Este documento describe las distribuciones de Bernoulli y binomial. La distribución de Bernoulli modela experimentos con dos resultados posibles (éxito o fracaso) con probabilidades p y q=1-p. La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante p de éxito en cada uno.

1. DISTRIBUCIÓN
BERNOULLI Y
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

2. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
La distribución de Bernoulli de parámetro p es el modelo más simple de probabilidad.
Se aplica a situaciones en las que un cierto atributo aparece con probabilidad p (éxito) y la
ausencia de este mismo atributo con probabilidad q=1-p (fracaso), como en el lanzamiento
de una moneda. Que puede dar como resultado cara o cruz.
Recíprocamente, todo experimento aleatorio que sólo admite dos resultados posibles,
(uno llamado por costumbre éxito y el otro fracaso) se llama ensayo de Bernoulli y lleva
obviamente a la distribución de Bernoulli.
Por ejemplo:
Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr.
En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden
clasificar como correcta o incorrecta.
Su formula es:

3. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en
lanzar una moneda al aire y considerar la variable aleatoria
X=(Número de caras obtenidas), en cuyo caso X=0 si q=1/2, y X=1 si
p=1/2

4. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

5. FUNCIÓN DE DENSIDAD
En un experimento de Bernoulli se denomina éxito al suceso en estudio, P, y
fracaso a su contrario, q .
A este suceso le asociamos la variable aleatoria, X, definida como el número
de éxitos al realizar el experimento. Es decir,
0
X  B(p)  
1
si P(X  0)  q  1  p
si P(X  1)  p

6. EJEMPLO DE LA UTILIZACIÓN DE LA
DISTRIBUCIÓN BERNOULLI
Experimento Lanzar un dado y que salga 5
X = # de veces que sale un 5.
Al lanzar un dado tenemos 6 posibilidades resultados el espacio muestral es de
S=(1,2,3,4,5,6)
Se considera éxito sacar un 5 entonces la probabilidad es de P=1/6
Se considera fracaso a no sacar un 5 entonces q= 1-P = 1-(1/6) = 5/6
La probabilidad de que salga un 5 viene definida en que x =1 (éxito)
P(x=1) = (1/6)1 * (5/6)1-1 = 1/6 = 0.16
Y x=0 (fracaso)
P(x=0) = (1/6)0 * (5/6)1-0 = 5/6 = 0.83

7. DISTRIBUCIÓN BINOMINAL
Cuando se dispone de una expresión matemática, es factible calcular la probabilidad
de ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado específico para la
variable aleatoria.
La distribución de probabilidad binomial es uno de los modelos matemáticos
(expresión matemática para representar una variable) que se utiliza cuando la
variable aleatoria discreta es elnúmero de éxitos en una muestra compuesta por n
observaciones.
Propiedades
-La muestra se compone de un número fijo de observaciones n
-Cada observación se clasifica en una de dos categorías, mutuamente
excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una
persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los
eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces
ocurre cara). A estas categorías se las denomina éxito y fracaso.
-La probabilidad de que una observación se clasifique como éxito, p, es constante de
una observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observación
se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones.
- La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n

8. Se define por la formula:
Cuando n es mayor.
Cuando n es menor.

9. Función de distribución:
 n  k nk
F ( x)     p  q
k 
k 0  
x
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.

10. P=0.3 Éxito
q=0.7 Fracaso
 n  k nk
F ( x)     p  q
 
k 0  k 
x

11. Esta expresión es el coeficiente binomial, "n sobre k", o el número de modos posibles de
obtener k éxitos en n observaciones. Los coeficientes binomiales forman las filas del triángulo
de Pascal y se puede calcular usando factoriales:
P( X  x ) 
n!
P k Q nk
k! (n  k )!
PQ 1
Ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?. k es el número
de aciertos. En este ejemplo k igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como
son 6 aciertos, entonces k=6), n es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10, P es la
probabilidad de éxito, es decir, que salga cara al lanzar la moneda. Por lo tanto P=0,5. Entonces,
P( X  6) 
10!
0.5 6 0.510 6  0.205
6! (10  6)!
Luego, P(x=6) = 0,205, es decir, se tiene una
probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al
lanzar 10 veces una moneda.
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos.
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.

12. Tabla de la distribución Binomial
¿Cómo utilizar la tabla de la distribución Binomial?
Supongamos que lanzamos al aire una moneda trucada. Con esta moneda la
probabilidad de obtener cara es del 25%. La probabilidad que salga cruz será, pues, del
75%. Lanzamos la moneda 3 veces de manera consecutiva. Si queremos calcular la
probabilidad de que observemos 2 caras o menos nos fijamos en la tabla:
localizamos n=3, k=2, p=0.25
Y buscamos la intersección: 0.1406