α
α
C
B
E
7
7
III) LLL
fig. 18
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
11

12. 24. En los triángulos ABC y DEF de la figura 19, se sabe que AC // DF, CB // EF, AD = EB ,
GE = GD y AC = BC . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Si ∆AGC ≅ ∆BGC, entonces ∆DGF ≅ ∆EGF.
II) Cuadrilátero ADFC ≅ Cuadrilátero BEFC.
III) CG = 2FG
C
F
B
E
G
A D
A) Sólo I fig. 19
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
25. En el ∆ABC de la figura 20, ¿cuál de las siguientes afirmaciones permite demostrar que CF
es bisectriz del (ACB?
C
A B
D
F
E
fig. 20
A) CD CE
≅ y (DFC ≅ (EFC
B) AD EB y CD CE
≅ ≅
C) CD CE y DF EF
≅ ≅
D) DF EF
≅ y (DFA ≅ (EFB
E) CD CE
≅ y (CDF ≅ (CEF
26. En el ∆PQR de la figura 21, RS es altura y PS = SQ . El ∆PQR es equilátero si:
R
P Q
S
fig. 21
(1) ∆PSR ≅ ∆QSR
(2) (SPR = 60º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
12

13. E) Se requiere información adicional
27. En el ∆MNP de la figura 22, se puede afirmar que los triángulos RON y ROP son congruentes
si:
(1) R punto medio de NP .
M N
O
R
fig. 22
P
(2) ∆MOP equilátero.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
28. En la figura 23, ∆PQR ≅ ∆PST y T pertenece a RQ . Se puede determinar la medida del
ángulo PTR si:
R
(1) (QPS = 50º
13
(2) (STP = 65º
A) (1) por sí sola
fig. 23
Q
P
T
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional S
29. Los triángulos ABC y BAD son congruentes (fig. 24). Se puede determinar la medida del
(AEB si:
C D
(1) BAD = 40º
(
(2) CE ≅ EB ≅ DE ≅ EA
A) (1) por sí sola
fig. 24
A B
E
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional

14. 30. ∆ADC ≅ ∆BEC (fig.25). El ∆DEC es equilátero si:
(1) (DAC = 30º
14
(2) (ADC = 120º
A) (1) por sí sola
fig. 25
A D E
C
B
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS
1. E 11. C 21. E
2. D 12. E 22. D
3. A 13. C 23. C
4. D 14. D 24. C
5. C 15. C 25. C
6. D 16. E 26. B
7. D 17. D 27. D
8. D 18. C 28. D
9. E 19. D 29. A
10. C 20. A 30. B
1 E C
2 C E
4 C B D B B
5 C E
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5
CLAVES PÁG. 7
DSIMA12
Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web
http://clases.e-pedrodevaldivia.cl/