Este documento presenta varios ejercicios y actividades sobre geometría analítica plana. En la primera sección se piden calcular el punto medio de un segmento y dibujar triángulos isósceles y rectángulos marcando sus elementos característicos como medianas, alturas, baricentros y rectas de Euler. La segunda sección contiene ejercicios propuestos sobre hallar ecuaciones de rectas dadas sus condiciones o puntos que la definen, así como estudiar la posición relativa de rectas y calcular distancias a rectas
Este documento presenta información sobre conceptos geométricos como la homología, el teorema de Desargues y la perspectiva. Explica las propiedades de la homología, su clasificación y formas de definirla. También describe el teorema de los dos triángulos de Desargues y sus implicancias en el plano y espacio. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre geometría descriptiva, dibujo técnico y geometría.
Este documento describe la homología en geometría proyectiva. Define la homología como la relación entre dos figuras obtenidas mediante una secuencia de proyecciones y secciones de una forma original. Explica los elementos de la homología espacial y plana, incluyendo el centro de homología, los planos origen e imagen, y el eje de homología. También describe las propiedades conservadas y no conservadas por la homología.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas, incluyendo homologías, afinidades e inversiones. Explica conceptos como razón simple, razón doble y cuaterna armónica. También introduce la geometría proyectiva y cómo se conservan propiedades bajo proyecciones.
El documento describe los conceptos de pensamiento espacial y sistemas geométricos, incluyendo las gráficas de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en el plano cartesiano y cómo resolver problemas aplicando las ecuaciones de las cónicas. El estudiante aprenderá a definir estas gráficas y tomar una actitud crítica al argumentar problemas matemáticos correctamente.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones para rectas, incluyendo ecuaciones explícitas, implícitas, punto-pendiente y continuas. También define conceptos como rectas perpendiculares, paralelas e intersecantes y muestra cómo encontrar puntos de intersección entre rectas. Finalmente, concluye resumiendo los diferentes métodos para expresar ecuaciones de rectas.
Este documento describe las características básicas de las rectas en geometría. Explica que una recta es una sucesión ordenada de puntos entre dos puntos y que se define por su pendiente. También describe las ecuaciones que definen rectas paralelas, perpendiculares y que pasan por puntos específicos. Finalmente, explica las rectas notables en un triángulo como mediatrices, medianas, alturas y bisectrices.
Tema 4 transformaciones geometricas v7 1º bachqvrrafa
El documento describe diferentes conceptos y transformaciones de la geometría proyectiva y euclidiana, con el objetivo de ampliar el conocimiento de dichas geometrías. Se explican conceptos como razón simple, razón doble, cuaterna armónica y diferentes transformaciones como homología, afinidad e inversión. También se detalla cómo realizar construcciones geométricas relacionadas con estas transformaciones.
1) Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas, incluyendo transformaciones isométricas, isomórficas y anamórficas.
2) Explica transformaciones como traslaciones, giros, simetrías, homotecias e inversiones.
3) También presenta teoremas sobre cómo se transforman diferentes figuras geométricas como rectas, circunferencias y polígonos bajo estas transformaciones.
Este documento presenta información sobre conceptos geométricos como la homología, el teorema de Desargues y la perspectiva. Explica las propiedades de la homología, su clasificación y formas de definirla. También describe el teorema de los dos triángulos de Desargues y sus implicancias en el plano y espacio. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre geometría descriptiva, dibujo técnico y geometría.
Este documento describe la homología en geometría proyectiva. Define la homología como la relación entre dos figuras obtenidas mediante una secuencia de proyecciones y secciones de una forma original. Explica los elementos de la homología espacial y plana, incluyendo el centro de homología, los planos origen e imagen, y el eje de homología. También describe las propiedades conservadas y no conservadas por la homología.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas, incluyendo homologías, afinidades e inversiones. Explica conceptos como razón simple, razón doble y cuaterna armónica. También introduce la geometría proyectiva y cómo se conservan propiedades bajo proyecciones.
El documento describe los conceptos de pensamiento espacial y sistemas geométricos, incluyendo las gráficas de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola en el plano cartesiano y cómo resolver problemas aplicando las ecuaciones de las cónicas. El estudiante aprenderá a definir estas gráficas y tomar una actitud crítica al argumentar problemas matemáticos correctamente.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones para rectas, incluyendo ecuaciones explícitas, implícitas, punto-pendiente y continuas. También define conceptos como rectas perpendiculares, paralelas e intersecantes y muestra cómo encontrar puntos de intersección entre rectas. Finalmente, concluye resumiendo los diferentes métodos para expresar ecuaciones de rectas.
Este documento describe las características básicas de las rectas en geometría. Explica que una recta es una sucesión ordenada de puntos entre dos puntos y que se define por su pendiente. También describe las ecuaciones que definen rectas paralelas, perpendiculares y que pasan por puntos específicos. Finalmente, explica las rectas notables en un triángulo como mediatrices, medianas, alturas y bisectrices.
Tema 4 transformaciones geometricas v7 1º bachqvrrafa
El documento describe diferentes conceptos y transformaciones de la geometría proyectiva y euclidiana, con el objetivo de ampliar el conocimiento de dichas geometrías. Se explican conceptos como razón simple, razón doble, cuaterna armónica y diferentes transformaciones como homología, afinidad e inversión. También se detalla cómo realizar construcciones geométricas relacionadas con estas transformaciones.
1) Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas, incluyendo transformaciones isométricas, isomórficas y anamórficas.
2) Explica transformaciones como traslaciones, giros, simetrías, homotecias e inversiones.
3) También presenta teoremas sobre cómo se transforman diferentes figuras geométricas como rectas, circunferencias y polígonos bajo estas transformaciones.
(Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas)
1) El documento describe las características y métodos de construcción de las curvas cónicas, incluyendo elipse, hipérbola y parábola.
2) Explica elementos como focos, ejes, vértices y cómo definir cada curva como el lugar geométrico de puntos que cumplen ciertas propiedades.
3) Detalla métodos para trazar cada curva dado diferentes datos, como focos, ejes o un punto, usando técnicas de puntos, haces o envolventes.
Conicas, ecuaciones parametricas y coordenas polares Jossue Matos
El documento contiene información sobre curvas planas como parábolas, elipses e hipérbolas. Define una parábola como el lugar geométrico de puntos que equidistan de una recta directriz y un punto foco. Presenta fórmulas para calcular los elementos de una parábola como el vértice, foco y directriz. También define elipses e hipérbolas como secciones cónicas y presenta sus características geométricas.
