El documento presenta información sobre la divisibilidad de números enteros. Explica criterios para determinar si un número es divisible por otros números enteros como 2, 3, 4, 5, etc. También incluye ejemplos y problemas de aplicación para practicar la divisibilidad.

1. APrimera Opción rivada en Ciencias
sesoría P 1 Católica - 2009
07. "Si un número entero acepta ser divisible por diversos módulos
simultáneamente, entonces será también divisible por el menor
Alumna: Milagritos Bueno Sánchez
OBJETIVOS
Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad
de: de todos los múltiplos comunes (MCM) de los módulos
considerados ".
 Reconocer las condiciones que debe de tener un número
para ser divisible por otro Aplicación 01:
 Hallar las cifras desconocidas de un numeral que es divisible Pepito, jugando con sus bolitas pudo notar que agrupando las
por cierto módulo bolitas de 7 en 7; de 8 en 8 y de 12 en 12, siempre le sobraban 3.
 Resolver problemas aplicando ecuaciones Diofánticas. ¿Cuántas bolitas tiene pepito si es la menor cantidad superior a
500?
Respuesta : . . . . . . . .
INTRODUCCIÓN
La Divisibilidad de los números es conocida desde tiempos CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
remotos. Así, los Hindúes ya conocían la divisibilidad por tres,
siete y nueve y los egipcios conocían los números pares e 01. Divisibilidad por 2 :
impares. El matemático griego Euclides demostró los teoremas
básicos de la divisibilidad de los números enteros. Ya Un número es divisible por dos cuando termina en cero o cifra
posteriormente, el matemático Francés Pascal (1623 – 1662) par.
propuso las reglas para conocer la divisibilidad de cualquier
número. 02. Divisibilidad por 3 :
DIVISIBILIDAD Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3
Es la parte de la Aritmética que se encarga de estudiar ó múltiplo de 3
las condiciones que debe reunir un número para ser divisible
entre otro. 03. Divisibilidad por 4 :
OBJETIVOS: Un número es divisible por 4 cuando las 2 últimas cifras son
ceros o forman un número múltiplo de 4. También se puede
01. Determinar el residuo de una división entera sin necesidad de determinar su divisibilidad por 4 si se multiplica la cifra de las
efectuarla decenas por 2 y la cifra de las unidades por 1; si la suma de
ambos resultados es múltiplo de 4 el número es múltiplo de 4;
02. Determinar todas las soluciones posibles de una ecuación caso contrario se determina el resto.
Diofantina lineal con dos incógnitas:
Ax + By = C 04. Divisibilidad por 5:
03.Determinar cifras desconocidas de un numeral Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en 5.
OBSERVACIONES: 05. Divisibilidad por 6:
* El cero es divisible por todo entero positivo
* Todo entero positivo es divisible por la unidad Un número es divisible por 6 cuando la suma de sus cifras es
* Todo entero positivo es divisible por si mismo múltiplo de 3 y termina en cifra par
06. Divisibilidad por 7:
PRINCIPIOS
Para averiguar si un número es divisible por 7, se procede del
01."Si un número divide a otro varios, divide también a la suma de modo siguiente:
ellos".
“Se multiplica de derecha a izquierda cada una de las cifras por
02. Si un número divide a otro, divide a todo múltiplo de este" los restos potenciales:
03. "Si un número divide a otros dos, entonces divide también a la 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, . . .
diferencia de ellos".
Si la suma de los productos parciales es 0 ; 7 o múltiplo de 7
04. "Si un número divide al todo y a una parte, divide necesariamente entonces, el número es divisible por 7 si queda residuo, a partir
a la otra parte." de este se determina el resto”
05 "Si un número divide al Dividendo y al divisor de una división 07. Divisibilidad por 8:
inexacta, divide también al residuo de dicha división"
Un número es divisible por 8 si las 3 últimas cifras son ceros o
06. "Si un número N no divide a otros dos exactamente, divide a su un múltiplo de 8. También se puede determinar su divisibilidad
diferencia siempre y cuando los residuos sean iguales. por 8 si se multiplica la cifra de las centenas por 4 ; la cifra de
las decenas por 2 y la cifra de las unidades por 1; si la suma de
ambos resultados es múltiplo de 8 el número es múltiplo de 8 ;
caso contrario se determina el resto.
