Distribuci%c3%93 n%20de%20probabilidad%20discretas2

DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DISCRETAS

DISTRIBUCIONES DE
Toda distribución de probabilidad es generada por una
VARIABLE (porque puede tomar diferentes valores)
ALEATORIA (porque el valor tomado no puede ser
predicho antes del experimento).

DISTRIBUCIONES DE
POR TANTO UNA VARIABLE ALEATORIA ES UNA
DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DEL RESULTADO DE UN
EXPERIMENTO ALEATORIO.

DISTRIBUCIONES DE
EN ESTADISTICA APLICADA, LA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA ES
UNA FUNCIÓN QUE ASIGNA A CADA SUCESO DEFINIDO
SOBRE LA VARIABLE ALEATORIA LA PROBABILIDAD DE QUE
DICHO SUCESO OCURRA.

DISTRIBUCIONES DE
LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISCRETAS ESTÁ DEFINIDA SOBRE EL CONJUNTO DE
TODOS LOS SUCESOS, CADA UNO DE LOS SUCESOS ES EL
RANGO DE VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA

DISTRIBUCIONES DE
CLAFICACIÓN DE LAS VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS
CONTINUAS

DISTRIBUCIONES DE
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA :SON VARIABLES
ALEATORIAS CON UN RANGO FINITO (O INFITO CONTABLE).
Puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el
resultado de la cuenta de alguna característica de interés.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA :
SON VARIABLES QUE PUEDEN ASUMIR CUALQUIER VALOR
EN UN INTERVALO O CONJUNTO DE INTERVALO.

DISTRIBUCIONES DE
LA DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE X SE DEFINE COMO
UNA DESCRIPCIÓN DEL CONJUNTO DE VALORES POSIBLES
DE X, JUNTO CON LA PROBABILIDAD ASOCIADA CON CADA
UNO DE ESTOS VALORES.
PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA LA
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD SE DESCRIBE MEDIANTE
UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD, REPRESENTADA POR f(x).
DONDE ESTA FUNCIÓN DEFINE LA PROBABILIDAD DE
OCURRENCIA DE CADA VALOR DE LA VARIABLE ANALIZADA.

DISTRIBUCIONES DE
CARACTERISTICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD:
LA PROBABILIDAD DE UN RESULTADO ES UN RESULTADO
SIEMPRE DEBE ESTAR ENTRE 0 Y 1. LA SUMA DE TODOS
LOS RESULTADOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES SIEMPRE
ES 1.

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 1
CONSIDERE UN EXPERIMENTO ALEATORIO EN EL QUE SE
LANZA TRES VECES UNA MONENA. SEA X EL NÚMERO DE
CARAS.
Sea:
X = el número de caras.
H = el resultado de obtener una cara
T = el de obtener una cruz.

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 1
Espacio muestral = {TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH}
El resultado será:
“cero caras” 1 vez,
“una cara” 3 veces,
“dos caras” 3 veces
“tres caras” 1 vez
Por tanto X= 0, 1, 2, 3
La variable X definida en este
experimento, es una variable
aleatoria.

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 2:
SEA X EL NÚMERO DE CARAS OBTENIDAS AL LANZAR 3
VECES UNA MONEDA. AQUÍ LOS VALORES DE X SON
X= 0, 1, 2, 3.

DISTRIBUCIONES DE
DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS
NÚMEROS DE CARAS PROBABILIDAD DE LOS
RESULTADOS
0 1/8 = 0.125
1 3/8 = 0.375
2 3/8 = 0.375
3 1/8 = 0.125
Total 8/8 = 1

DISTRIBUCIONES DE
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (V. DISCRETAS)
ASIGNA A CADA POSIBLE VALOR DE UNA VARIABLE
DISCRETA SU PROBABILIDAD. Se debe tener presente los
conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras.
EJEMPLO 3:
Número de caras al lanzar 3 monedas.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
0 1 2 3

DISTRIBUCIONES DE
ES LA FUNCIÓN QUE ASOCIA A CADA VALOR DE UNA
VARIABLE, LA PROBABILIDAD ACUMULADA DE LOS VALORES
INFERIORES O IGUALES.
SE DEBE CONSEVIR COMO LA GENERACIÓN DE LAS
FRECUENCIAS ACUMULADAS. DIAGRAMA INTEGRAL.

DISTRIBUCIONES DE
A LOS VALORES EXTREMADAMENTE BAJOS LES
CORRESPONDEN VALORES DE LA FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN CERCANOS A CERO.
A LOS VALORES EXTREMADAMNETE ALTOS LES
CORRESPONDEN VALORES DE LA FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN CERCARNOS A UNO.