Este documento describe las secciones cónicas, incluyendo la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Define sus elementos principales como foco, directriz, vértice y ejes. Explica cómo derivar las ecuaciones de cada curva y cómo cambian sus formas bajo transformaciones como traslación de ejes.
El documento describe los elementos básicos del plano cartesiano, incluyendo los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando la fórmula de Pitágoras y cómo encontrar el punto medio entre dos puntos en una o dos dimensiones. También define conceptos geométricos como la circunferencia, elipse, e hipérbola y sus ecuaciones.
El documento presenta un taller sobre parábolas dirigido a estudiantes de grado 10. Incluye definiciones de conceptos algebraicos y geométricos relacionados con parábolas como vértice, foco, directriz y eje de simetría. También presenta ejercicios para hallar la ecuación de parábolas dados diferentes elementos y situaciones problémicas relacionadas con parábolas en la ingeniería y la física.
Este documento presenta un glosario matemático destinado a apoyar la preparación de estudiantes para los exámenes de bachillerato en matemáticas. Explica conceptos y resultados relacionados con geometría, incluyendo circunferencias, polígonos, transformaciones en el plano y visualización espacial. El material se organiza por temas y contiene índices alfabéticos para facilitar la búsqueda de contenidos específicos.
Este documento describe conceptos básicos de vectores y geometría en el espacio tridimensional. Introduce vectores, sumas y diferencias de vectores, productos de números por vectores, bases y coordenadas de vectores. Luego define rectas y planos en el espacio a través de puntos y vectores directores, y presenta diferentes ecuaciones para representar rectas y planos. Finalmente incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
1ºdt tema 2 igualadad semejanza_escala_revisada_v2015qvrrafa
El documento describe cómo construir una figura directamente semejante a otra dada una razón de semejanza. Se explica que se toma un punto arbitrario O y se une a los vértices de la figura original. Luego, uno de los segmentos se divide según la razón de semejanza para encontrar el punto homólogo, y a partir de ahí trazar paralelas para construir la figura semejante. También habla de las escalas, su definición y tipos como de reducción, ampliación y tamaño natural.
Este documento presenta un libro de ejercicios de geometría analítica sobre la recta como lugar geométrico. Incluye una introducción a conceptos como el plano cartesiano, la recta, la pendiente y la ecuación de la recta. Luego presenta 9 ejercicios para practicar estos conceptos, resolviéndolos paso a paso. Finalmente, entrega conclusiones sobre los temas abordados.
El documento describe los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo la recta numérica horizontal (eje x) y vertical (eje y), así como cómo calcular la distancia entre dos puntos utilizando las coordenadas de cada punto. También explica cómo trazar líneas, círculos, parábolas, elipses e hipérbolas a partir de sus ecuaciones en el plano cartesiano.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de geometría vectorial y analítica en dos capítulos. El capítulo 1 introduce vectores geométricos en el plano, incluyendo suma, producto por escalar, descomposición y proyección de vectores. El capítulo 2 describe vectores coordenados o algebraicos en R2, con definiciones de suma, producto por escalar, magnitud, dirección y otros conceptos clave.
posición de la recta en el espacio, tipos de rectas, cómo se representa gráficamente una recta, su distancia de dos puntos a dos planos de proyección, conociendo: cota, alejamiento, apartamiento, dirección, elevación, coordenadas cartesianas.
Este documento proporciona definiciones, teoremas y propiedades de las tres secciones cónicas principales: la parábola, la elipse y la hipérbola. Define una parábola como el lugar geométrico de puntos que equidistan de un foco y una directriz. Define una elipse como el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. Define una hipérbola como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Presenta teoremas para deriv
El documento explica conceptos básicos del plano cartesiano como el origen de coordenadas, los cuadrantes, y cómo calcular las coordenadas y distancias entre puntos. También define ecuaciones para líneas, circunferencias, elipses, hipérbolas, parábolas y cónicas; y explica cómo identificar rectas paralelas y perpendiculares. Finalmente, incluye una bibliografía de fuentes sobre este tema.
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesianabrekaluga4
Este documento trata sobre la unidad 3 de geometría analítica, la cual se enfoca en la recta y su ecuación cartesiana. Los propósitos son reafirmar el conocimiento de la geometría analítica al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de problemas que involucren relaciones entre figuras rectilíneas. Se explican conceptos como la pendiente de una recta, las diferentes formas de representar la ecuación de una recta, y cómo encontrar la ecuación dada varios elementos de la rect
Este documento presenta información sobre diferentes conceptos geométricos como líneas, curvas y ecuaciones. Explica las cónicas como circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas. También describe lugares geométricos, rectas, circunferencias y sus ecuaciones. Finalmente, detalla las definiciones y propiedades de parábolas, elipses e hipérbolas.
El documento presenta una introducción a la geometría analítica. Explica que René Descartes unificó el álgebra y la geometría a través de un sistema de coordenadas, dando origen a esta rama. Define la geometría analítica y describe algunos de sus objetivos como representar figuras geométricas mediante expresiones algebraicas y analizar conceptos como la distancia entre puntos, la pendiente de un segmento y los lugares geométricos.
Este documento introduce la geometría analítica y describe algunas de sus aplicaciones principales. Explica cómo las ecuaciones algebraicas pueden representar líneas rectas, círculos, parábolas, elipses e hipérbolas. También cubre conceptos como coordenadas cartesianas, sistemas de ecuaciones y posiciones relativas entre rectas.
Este documento presenta varios problemas relacionados con la geometría analítica en el plano. Primero, se pide calcular el punto medio de varios segmentos y se deduce una fórmula general para encontrar las coordenadas del punto medio. Luego, se analizan ecuaciones de rectas y cómo obtener sus ecuaciones cartesianas a partir de las paramétricas. Finalmente, se calculan distancias entre puntos y rectas y se resuelven otros problemas afines y métricos.
This document discusses congruent figures and their corresponding parts. It defines congruent polygons as having congruent corresponding sides and angles. It provides an example of labeling congruent corresponding parts of polygons and explains the third angles theorem, which states that if two angles of one triangle are congruent to two angles of another triangle, then the third angles are also congruent. It also discusses the reflexive property of congruence.
(Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas)
1) El documento describe las características y métodos de construcción de las curvas cónicas, incluyendo elipse, hipérbola y parábola.
2) Explica elementos como focos, ejes, vértices y cómo definir cada curva como el lugar geométrico de puntos que cumplen ciertas propiedades.
3) Detalla métodos para trazar cada curva dado diferentes datos, como focos, ejes o un punto, usando técnicas de puntos, haces o envolventes.