Prof. Carlos Avalos Desposorio Cel. 94 8633007 Telef. 231321
E-mail: carlosavalos_77@hotmail.com

2. Primera Opción 2 Católica - 2009
08. Divisibilidad por 9 :
Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es
múltiplo de 9. Caso contrario se determina el resto
k es impar → (n ± a)k = n ± ak
09. Divisibilidad por 10 :
Un número es divisible por 10 cuando termina en cero
PRÁCTICA DE CLASE
10. Divisibilidad por 11 :
o
01. Sabiendo que: (2a )9a 39 = 7 . Hallar “a”:
Para averiguar si un número es divisible por 11, se procede de
la siguiente manera:
Se suman las cifras de orden impar y se le resta la suma de las a) 0 b) 1 c) 2
cifras de orden par; si el resultado es 0, 11 ó múltiplo de 11, d) 3 e) 4
entonces el número es divisible por 11. En caso contrario se
determina el resto. °
También se puede determinar el resto si se agrupa de derecha a 02. Sabiendo que: 4ab58a = 56 . Hallar : a + b.
izquierda las cifras de dos en dos ; si los números así formados
suman un número que es múltiplo de 11 , entonces el número a) 9 b) 8 c) 7
es múltiplo de 11. En caso contrario se determina el resto.
d) 6 e) N.A.
11. Divisibilidad por 13 :
o
03. Se conoce que: 6a 03 = 17 . Hallar “a”:
Procedimiento similar que para divisibilidad por 7, siendo los
restos potenciales ahora;
a) 2 b) 4 c) 8
1, -3, - 4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, -1, ... d) 1 e) 5
444 ..... 4
04. ¿Cuál es el resto de dividir:   entre 7 ?
 
( 200 cifras)
12. Divisibilidad por 17 :
a) 0 b) 2 c) 3
Un número es divisible por 17, si lo es la diferencia entre sus d) 4 e) 5
decenas y el quíntuple de sus unidades (Este método no
determina el resto) 05. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y
entre 7 dejan como restos 2 y 5 respectivamente?
13. Divisibilidad por 19:
a) 35 b) 30 c) 32
Un número es divisible por 19, si lo es la suma de sus decenas
con el duplo de sus unidades.(Este método no determina el
d) 31 e) N.A.
resto)
06. Hallar residuo que deja la siguiente división:
14. Divisibilidad por 2n o 5 : n
167 667 ÷ 11
Un número es divisible por 2n o 5n si las "n" últimas cifras son
divisibles por 2n o 5n .
a) 6 b) 7 c) 5
d) 3 e) 2
15. Divisibilidad por 37
07. Hallar el residuo de la siguiente división:
Un número es divisible por 37 si al agrupar las cifras del número 38 28 ÷ 7
dado de derecha a izquierda en grupos de 3 en 3 forman
números que al sumarlos son divisibles por dicho número 37. En a) 4 b) 2 c) 3
caso contrario determina el resto.
d) 1 e) 5
16. Divisibilidad por 33 ó 99
08. ¿Cuál es el residuo al dividir 68 UNI98 entre 11 ?
Un número es divisible por 33 si al agrupar de dos los números
de derecha a izquierda se obtienen números que suman 33 o un
múltiplo de 33. El mismo criterio se aplica para divisibilidad por a) 2 b) 1 c) 8
99 d) 7 e) 3
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON 09. Hallar el resto de dividir 7 421 entre 9.
a) 7 b) 8 c) 1
k es par → (n ± a)k = n + ak d) 3 e) 5
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3. Primera Opción 3 Católica - 2009
19. Entre las curiosidades del partido final entre Brasil e Italia
o
10. ¿Cuántos valores puede tomar “x”, si: 32 xx = 7 + 4 por la Copa del Mundo de Uno de los últimos mundiales se
sabe que los 40/69 del número de asistentes fueron con
prendas de vestir amarilla; 7/200 de los asistentes lloraron
a) 1 b) 2 c) 3 luego de que Baggio perdió un penal y los 4/7 de dichos
d) 4 e) N.a. asistentes se retiraron bailando zamba del estadio. Según
estos supuestos datos, ¿Cuántos fueron los asistentes?
