Este documento presenta la distribución binomial. Explica que se usa para situaciones con dos resultados posibles, como si un evento ocurre o no. Define las propiedades de un experimento de Bernoulli y cómo se usa la fórmula binomial para calcular probabilidades. También cubre medidas como la media, varianza y desviación estándar para la distribución binomial.

1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

2. INTRODUCCIÓN
• En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no
un evento específico. Éste puede ser de éxito o fracaso sin dar paso a un punto
medio. Por ejemplo, en la producción de un artículo, éste puede salir bueno o
malo. Casi bueno no es un resultado de interés. Para situaciones como éstas
sutiliza la distribución binomial.
• Se describe el uso de la distribución binomial para obtener la probabilidad de
ocurrencia de ese evento que representa un resultado esperado.

3. OBJETIVO GENERAL
• Esperamos que cuando termines esta presentación puedas utilizar la
distribución binomial para obtener las probabilidades de aquellas situaciones
gerenciales con dos posibles resultados.

4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Además, esperamos que puedas:
• Identificar las propiedades de una distribución binomial.
• Determinar los valores de éxitos p y fracasos q para establecer las bases para el
cómputo de las probabilidades.
• Establecer el promedio, la varianza y la desviación estándar utilizando las
variables de la distribución binomial.

5. DATO HISTÓRICO
El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del
matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705).
Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases
para el desarrollo y utilización de la distribución binomial.

6. UTILIDAD LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados.
Por ejemplo:
• Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.
• En el deporte un equipo puede ganar o perder.
• En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

7. TAMBIÉN SE UTILIZA CUANDO EL RESULTADO SE PUEDE REDUCIR A DOS
OPCIONES.
Por ejemplo:
• Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
• La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr.
• En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se
pueden clasificar como correcta o incorrecta.
Estos ejemplos los podemos considerar como “experimentos de Bernoulli”

8. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
• La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta
el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes
entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico , esto es, solo
dos resultados son posibles. Éxito y Fracaso.

9. PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE BERNOULLI:
1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o
fracasos.
2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos en pruebas anteriores.
3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no varía
de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la
representamos por q .
Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la
construcción de la distribución binomial.

10. CARACTERÍSTICAS ANALÍTICAS
Su función de probabilidad es
donde
siendo
Las combinaciones de n en x.
donde X ~ B(n, p)
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de
parámetros n y p, se escribe X ~ B(n, p).
Ejemplo
Supongamos que se lanza un dado 51 veces y queremos la probabilidad de que el
número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(51, 1/6) y la
probabilidad sería P(X=20):

11. LA FUNCIÓN 𝐹 𝑋 = 𝑥
A continuación vemos la función de probabilidad de la distribución binomial,
también denominada función de la distribución de Bernoulli:
𝐹 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
× 𝑝 𝑥 × (1 − 𝑝) 𝑛−𝑥
x- es el número de aciertos.
n- es el número de experimentos.
p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la
moneda.
1- p - también se le denomina como “q ”

12. EJEMPLO1 DE LA FUNCIÓN F(X=K)
¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda10 veces?
El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
El número de experimentos n son 10
La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó
0.50
La fórmula quedaría:
P (k = 6) = 0.205
Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es
de 20.5% .

13. GRAFICA
La distribución binomial se puede
expresar de forma gráfica, y que en
realidad consiste en un diagrama de
barras, similar a los obtenidos en la
función de probabilidad pero que van a
ir variando su forma en función de los
valores de n y de p al modificarse las
probabilidades de los distintos posibles
valores de P(X=x).

14. Se puede apreciarse como al incrementar n, se ve que las curvas
de frecuencias se aproximan a una forma en forma de campana

17. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE
DISPERSIÓN PARA LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL

18. MEDIA
𝐸 𝑋 = 𝑛 × 𝑝
EJEMPLO:
DIEZ INDIVIDUOS, CADA UNO DE ELLOS PROPENSO A LA
TUBERCULOSIS, ENTRAN EN CONTACTO CON UN PORTADOR
DE LA ENFERMEDAD. LA PROBABILIDAD DE QUE LA
ENFERMEDAD SE CONTAGIE DEL PORTADOR A UN SUJETO
CUALQUIERA ES DE 0.1. ¿CUÁNTOS SE ESPERA QUE
CONTRAIGAN LA ENFERMEDAD?

19. VARIANZA
𝜎2 = 𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝)
DESVIACIÓN TÍPICA
𝜎 = 𝑛 × 𝑝 × (1 − 𝑝)

20. EJEMPLO:
LA PROBABILIDAD DE QUE UN ARTÍCULO PRODUCIDO POR
UNA FÁBRICA SEA DEFECTUOSO ES 0.02. SE ENVIÓ UN
CARGAMENTO DE 10.000 ARTÍCULOS A UNOS ALMACENES.
HALLAR EL NUMERO ESPERADO DE ARTÍCULOS
DEFECTUOSOS, LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN TÍPICA.