Conicas, ecuaciones parametricas y coordenas polares Jossue Matos
El documento contiene información sobre curvas planas como parábolas, elipses e hipérbolas. Define una parábola como el lugar geométrico de puntos que equidistan de una recta directriz y un punto foco. Presenta fórmulas para calcular los elementos de una parábola como el vértice, foco y directriz. También define elipses e hipérbolas como secciones cónicas y presenta sus características geométricas.
Este documento describe las secciones cónicas, incluyendo la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Define sus elementos principales como foco, directriz, vértice y ejes. Explica cómo derivar las ecuaciones de cada curva y cómo cambian sus formas bajo transformaciones como traslación de ejes.
El documento describe los elementos básicos del plano cartesiano, incluyendo los ejes coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando la fórmula de Pitágoras y cómo encontrar el punto medio entre dos puntos en una o dos dimensiones. También define conceptos geométricos como la circunferencia, elipse, e hipérbola y sus ecuaciones.
El documento presenta un taller sobre parábolas dirigido a estudiantes de grado 10. Incluye definiciones de conceptos algebraicos y geométricos relacionados con parábolas como vértice, foco, directriz y eje de simetría. También presenta ejercicios para hallar la ecuación de parábolas dados diferentes elementos y situaciones problémicas relacionadas con parábolas en la ingeniería y la física.
Este documento presenta un glosario matemático destinado a apoyar la preparación de estudiantes para los exámenes de bachillerato en matemáticas. Explica conceptos y resultados relacionados con geometría, incluyendo circunferencias, polígonos, transformaciones en el plano y visualización espacial. El material se organiza por temas y contiene índices alfabéticos para facilitar la búsqueda de contenidos específicos.
Este documento describe conceptos básicos de vectores y geometría en el espacio tridimensional. Introduce vectores, sumas y diferencias de vectores, productos de números por vectores, bases y coordenadas de vectores. Luego define rectas y planos en el espacio a través de puntos y vectores directores, y presenta diferentes ecuaciones para representar rectas y planos. Finalmente incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
1ºdt tema 2 igualadad semejanza_escala_revisada_v2015qvrrafa
El documento describe cómo construir una figura directamente semejante a otra dada una razón de semejanza. Se explica que se toma un punto arbitrario O y se une a los vértices de la figura original. Luego, uno de los segmentos se divide según la razón de semejanza para encontrar el punto homólogo, y a partir de ahí trazar paralelas para construir la figura semejante. También habla de las escalas, su definición y tipos como de reducción, ampliación y tamaño natural.
Este documento presenta un libro de ejercicios de geometría analítica sobre la recta como lugar geométrico. Incluye una introducción a conceptos como el plano cartesiano, la recta, la pendiente y la ecuación de la recta. Luego presenta 9 ejercicios para practicar estos conceptos, resolviéndolos paso a paso. Finalmente, entrega conclusiones sobre los temas abordados.
El documento describe los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo la recta numérica horizontal (eje x) y vertical (eje y), así como cómo calcular la distancia entre dos puntos utilizando las coordenadas de cada punto. También explica cómo trazar líneas, círculos, parábolas, elipses e hipérbolas a partir de sus ecuaciones en el plano cartesiano.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de geometría vectorial y analítica en dos capítulos. El capítulo 1 introduce vectores geométricos en el plano, incluyendo suma, producto por escalar, descomposición y proyección de vectores. El capítulo 2 describe vectores coordenados o algebraicos en R2, con definiciones de suma, producto por escalar, magnitud, dirección y otros conceptos clave.
posición de la recta en el espacio, tipos de rectas, cómo se representa gráficamente una recta, su distancia de dos puntos a dos planos de proyección, conociendo: cota, alejamiento, apartamiento, dirección, elevación, coordenadas cartesianas.
Este documento proporciona definiciones, teoremas y propiedades de las tres secciones cónicas principales: la parábola, la elipse y la hipérbola. Define una parábola como el lugar geométrico de puntos que equidistan de un foco y una directriz. Define una elipse como el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. Define una hipérbola como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Presenta teoremas para deriv
El documento explica conceptos básicos del plano cartesiano como el origen de coordenadas, los cuadrantes, y cómo calcular las coordenadas y distancias entre puntos. También define ecuaciones para líneas, circunferencias, elipses, hipérbolas, parábolas y cónicas; y explica cómo identificar rectas paralelas y perpendiculares. Finalmente, incluye una bibliografía de fuentes sobre este tema.
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesianabrekaluga4
Este documento trata sobre la unidad 3 de geometría analítica, la cual se enfoca en la recta y su ecuación cartesiana. Los propósitos son reafirmar el conocimiento de la geometría analítica al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de problemas que involucren relaciones entre figuras rectilíneas. Se explican conceptos como la pendiente de una recta, las diferentes formas de representar la ecuación de una recta, y cómo encontrar la ecuación dada varios elementos de la rect
Este documento presenta información sobre diferentes conceptos geométricos como líneas, curvas y ecuaciones. Explica las cónicas como circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas. También describe lugares geométricos, rectas, circunferencias y sus ecuaciones. Finalmente, detalla las definiciones y propiedades de parábolas, elipses e hipérbolas.
El documento presenta una introducción a la geometría analítica. Explica que René Descartes unificó el álgebra y la geometría a través de un sistema de coordenadas, dando origen a esta rama. Define la geometría analítica y describe algunos de sus objetivos como representar figuras geométricas mediante expresiones algebraicas y analizar conceptos como la distancia entre puntos, la pendiente de un segmento y los lugares geométricos.
Este documento introduce la geometría analítica y describe algunas de sus aplicaciones principales. Explica cómo las ecuaciones algebraicas pueden representar líneas rectas, círculos, parábolas, elipses e hipérbolas. También cubre conceptos como coordenadas cartesianas, sistemas de ecuaciones y posiciones relativas entre rectas.
Este documento presenta varios problemas relacionados con la geometría analítica en el plano. Primero, se pide calcular el punto medio de varios segmentos y se deduce una fórmula general para encontrar las coordenadas del punto medio. Luego, se analizan ecuaciones de rectas y cómo obtener sus ecuaciones cartesianas a partir de las paramétricas. Finalmente, se calculan distancias entre puntos y rectas y se resuelven otros problemas afines y métricos.
This document discusses congruent figures and their corresponding parts. It defines congruent polygons as having congruent corresponding sides and angles. It provides an example of labeling congruent corresponding parts of polygons and explains the third angles theorem, which states that if two angles of one triangle are congruent to two angles of another triangle, then the third angles are also congruent. It also discusses the reflexive property of congruence.
