Este documento trata sobre la divisibilidad en matemáticas. Explica que un número entero a es divisible por otro entero b si el cociente de la división es también un entero. Luego presenta algunas reglas básicas para determinar la divisibilidad de un número por 2, 3, 5, 7, 11 o 12 observando sus dígitos sin necesidad de realizar la división. Finalmente, incluye algunos ejemplos para ilustrar el uso de estas reglas.

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Dvisibilidad
Profesor Ronald Chén
Divisibilidad
En matemáticas, básicamente en Aritmética, se dice que un número entero b es divisible entre un
entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir, que b es
«exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división euclídea es cero.
Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b
es múltiplo de a», finalmente que b es factor de a, b submúltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por
3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que
el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.
Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten
más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores
se llaman números compuestos.
Contenido
Divisibilidad
Reglas de divisibilidad
Reglas básicas de divisibilidad
Divisibilidad
DEFINICIÓN
El número entero 𝑎 es divisible por el número entero 𝑏 ≠ 0 (o lo que es lo mismo, 𝑏 divide a 𝑎) si hay
un número, tal que 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑞.
Este hecho se denomina divisibilidad del número entero 𝑎 por el número entero 𝑏 y se denota por
𝑏|𝑎; que no es otra cosa que una afirmación entre los números enteros, que, en un contexto
concreto, puede ser cierta o no. Por ejemplo 3|12 es cierta; sin embargo, 3|17 no es cierta.
Reglas de divisibilidad (2,3,5,7,11,12,…)
Una regla de divisibilidad es una heurística para determinar si un número entero positivo puede ser
dividido uniformemente por otro (es decir, no hay ningún resto de sobra). Por ejemplo, para
determinar si un número es par es tan simple como la comprobación para ver si el último dígito es 2,

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4, 6, 8 ó 0. reglas de divisibilidad múltiples aplicadas al mismo número de esta manera puede ayudar
a determinar rápidamente su descomposición en factores primos y sin tener que adivinar sus
factores primos.
Reglas básicas de divisibilidad
Un número entero positivo N es divisible por
si el último dígito de N es 2, 4, 6, 8, o 0.
si la suma de los dígitos de N es un múltiplo de 3.
si los 2 últimos dígitos del N son un múltiplo de 4.
si el último dígito del N es 0 ó 5.
Si N es divisible a la vez por 2 y 3.
si un número N es divisible por 7 hay que restar el número sin la cifra de las unidades y el
doble de la cifra de las unidades. Si el resultado es cero o múltiplo de 7 entonces el número es
divisible por 7. Si el resultado es diferente, el número no es divisible por 7.
(Por ejemplo, 658 es divisible por 7 porque, 65 − 2 × 8 = 49, que es un múltiplo de 7.)
Si los 3 últimos dígitos del N son un múltiplo de 8.
si la suma de los dígitos de N es un múltiplo de 9.
si el último dígito del N es 0.
si la diferencia de la suma alterna de dígitos del N es un múltiplo de 11.
Si N es divisible a la vez por 3 y 4.

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Éstos son algunos ejemplos de preguntas que se pueden resolver utilizando algunas de las reglas de
divisibilidad anteriores.
Ejemplo
Sin llevar a cabo la división real, muestra que el número de abajo es un número entero.
𝟏, 𝟒𝟖𝟏, 𝟒𝟖𝟏, 𝟒𝟔𝟖
𝟏𝟐
Ejemplo
Encontrar todos los posibles valores de 𝒂 tal que el número 𝟗𝟖𝒂𝟔 es un múltiplo de 3.
Ejemplo
Sin realizar la división, explicar por qué el número 𝟗𝟖𝟕𝟔𝟓𝟒𝟑𝟐𝟏 es múltiplo de 9.
Ejemplo
Sin llevar a cabo la división, muestra que el 87456399 no es divisible por 11.
Ejemplo
¿Es 65973390 divisible por 210?
Ejemplo
¿Es 87985 divisible por 7?