DISTRIBUCIONES DE
MEDIA DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
LA MEDIA O ESPERANZA MATEMÁTICA ES UNA MEDIDA DE
LOCALIZACIÓN, QUE INDICA EL VALOR ALREDEDOR DEL
CUAL FLUCTÚA LA VARIABLE ALEATORIA; SI ESTA ES
CONTINUA, LA MEDIDA SE DEFINE COMO:
µ = E(X) = Σ[x*P(X)]

DISTRIBUCIONES DE
VARIANZA DE UNA DISTRIBUCION PROBABILISTICA
LA VARIANZA DESCRIBE EL GRADO DE DISPERSIÓN EN UNA
DISTRIBUCIÓN:
σ2= E(X) = Σ[(X - µ)2*P(X)]

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 4:
Una persona vende autos nuevos para una empresa.
Generalmente negocia el mayor número de autos los
sábados. Ha establecido la siguiente distribución de
probabilidad para el numero de autos que espera vender en
un sábado en particular:

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 4 (continuación):
NÚMEROS DE AUTOS VENDIDOS
X
PROBABILIDAD
P(X)
0 0.10
1 0.20
2 0.30
3 0.30
4 010
Total 1.00

DISTRIBUCIONES DE
1. ¿Qué tipo de distribución es esta?
2. En un sábado común, ¿Cuántos autos desea vender?
3. ¿Cuál es la varianza de la distribución?

DISTRIBUCIONES DE
Es una distribución de probabilidad discreta
(las respuestas son mutuamente excluyentes).
El numero medio de autos vendidos:
µ = Σ[x*P(X)]=0(0.1) +1(0.2)+ 2(0.3)+ 3(0.3)+4(0.1)=2.1

DISTRIBUCIONES DE
NÚMEROS DE
AUTOS VENDIDOS
X
PROBABILIDAD
P(X)
X.P(X)
0 0.10 0.00
1 0.20 0.20
2 0.30 0.60
3 0.30 0.90
4 010 0.40
Total 1.00 2.10

DISTRIBUCIONES DE
NÚMEROS DE
AUTOS VENDIDOS
X
PROBABILIDAD
(PX)
X.P(X)
0 0.10 0.00
1 0.20 0.20
2 0.30 0.60
3 0.30 0.90
4 010 0.40
Total 1.00 E(X) =2.10

DISTRIBUCIONES DE
NÚMEROS
DE AUTOS
VENDIDOS X
PROBABI
LIDAD
P(X)
(X - µ) (X - µ)2 (X - µ)2. P(X)
0 0.10 0 – 2.1 4.41 0.441
1 0.20 1 – 2.1 1.21 0.242
2 0.30 2 - 2.1 0.01 0.003
3 0.30 3 – 2.1 0.81 0.243
4 010 4 – 2.1 3.61 0.361
Total 1.00 σ2= 1.290
σ= 1.136

DISTRIBUCIONES DE
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
LA DISTRIBUCIÓN BINOMINAL SE UTILIZA EN SITUACIONES
CUYA SOLUCIÓN TIENE DOS POSIBLES RESULTADOS.
Por ejemplo:
Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.
En el deporte un equipo puede ganar o perder.
En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

DISTRIBUCIONES DE
TAMBIÉN SE UTILIZA CUANDO EL RESULTADO SE PUEDE
REDUCIR A DOS OPCIONES.
Por ejemplo:
Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
La meta de producción o ventas del mes se pueden o no
lograr.
En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o
cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o
incorrecta.
Estos ejemplos se pueden considerar como
“experimentos de Bernoulli”

DISTRIBUCIONES DE
PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE
BERNOULLI
1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles
resultados: éxitos o fracasos.
2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de
los resultados obtenidos en pruebas anteriores.

DISTRIBUCIONES DE
PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE
BERNOULLI
3 - La probabilidad de un suceso es constante, la
representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La
probabilidad del complemento es 1- p y la representamos
por q .
Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la
construcción de la distribución binomial.

DISTRIBUCIONES DE
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo
de distribución de probabilidad discreta.
Esta formada por una serie de experimentos de
Bernoulli. Los resutados de cada experimento son
mutuamente excluyentes.
Se requiere la siguiente información:
1 - la cantidad de pruebas n
2 - la probabilidad de éxitos p
3 - utilizar la función matemática.

DISTRIBUCIONES DE
LA FUNCIÓN P(x=k)
A continuación vemos La función de probabilidad de la
distribución Binomial, también denominada Función de
la distribución de Bernoulli:
k - es el número de aciertos.
n - es el número de experimentos.
p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que
salga "cara" al lanzar la moneda.
1-p - también se le denomina como “q ”

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 5
¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una
moneda 10 veces?
El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
El número de experimentos n son 10
La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al
lanzar la moneda es 50% ó 0.50
La fórmula quedaría:
P (k = 6) = 0.205
Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10
veces una moneda es de 20.5% .