This document provides math tutorial questions and solutions related to classifying and measuring angles of triangles for the week of March 2-6. It includes questions about finding the number of equilateral and isosceles triangles that can be made from given lengths of steel beams and wire. It also includes questions about finding missing angle measures in triangles using properties such as the triangle sum theorem and exterior angle theorem.
Este documento trata sobre la derivación implícita y las rectas tangentes y normales. Explica las estrategias para derivar ambos lados de una ecuación implícita y despejar dy/dx. También cubre cómo calcular la pendiente de una gráfica y determinar la recta tangente. Finalmente, describe cómo hallar los ángulos de intersección entre dos curvas resolviendo sus ecuaciones simultáneamente y encontrando las pendientes de las rectas tangentes en los puntos de intersección.
Similar figures have the same shape but not size, with the same ratio of corresponding side lengths. Congruent figures have the same shape and size. The Greek symbol Δ means figures are similar, while the symbol ≅ means figures are congruent. Similar triangles have a ratio of 3:4:5, and in congruent figures corresponding parts are equal, so EF must be 8 and BC must be 12.
Matemáticas geometría analítica plana vectoresjogafe
Este documento describe los conceptos básicos de los vectores en el plano, incluyendo: pares ordenados de números reales que representan las coordenadas de un vector; igualdad y operaciones entre vectores como suma y producto por escalares; y que los vectores en el plano forman un espacio vectorial. También explica las nociones de módulo, dirección y sentido de un vector, así como la noción de dependencia e independencia lineal entre vectores.
El documento explica conceptos básicos sobre el plano cartesiano, incluyendo sus cuadrantes, ejes y coordenadas. También define vectores como segmentos orientados con módulo, dirección y sentido, y describe cómo calcular el módulo de un vector a partir de sus componentes cartesianas.
Este documento describe los conceptos básicos de los vectores, incluyendo sus elementos (dirección, sentido y módulo), adición y sustracción, producto escalar, y producto de un escalar por un vector. Explica cómo calcular el módulo de un vector usando el teorema de Pitágoras, y cómo expresar un vector en términos de los versores i y j. También define el producto escalar de dos vectores.
Este documento contiene 15 preguntas de geometría analítica sobre vectores, rectas y puntos. Algunas preguntas tienen que ver con la equivalencia y ortogonalidad de vectores, ecuaciones de rectas, puntos medios, ángulos entre rectas, pendientes, y distancias entre puntos y rectas. El documento proporciona varias opciones de respuesta para cada pregunta y pide marcar la respuesta correcta.
Este documento resume conceptos básicos sobre vectores, incluyendo: el módulo y argumento de un vector; vectores en forma polar; el efecto de multiplicar un vector por un escalar en su módulo y argumento; y la desigualdad triangular para la suma de vectores, donde el módulo de la suma es siempre menor o igual a la suma de los módulos. Se proporcionan ejemplos interactivos para ilustrar cada concepto.
El documento trata sobre los diferentes tipos de movimientos en el plano, incluyendo traslaciones, simetrías, y giros. Explica conceptos como vectores, suma de vectores, traslaciones sucesivas, simetría axial, simetría respecto a ejes de coordenadas, simetría central, y cómo los giros transforman puntos, segmentos, triángulos y conservan ángulos al girar figuras sobre un centro fijo u otro punto.
1) The document discusses geometry concepts related to angles of triangles including the triangle angle sum theorem, exterior angle theorem, and finding measures of unknown angles using known information.
2) Key details include that the sum of the interior angles of any triangle is 180 degrees, and the measure of an exterior angle is equal to the sum of the remote interior angles.
3) Examples are provided to demonstrate using these theorems to find the measures of missing angles in different triangle scenarios.
Problemas resueltos de geometria analitica planaCarlos Chaparro
Este documento presenta varios problemas de geometría analítica plana. El primer problema demuestra que cuatro puntos dados forman los vértices de un cuadrado. El segundo problema halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo equilátero. El tercer problema encuentra el punto en una recta que dista el doble de uno de los puntos dados que del otro.
Este documento presenta fórmulas y conceptos básicos de geometría analítica y ecuaciones de conicas. Incluye 16 fórmulas para calcular distancias, áreas, pendientes y más. También explica las formas estándar para representar ecuaciones de rectas y cónicas, como circunferencias, parábolas e hipérbolas. Finalmente, proporciona detalles sobre cómo obtener las ecuaciones de circunferencias y parábolas en función de sus elementos característicos como centro, radio, vértice
Formulas geral para geometria analiticaElieser Júnio
(1) O documento resume fórmulas fundamentais de geometria analítica para operações com vetores e equações de retas em 3 dimensões, incluindo soma, multiplicação por escalar, produto interno, norma, produto vetorial e produto misto; (2) Também apresenta fórmulas para cálculo de ângulos entre vetores e retas, posições relativas de retas e mudanças de sistemas de coordenadas; (3) As fórmulas são expressas algebraicamente em notação vetorial e matricial.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con la suma de vectores utilizando el método geométrico y analítico. En el primer problema, se resuelve geométricamente la suma de cinco vectores que forman un cuadrado, obteniendo una resultante de 20 unidades. En el segundo problema, se aplica la ley del coseno para calcular el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su suma. En el tercer problema, también usando la ley del coseno, se calcula el ángulo entre dos vectores definidos por sus
Este documento presenta información sobre cónicas geométricas como parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejercicios para hallar las ecuaciones de lugares geométricos como circunferencias, elipses y hipérbolas dados sus elementos característicos como focos, centros y constantes. También contiene ejercicios para comprobar propiedades como tangencia y posición relativa de estas curvas con respecto a rectas dadas.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con la suma de vectores utilizando el método analítico. En el primer problema se aplica la ley del seno para encontrar el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su resultado. En el segundo problema también se usa la ley del coseno. El tercer problema involucra descomponer vectores en componentes rectangulares y realizar operaciones. Los últimos tres problemas usan descomposición vectorial para encontrar magnitudes y ángulos desconocidos.
Este documento contiene una serie de ejercicios sobre ángulos en geometría para 6o primaria. Los ejercicios cubren temas como tipos de ángulos, medición de ángulos en grados, minutos y segundos, comparación y clasificación de ángulos, y suma de ángulos. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio y en algunos casos incluye espacios en blanco para que el estudiante complete.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica vectorial. Define vectores y sus características como módulo, dirección y sentido. Explica cómo expresar un vector dado sus puntos extremos, la igualdad y suma de vectores, el módulo y distancia entre puntos. También cubre el producto de un vector por un número y producto escalar.