11. Sabiendo que:
o o o a) 99800 b) 97400 c) 95200
abc = 8 cba = 5 ab = 17
d) 98000 e) 96600
Hallar el valor de: “a + b + c”
20. Cuál es el resto de dividir 12 ab75 ÷ 20 ?
a) 5 b) 9 c) 11
d) 8 e) 10 a) 12 b) 4 c) 8
d) 16 e) 10
12. ¿Cuántos números de la forma 3a 3b son múltiplos de 36?
21. Hallar el año en que nació don Andrés A. Cáceres,
sabiendo que fue presidente a los 53 años (un año que era
a) 1 b) 5 c) 4 o
d) 3 e) 2 53 +31); ocho años después volvió a ser presidente (ese
año era múltiplo de su edad más 3)
o a) 1792 b) 1808 c) 1833
13. 8i a ≠ b y 7a 5b63 = 99
d) 1821 e) NA
¿Cuántos números cumplen la igualdad?
o
a) 1 b) 2 c) 3 22. Si en el número abc = 9 , se reemplaza “b” por 2 se
d) 4 e) 5 obtiene un múltiplo de 25 y si se reemplaza “c” por 8 se
obtiene un múltiplo de 8. ¿Cuál es el valor de la cifra “a” si
14. Determine el resto de la expresión dividido entre 8. todas las cifras son significativas?
E = 4365 43 × 7937 67
a) 7 b) 6 c) 5
a) 2 b) 3 c) 4 d) 3 e) 1
d) 5 e) 6
o o 23. El número de alumnos que se encuentra en un aula es
15. Si al dividir un número 23 – 15 entre otro número 23 + 6 menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del
total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la
se obtiene como cociente a un número abc y como
especialidad de ciencias. ¿Cuál es la suma de los alumnos
residuo a 5, de la especialidad de ciencias con los alumnos que usan
anteojos?
16. Un granjero compró pavos, patos y pollos. Si cada pavo
costó 100 soles, cada pato 50 soles y cada pollo en 5 a)130 b)125 c)122
soles. Si compro en total 100 animales con 1000 soles. d)182 e)105
Cuántos pollos compró ?.
24. En un corral hay cierto número de gallinas que no pasan
a) 50 b) 10 c) 85 de 368 ni bajan de 354. Si las gallinas se acomodan en
d) 90 e) 70 grupos de 2; 3; 4 ó 5 siempre sobra 1; pero si se
acomodan en grupos de 7, sobran 4. ¿Cuántas gallinas
17. Raquel dispone de S/. 604, para adquirir artículos de hay en el corral si se añaden 6 más?
diferentes cualidades, cuyos precios por unidad son S/. 13
y S/. 17. Hallar cuántos artículos ha comprado si estos a) 361 b) 363 c) 365
tienen la misma preferencia. d) 367 e) 369
a) 40 b) 46 c) 38 25. A un congreso de informática asistieron personalidades
d) 42 e) 36 Europeas y Americanas; entre los Europeos los 2/7 son
médicos, los 5/14 son ingenieros y los 8/15 son abogados.