DISTRIBUCIONES DE
LA MEDIA μ Y
DESVICIÓN ESTANDAR σ
Características de la distribución binomial
Media
= E(X) = n p
= 5 · 0.1 = 0.5
= 5 · 0.5 = 0.25
Desviación estándar
1
.
1
)
5
.
0
1
(
5
.
0
5
67
.
0
)
1
.
0
1
(
1
.
0
5
)
1
(














 p
np

DISTRIBUCIONES DE
CONCLUYENDO SOBRE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
La distribución binomial se forma de una serie de
experimentos de Bernoulli
La media (μ) en la distribución binomial se obtiene
con el producto de n x p
La desviación estándar (σ ) en la distribución
binomial se obtiene del producto de n x p x q.
El valor de que es el complemento de p y se obtiene
con 1 – p.

DISTRIBUCIONES DE
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
SE APLICA A LA TOMA DE MUESTRA SIN REPOSICIÓN DE
TAMAÑO n SOBRE UNA POBLACIÓN DE TAMAÑO N, CUYOS
ELEMENTOS SON CLASIFICADOS EN DOS CATEGORÍAS:
DEFECTUOSOS (N1) Y NO DEFECTUOSOS (N-N1).
N1

DISTRIBUCIONES DE
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
1 1
N N
( , , ) ( ) ( 0,1,..., )
N
x n x
H n N A P X x x n
N
n

  
  

  
   
 
 
 
• N Tamaño de la población
• N1 Número total de casos exitosos en la población
• x Número de éxitos que interesan (0,1,2,3,...)
• n Tamaño de la muestra
• C Símbolo de combinatoria

DISTRIBUCIONES DE
ESPERANZA MATEMATICA DE UNA
VARIABLE HIPERGEOMETRICA
µ = E(X) = n*
N1
N
VARIANZA DE UNA VARIABLE
HIPERGEOMETRICA
σ2= E[(X - µ)2]

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 6
En una línea durante un turno se ensamblaron 50 aparatos
de DVDs (N=50). Funcionaron sin problemas 40 (N1 =40) y
10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar una
muestra de 5 (n=5). Utilizando la distribución híper
geométrica ¿Cuál es la probabilidad que tres (x=3) de los
cinco operarán sin problemas?
Solución: N=50; N1 = 40;x= 3; n= 5
P(X=3) = 0.210

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 6 (continuación)
Solución:
N = 10
N1 = 7
n = 2
x = 2
P(X=2) = 0.466667

DISTRIBUCIONES DE
NÚMERO QUE FUNCIONÓ
CORRECTAMENTE
PROBABILIDAD
0 0.0666667
1 0.466667
2 0.466667

DISTRIBUCIONES DE
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
También se denomina de sucesos raros.
Se obtiene como aproximación de una distribución
binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n>30) y ‘p
pequeño’ (p<0,1).en este caso, λ =np
Queda caracterizada por un único parámetro λ (lambda),
que es a su vez su media y varianza.

DISTRIBUCIONES DE
Distribución de Probabilidad Discreta
( )
!
x
e
p X x
x



 
Propiedades de la distribución Poisson
Promedio
Varianza
Desviación Estándar
 

 

2
 


DISTRIBUCIONES DE
Propiedades de la distribución Poisson
En este tipo de experimentos los éxitos buscados se
expresan por unidad de área, tiempo, pieza, otros,:
# de defectos de una tela por m2
# de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día,
hora, minuto, etc.
# de bacterias por cm2 de cultivo
# de llamadas telefónicas a un conmutador por hora,
minuto, etc.
# de llegadas de barcos a un puerto por día, otros.

DISTRIBUCIONES DE
EJEMPLO 7
En la inspección de hojalata producida por un proceso
electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en
promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos
dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una
imperfección en 15 minutos.
Solución: a)
x = variable que nos define el número de imperfecciones en
la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
λ = 0.2 x 3 = 0.6 imperfecciones en promedio por cada 3
minutos en la hojalata

DISTRIBUCIONES DE
e-0.60.61
1!
= 0.329307
( 1)
!
x
e
p X
x



 
Solución: b)
x = variable que nos define el número de imperfecciones
en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc.
µ = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5
minutos en la hojalata.

DISTRIBUCIONES DE
Solución: c)
x = variable que nos define el número de
imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1,
2, 3, ....., etc., etc.
µ= 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada
15 minutos en la hojalata

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