Este documento presenta una guía sobre geometría analítica en el plano cartesiano. Explica cómo determinar la ecuación de una recta dados un punto y su pendiente, o dados dos puntos. También cubre cómo interpretar parámetros de ecuaciones de rectas, calcular distancias entre puntos, y determinar si rectas son paralelas o perpendiculares. Finalmente, propone desafíos prácticos para aplicar estos conceptos.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El objetivo es practicar conceptos básicos de geometría analítica a través de ejercicios concretos.
Este documento presenta 17 problemas de geometría analítica relacionados con conceptos como ecuaciones de rectas, puntos colineales, triángulos y polígonos. Los problemas abarcan temas como determinar ecuaciones de rectas a partir de puntos, calcular áreas de figuras geométricas dadas sus coordenadas de vértices, y analizar propiedades como paralelismo y perpendicularidad entre rectas. El documento provee una guía de problemas resueltos para practicar y reforzar conceptos básicos de geometría analítica.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El objetivo es practicar conceptos básicos de geometría analítica a través de ejercicios concretos.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El documento proporciona una guía práctica para resolver diferentes tipos de problemas geométricos usando coordenadas cartesianas.
Este documento presenta 17 problemas de geometría analítica relacionados con conceptos como ecuaciones de rectas, puntos medios, baricentros, áreas de triángulos y polígonos, entre otros. Los problemas deben ser resueltos usando las herramientas de la geometría analítica como sistema de coordenadas cartesianas, distancias, puntos medios, ecuaciones de rectas, entre otras.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El documento proporciona una guía práctica para resolver diferentes tipos de problemas geométricos usando coordenadas cartesianas.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El documento proporciona una guía práctica para resolver diferentes tipos de problemas geométricos usando coordenadas cartesianas.
Este documento presenta 17 problemas de geometría analítica relacionados con conceptos como ecuaciones de rectas, puntos en el plano cartesiano, triángulos y sus elementos. Los problemas van desde hallar coordenadas de puntos y ecuaciones de rectas hasta calcular áreas de figuras geométricas dadas sus coordenadas. El documento provee una guía práctica para aplicar los conceptos de geometría analítica en la resolución de diferentes tipos de ejercicios.
Este documento presenta 17 problemas de geometría analítica relacionados con conceptos como ecuaciones de rectas, puntos en el plano cartesiano, triángulos y sus elementos. Los problemas van desde hallar ecuaciones de rectas dadas diferentes condiciones, hasta calcular áreas de triángulos y polígonos dados los vértices. El documento provee una guía práctica de diferentes temas básicos de geometría analítica para resolver de manera algebraica.
Este documento presenta 17 problemas de geometría analítica relacionados con conceptos como ecuaciones de rectas, puntos medios, baricentros, áreas de triángulos y polígonos, entre otros. Los problemas deben ser resueltos usando las herramientas de la geometría analítica como sistema de coordenadas cartesianas, distancias, puntos medios, ecuaciones de rectas, entre otras.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El documento proporciona una guía práctica para resolver diferentes tipos de problemas geométricos usando coordenadas cartesianas.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios y baricentros, ecuaciones de rectas, áreas de figuras y más. El documento proporciona una guía práctica para resolver diferentes tipos de problemas geométricos usando coordenadas cartesianas.
Este documento presenta 17 problemas de geometría analítica relacionados con conceptos como ecuaciones de rectas, puntos medios, baricentros, áreas de triángulos y polígonos, entre otros. Los problemas deben ser resueltos usando las herramientas de la geometría analítica como sistema de coordenadas cartesianas, distancias, puntos medios, ecuaciones de rectas, entre otras.
El documento presenta 16 problemas de geometría analítica relacionados con puntos, segmentos, triángulos y polígonos en un plano cartesiano. Los problemas incluyen calcular distancias entre puntos, coordenadas de puntos medios, áreas de figuras geométricas dadas las coordenadas de sus vértices y ecuaciones de rectas.
Este documento presenta una guía semestral de matemáticas III con preguntas sobre geometría analítica, línea recta, circunferencia y parábola. El estudiante debe completar la guía resolviendo ejercicios y problemas relacionados con estas temáticas.
Este documento presenta 24 ejercicios de geometría analítica para ser resueltos. Los ejercicios involucran conceptos como ecuaciones de rectas, puntos, ángulos entre rectas, paralelas, perpendiculares, bisectrices, vértices de figuras geométricas como triángulos y paralelogramos. Se pide realizar los cálculos y gráficas correspondientes siguiendo pasos ordenados y utilizando herramientas como papel cuadriculado, regla y lápices de colores.
1. El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra sobre vectores, rectas y puntos en el plano. Incluye cálculos de coordenadas de vectores, puntos medios, ecuaciones de rectas, puntos de intersección, alineación de puntos y cálculos relacionados con triángulos.
2. Los ejercicios requieren aplicar conceptos como vectores, coordenadas de puntos, ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales.
3. El documento proporciona las soluciones detall
Este documento presenta 10 problemas de geometría métrica para practicar. Los problemas incluyen calcular distancias, ángulos, lados de figuras geométricas como triángulos, hexágonos y cuadriláteros. También incluye encontrar ecuaciones de rectas, puntos medios y bisectrices.
Este documento presenta 28 ejercicios de geometría que abarcan temas como representación de funciones trigonométricas, resolución de triángulos, ecuaciones trigonométricas, vectores, rectas y distintas figuras geométricas como rombos, trapecios y circunferencias. Los ejercicios van desde cálculos y demostraciones simples hasta problemas más complejos que requieren varios pasos para resolver.
El uso de las TIC en la vida cotidiana.pptxjgvanessa23
En esta presentación, he compartido información sobre las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) y su aplicación en diversos ámbitos de la vida cotidiana, como el hogar, la educación y el trabajo.
He explicado qué son las TIC, las diferentes categorías y sus respectivos ejemplos, así como los beneficios y aplicaciones en cada uno de estos ámbitos.
Espero que esta información sea útil para quienes la lean y les ayude a comprender mejor las TIC y su impacto en nuestra vida cotidiana.
Todo sobre la tarjeta de video (Bienvenidos a mi blog personal)AbrahamCastillo42
Power point, diseñado por estudiantes de ciclo 1 arquitectura de plataformas, esta con la finalidad de dar a conocer el componente hardware llamado tarjeta de video..