18. Óscar comprando artículos en el mercado ha gastado S/. 8 ¿Cuántos americanos se presentaron si en total asistieron
156. Si ha pagado S/. 217 y S/. 125 por cada uno de los 348 personalidades?
artículos diferentes que ha llevado, hallar cuántos artículos
ha comprado. a) 210 b) 140 c) 310
c) 128 d) 138
a) 27 b) 38 c) 45
d) 52 e) 64 26. Se calcula que a los programa de Medicina, Educación y
Biología de la U.N.T. este año se presentaron 35 000
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4. Primera Opción 4 Católica - 2009
postulantes; si los postulantes a Medicina se agrupan de d) 7 e) 8
120 en 120 sobran 58, si lo hacen de 165 en 165 sobren 13,
pero si lo hacen en grupos de 63 faltarían 11 para completar 34. Un comerciante puede comprar con 125,440 soles, una
un número exacto de grupos. Sabiendo que los postulantes cierta cantidad de naranjas a 30 soles cada una y
a Educación representan la décima tercera parte de los que manzanas a 50 soles cada una. Si el número de naranjas
lo hacen a medicina. ¿Cuál es el número de postulantes a debe ser menor que el de manzanas y además ambos
Biología si está comprendido entre 4000 y 5000? números no deben ser divisibles por una misma cantidad,
aparte de la unidad, determinar cuántos son los posibles
a) 4368 b) 4728 c) 4538 números de naranjas que puede comprar el comerciante?
d) 4956 e) 4828
a) 125 b) 128 c) 131
27. En un cierto momento en una fiesta a la que asistieron 630 d) 130 e) 135
o
persona, el número de hombres que bailaban era 7 y el
35. Se propone a Julio Cesar que multiplique la fecha del día
o
número de mujeres que bailaban era 5; si el de su nacimiento por 12 y el número del mes por 31. Si la
suma de estos productos es 170. Determinar la fecha de
complemento aritmético del número de personas que no
nacimiento de Julio Cesar.
bailaban tiene 2 cifras. Dar como respuesta el número de
hombres que no bailaban, si este es 4 veces el número de
a) 9/01 b) 13/11 c) 9/02
mujeres que no bailaban.
d) 14/11 e) N.a.
a) 9 b) 36 c) 35
36. Por 5 dólares se compraron 100 unidades de diferentes
d) 70 e) 56
frutas, cuyos precios son: sandias a 50 centavos cada
una, manzanas a 10 centavos cada una y ciruelas a 1
28. En una fiesta donde habían 120 personas entre damas,
centavo cada uno. Cuánta fruta de cada clase fue
caballeros y niños, el número de caballeros que no bailaban
comprada?. Dar una de ellas.
en un momento era igual a la tercera parte del número de
damas, el número de niños era igual a la quinta parte del
a) 2 b) 38 c) 39
número de damas y la cuarta parte del número de damas
d) 50 e) 58
fue con vestido blanco. ¿Cuántas damas no bailaban en
dicho momento?
37. ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 7, cumplen
que su complemento aritmético es múltiplo de 7?
a) 28 b) 32 c) 60
d) no se puede determinar e) N A
a) 10 b) 11 c) 12
d) 40 e) 41
29. Si se divide 4365 43 entre 8 , el resto es :
38. ¿Cuántos términos bastará tomar de la serie siguiente para
a) 2 b) 3 c) 5 que la suma de ellos sea múltiplo de 38?
d) 6 e) N.A 8, 16, 24, 32, ........
30. Hallar el resto de dividir 2 200 entre 7 a) 38 b) 37 c) 16
d) 15 e) 18
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 39. Si :
o
421 entre ab = 5
31. Hallar el resto de dividir 7 9.
o
ba = 9
a) 7 b) 8 c) 1 o
d) 3 e) 5 abc = 8
32. ¿Cuántos valores puede tomar “x”, si: 32 xx = 7 + 4
o Hallar: “c”
a) 8 b) 6 c) 4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 0
d) 4 e) N.a.
o
33. Un estudiante efectuó sin hacer uso de calculadora la 40. Si: babababab = 15 , donde: a < b.
siguiente operación: Hallar a + b
M = 353 3 . 472 – 593 . 475 y del resultado obtenido borró
dos cifras iguales quedando así: 20x 615x1469 . El valor de a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
x es:
a) 4 b) 5 c) 6
CAD
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5. Primera Opción 5 Católica - 2009
18/07/09
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