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para programadores y desarrolladores de inteligencia artificial y machine learning, como se automatiza una cadena de valor o cadena de valor gracias a la teoría por Manuel Diaz @manuelmakemoney
1. Solucionario
5 Geometría analítica plana
ACTIVIDADES INICIALES
5.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A( 2, 5) y B(8, 11).
El punto medio es M(3, 8).
5.II. Dibuja un triángulo isósceles y traza las medianas, alturas y mediatrices del mismo.
Localiza el baricentro, ortocentro y circuncentro del triángulo. ¿Con qué recta coincide
la recta de Euler en este caso?
G
G es el baricentro, T es el circuncentro y H es el ortocentro. La recta de Euler en este T
caso coincide con la mediana, la altura y la mediatriz del lado desigual que, por tanto, son
H
la misma recta.
5.III. Dibuja un triángulo rectángulo y traza las medianas, alturas y mediatrices del mismo.
Localiza la recta de Euler de este triángulo.
G
La recta de Euler en este caso coincide con la mediana sobre la hipotenusa.
T
H
5.IV.Dibuja el triángulo de vértices A(4, 3), B( 3, 3) y C(0, 3).
Y
a) Calcula las coordenadas del baricentro. B A
G T H
b) Dibuja sus medianas y el baricentro.
c) Dibuja sus alturas y el ortocentro. r
1
d) Dibuja sus mediatrices y el circuncentro.
e) Dibuja la recta de Euler. O 1 X
a) G(13, 1) Altura
Mediana
Mediatriz
C
EJERCICIOS PROPUESTOS
5.1*. Comprueba si los puntos A( 2, 3), B(2, 3) y C( 2, 5) pertenecen o no a la recta que pasa por P( 2, 6) y
tiene como vector director v (0, 3). Calcula dos puntos más de esta recta.
x 2
Las ecuaciones paramétricas de la recta son: r
y 6 3
En este caso se trata de la recta vertical x 2. Cualquier punto cuya abscisa sea 2 pertenece a la recta, pues
siempre existe un valor real de tal que y 6 3
2 2 2 2 2 2
A( 2, 3): ⇒A r B(2, 3): ⇒B r C( 2, 5): 1 ⇒C r
3 6 3 ⇒ 1 3 6 3 5 6 3 ⇒
3
Cualquier punto de coordenadas ( 2, y) pertenece a la recta, por ejemplo ( 2, 6) y ( 2, 0).
5.2. Considera la recta que pasa por el punto M(5, 2) y lleva la dirección del vector v ( 2, 2).
a) Calcula su ecuación vectorial.
b) Halla sus ecuaciones paramétricas.
a) La ecuación vectorial es: (x, y) ( 5, 2) ( 2, 2) para cualquier número real
5 2
b) Las ecuaciones paramétricas son: r
2 2
2. 5.3. En cada caso, calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos:
a) A(2, 5) y B(1, 3) b) A(3, 3) y B( 3, 3) c) A(1, 4) y B(1, 3) d) A( 2, 4) y B(3, 2)
a) El vector director es AB ( 1, 2) y la recta pasa por A(2, 5).
x 2 y 5
Por tanto: ⇒ 2x 4 y 5 ⇒ AB 2x y 1 0
1 2
b) El vector director es AB ( 6, 0) y la recta pasa por A(3, 3).
x 3 6
Por tanto: ⇒ AB y 3
y 3 0
c) El vector director es AB (0, 7) y la recta pasa por A(1, 4).
x 1 0
Por tanto: ⇒ AB x 1
y 4 7
d) El vector director es AB (5, 2) y la recta pasa por A( 2, 4).
x 2 y 4
Por tanto: ⇒ 2x 4 5y 20 ⇒ AB 2x 5y 16 0
5 2
5.4. Calcula las ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices: A(2, 3), B( 1, 0) y C(0, 3).
Las medianas son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
En primer lugar se calculan los puntos medios de los lados:
1 3 1 3
Lado AB: M , ; lado BC: P , ; lado CA: N(1 0)
2 2 2 2
1 9
La mediana correspondiente al lado AB pasa por C y M, y su vector director es: CM , || u (1, 9).
2 2
x y 3
Luego la ecuación de la recta es ⇒ 9x y 3 ⇒ CM 9x y 3 0.
1 9
5 9
La mediana correspondiente al lado BC pasa por A y P, y su vector director es: AP || (5, 9).
2 2
2 xy 3
Luego la ecuación de la recta es ⇒ 9x 18 5y 15 ⇒ AP 9x 5y 3 0.
5 9
La mediana correspondiente al lado CA pasa por B y N, y su vector director es: NB (2, 0).
Luego la ecuación de la recta es BN y 0.
5.5. Calcula las ecuaciones de las rectas paralelas a los ejes que pasan por el punto A( 3, 5).
La recta paralela al eje OX que pasa por A es y 5, y la recta paralela al eje OY que pasa por A es x 3.
1
5.6. Halla un vector director y otro normal de la recta que pasa por el punto A 2, —— y por el origen de coordenadas.
3
1
Vector director: OA 2, || u ( 6, 1)
3
Vector normal: (1, 6)
5.7. Una recta tiene como vector normal n (2, 3) y pasa por el punto A( 1, 2).
Escribe su ecuación normal, su ecuación normal canónica y su ecuación general.
Ecuación general:
La ecuación general es de la forma 2x 3y k 0. Como la recta pasa por A, ha de ser 2 6 k 0⇒k 8.
Por tanto, la ecuación general de la recta es: 2x 3y 8 0.
Ecuación normal:
Si X(x, y) es un punto de la recta, se verifica que AX n 0 ⇒ (x 1, y 2) (2, 3) 0 ⇒ 2(x 1) 3(y 2) 0
Ecuación normal canónica:
2 3 8
|n | 22 ( 3)2 13 ⇒ x y 0
13 13 13
5.8. Indica un vector director y otro normal de la recta de ecuación 3x 2y 4 0.
Un vector normal es n ( 3, 2). Un vector director es u (2, 3).
3. Solucionario
5.9. Escribe las ecuaciones general, normal y normal canónica de la recta que pasa por A(3, 3) y B( 1, 2).
El vector director es AB ( 4, 5). El vector normal es: (5, 4). Por tanto:
La ecuación normal es: 5 (x 3) 4 (y 3) 0
La ecuación general es: 5x 15 4y 12 0 ⇒ 5x 4y 3 0
5 4 3 5 4 3
La ecuación normal canónica es: x y 0⇒ x y 0.
52 42 52 42 52 42 41 41 41
5.10. Halla la ecuación de la recta perpendicular al segmento de extremos A(0, 2) y B(1, 4) y que pasa por el
punto C(3, 0).
AB (1, 6) es un vector normal a la recta. Por tanto, la ecuación de la recta es de la forma x 6y k 0.
Como pasa por el punto C, ha de ser 3 k 0⇒k 3. Por tanto, la ecuación pedida es x 6y 3 0.
1
5.11. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A( 2, 4) y tiene de pendiente m ——.
2
1 1
La ecuación de la recta es de la forma y x n. Como pasa por A, ha de ser 4 ( 2) n⇒n 5.
2 2
1
Por tanto, la ecuación pedida es y x 5, o bien en su forma general: x 2y 10 0.
2
5.12. Calcula la pendiente y la ordenada en el origen de la recta que pasa por los puntos A( 1, 5) y B(2, 2).
Sea y mx n la ecuación explícita de la recta. Los puntos dados han de verificar la ecuación, por lo que se
tiene el siguiente sistema: 7
m
5 m n E2 E→ 7 3m ⇒ 3 7 8
⇒ La pendiente es m
1
, y la ordenada en el origen, n .
2 2m n 14 8 3 3
n 2
3 3
5.13. Estudia la posición relativa de las rectas:
a) 2x 5y 5 0 y 3x 5y 5 0 b) 3x 5y 5 0 y 9x 15y 5 0
2 5 3x 5y 5 0
a) ⇒ son rectas secantes. Se cortan en: ⇒ 10y 10 0⇒y 1, x 0 ⇒ P(0 1).
3 5 3x 5y 5 0
3 5 5
b) ⇒ son rectas paralelas.
9 15 5
5.14*.Calcula la ecuación de la recta paralela a la recta r: 2x y 1 0 y que pasa por el punto de intersección
de las rectas s: x y 5 0 y t: x y 1 0.
x y 5 0
Se calcula el punto de intersección de s y t: ⇒ 2x 6 0 ⇒ x 3 ⇒ y 2 ⇒ P( 3, 2)
x y 1 0
Todas las paralelas a r son de la forma 2x y k 0. Como tiene que pasar por ( 3, 2), se tiene:
6 2 k 0 ⇒ k 4
La ecuación de la recta buscada es 2x y 4 0
5.15. Comprueba si los siguientes triángulos son equiláteros, isósceles o escalenos:
1 1 3 1 1 3
a) A( 2, 1), B(0, 3) y C(3, 7) b) A ——, —— , B ——, —— y C 1, ——
2 2 2 2 2
a) Se trata de un triángulo escaleno. En efecto:
AB 22 22 8 u, CB 32 42 25 5 u, AC 52 62 25 36 25 36 61 u
b) Se trata de un triángulo equilátero. En efecto:
2 2 2 2
3 1 1 1 3 1 1 3 1 3
AB 1 0 1 u, CB 1 1 u,
2 2 2 2 2 2 2 4 4
2 2
1 1 3 1 1 3
AC 1 1 u
2 2 2 4 4
4. 5.16. a) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( 2, 3) y B(2, 2).
b) Halla la distancia del punto C(10, 0) a la recta que pasa por A y B.
c) ¿Cuál es la posición relativa de A, B y C?
a) La recta tiene como vector director AB (4, 1), y pasa por A( 2, 3). Por tanto, su ecuación es:
x 2 y 3
AB ⇒ x 2 4y 12 ⇒ x 4y 10 0
4 1
| 10 4 0 10 | 0
b) La distancia es d(C, AB) 0, lo que significa que C pertenece a la recta AB.
12 42 17
c) A, B y C están alineados.
5.17. Calcula el ángulo que forman las rectas:
a) r: 3x 4y 0 y s: 2x 2y 3 0 b) r: y x 5 y s: y 2x 2
a) Los vectores normales son n 1 (3, 4) y n 2 (2, 2). Luego:
| n1 n2 | |6 8| 2 1
p)
cos (r, s 0,141 ⇒ 81 52
| n1 | | n2 | 9 16 4 4 5 8 50
b) Las pendientes son m1 1 y m2 2.
m1 m2 1 2 1
Luego tg ⇒ 18 26
1 m1m2 1 2 3
5.18. Calcula los ángulos del triángulo de vértices A(4, 0), B( 1, 6) y C( 6, 0), e indica qué tipo de triángulo es
en función de sus ángulos.
Los vectores directores de los lados son: AB ( 5, 6), AC ( 10, 0), BC ( 5, 6). A partir de estos
calculamos los ángulos utilizando la expresión del ángulo entre dos vectores:
50 0
cos A cos AB , AC 0,640 ⇒ A 50 12
25 36 100 0
25 36
cos B cos BA , BC 0,180 ⇒ B 79 36
25 36 25 36
50 0
cos C cos CA , CB 0,640 ⇒ C 50 12
10 25 36
Se trata de un triángulo acutángulo e isósceles.
5.19. Calcula el simétrico de P( 2, 3) respecto del punto M(1, 4).
Sea P (a, b) el punto buscado. M es el punto medio del segmento PP . Por tanto:
P P 2 a 3 b
M ⇒ 1 ⇒ a 4 4 ⇒ b 11 ⇒ P (4, 11)
2 2 2
5.20. Calcula el simétrico de P(5, 1) respecto de la recta r: x y 3 0.
En primer lugar se calcula la recta perpendicular a r que pasa por P. Dicha recta tiene como vector director el
vector normal de r, n (1, 1), luego:
x 5 y 1
s ⇒ x 5 y 1 ⇒ s x y 4 0
1 1
El punto de intersección de ambas rectas es:
x y 3 0 1 7 1 7
⇒ 2x 1 0 ⇒ x , y ⇒ M ,
x y 4 0 2 2 2 2
Sea P (a, b) el punto buscado. M es el punto medio del segmento PP . Por tanto:
5 a 1 1 b 7
⇒ a 4 ⇒ b 8 ⇒ P ( 4, 8)
2 2 2 2
5. Solucionario
5.21. Calcula la recta simétrica del eje de ordenadas respecto de y x 1.
Primero calculamos el punto Q de intersección de ambas rectas ya que es el único invariante por la simetría:
r y x 1
y x 1
Q r OY ⇒ Q(0, 1)
x 0
Para calcular la recta simétrica indicada basta con determinar el simétrico P de otro punto cualquiera, P, del eje
de ordenadas, ya que la recta buscada será de determinada por los puntos Q y P .
El punto P(0, 3) pertenece al eje Y. El vector director de r es (1, 1), luego el de la recta perpendicular es (1, 1).
La recta perpendicular a r por el punto P es y x 3, que corta a r en M(1, 2). Para hallar el punto P ,
simétrico de P respecto de r, se utiliza que M es el punto medio del segmento PP , con lo que debe ser P (2, 1).
Por lo tanto, la recta simétrica del eje Y respecto de r es la que pasa por Q y P , cuya ecuación es y 1.
5.22. Halla el extremo B del segmento AB siendo A(2, 1), y la mediatriz del segmento es r: x 2y 9 0.
Sea B(a, b). Como la mediatriz es perpendicular al segmento: AB (a 2, b 1) k(1, 2)
2 (2 k) 1 (1 2k)
El punto medio de AB pertenece a r, por lo que 2 9 0 ⇒ k 2
2 2
Por tanto, el extremo es B(4, 5).
5.23. Dadas las rectas r: x 3y 4 0 y s: x y 0, calcula sus bisectrices y comprueba que:
a) Se cortan en el punto de intersección de r y s. b) Son perpendiculares.
En primer lugar se calculan las ecuaciones de las bisectrices. Sea X(x, y) un punto genérico de la bisectriz.
Se tiene que:
x 3y 4 x y
⇒ b1 5 1x 5 3y 4 0
x 3y 4 x y 10 2
d(X, r) d(X, s) ⇒ ⇒
1 9 1 1 x 3y 4 x y
⇒ b2 5 1x 5 3y 4 0
10 2
x 3y 4 0
a) El punto de corte de las rectas es ⇒ 4y 4 0 ⇒ y 1, x 1 ⇒ P ( 1, 1)
x y 0
P verifica la ecuación de cada una de las bisectrices, luego es su punto de corte:
5 1 ( 1) 5 3 1 4 5 1 5 3 4 4 4 0
5 1 ( 1) 5 3 1 4 5 1 5 3 4 4 4 0
b) Los vectores perpendiculares a b1, n 1 5 1, 5 3 , y a b2, n 2 5 1, 5 3 , cumplen
n1 n3 5 5 9 0 ⇒ son perpendiculares y, por tanto, también lo son las dos bisectrices.
5.24. Dado el triángulo de vértices A(5, 1), B(3, 7) y C( 2, 3):
a) Calcula el circuncentro y el radio de la circunferencia circunscrita.
b) Calcula el incentro y el radio de la circunferencia inscrita.
a) El circuncentro, T(a, b), equidista de los tres vértices. Se tiene:
(5 a)2 (1 b)2 ( 2 a)2 (3 b)2 (5 a)2 (1 b)2 ( 2 a)2 (3 b)2
⇒
(5 a)2
(1 b) 2
(3 2
a) (7 b) 2 (5 a)2 (1 b)2 (3 a)2 (7 b)2
71
a
38
14a 4b 13 142
⇒ ⇒ E2 3E1 ⇒ 38a 71 ⇒ 32 ⇒
4a 12b 32 32 4a 19 125
b
12 12 38
71 125
⇒ El circuncentro es T , .
38 38
2
71 2 125 21 730
El radio de la circunferencia circunscrita es R d(T, A) 5 1 3,88 u.
38 38 38
6. p p
p
b) Para calcular el incentro hallamos las bisectrices de los ángulos A y B a partir de las igualdades d (P, AB) d
(P, AC) y d (P, AB) d(P, BC), siendo P (x, y) un punto genérico de las bisectrices buscadas.
Recta AB 3x y 16 0 Recta BC 4x 5y 23 0 Recta AC 2x 7y 17 0
Bisectriz interior al triángulo por el vértice A: 3 53 2 10 x 53 7 10 y 17 10 16 53
Bisectriz interior al triángulo por el vértice B: 3 41 4 10 x 41 5 10 y 16 41 23 10
Al resolver el sistema formado por las dos ecuaciones se obtiene el incentro I (2,06; 3,82)
El radio de la circunferencia inscrita se puede calcular como la distancia del incentro a cualquiera de las tres
rectas que incluyen a los lados, por ejemplo: R d (I, AB) 1,9.
EJERCICIOS
Ecuaciones de la recta
5.25. Para cada una de las siguientes rectas, indica si los puntos P( 2, 1) y Q(3, 1) pertenecen o no a ellas y
calcula un punto más de cada una:
x 2
a) r1 (x, y) (7, 2) (4, 1) b) r2 c) r3 2x 5y 1
y 1 2
a) Sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en la ecuación, se tiene:
9
4 9 ⇒
( 2, 1) (7, 2) (4, 1) ⇒ ( 9, 3) (4, 1) ⇒ 4
⇒ P r1
3 ⇒ 3
4 4 ⇒ 1
(3, 1) (7, 2) (4, 1) ⇒ ( 4, 1) (4, 1) ⇒ ⇒ Q r1
1 ⇒ 1
Para calcular un punto más, basta dar valor a . Por ejemplo, si 0, se obtiene el punto (7, 2).
b) Sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en las ecuaciones, se tiene:
2 2 ⇒ 0 3 2 ⇒ 5
⇒ P r2 ⇒ Q r2
1 1 2 ⇒ 0 1 1 2 ⇒ 1
Para calcular un punto más, basta dar valor a . Por ejemplo, si 0, se obtiene el punto ( 2, 1).
c) Sustituyendo las coordenadas de ambos puntos en la ecuación, se tiene:
2 ( 2) 5 1 4 5 1 ⇒ P r3 2 3 5 ( 1) 6 5 1 ⇒ Q r3
1
Un punto más de la recta es, por ejemplo, , 0 .
2
5.26. Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:
a) La recta que pasa por el punto P( 3, 1) y lleva la dirección del vector u ( 1, 2).
b) La recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(1, 4).
c) La recta que tiene como uno de sus vectores de dirección el u ( 3, 3) y corta a la parte positiva del
eje de abscisas en un punto que dista 3 unidades del origen de coordenadas.
d) La recta que tiene como vector director el u (2, 5) y corta a la parte negativa del eje de abscisas
en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.
e) La recta que tiene por dirección la del vector u (3, 7) y corta al eje de ordenadas en un punto que
dista 2 unidades negativas del origen de coordenadas.
x 3
a) Ecuación vectorial: r (x, y) ( 3, 1) ( 1, 2). Ecuaciones paramétricas: r
y 1 2
b) Vector de dirección: AB ( 1, 7)
Ecuación vectorial: r (x, y) (2, 3) ( 1, 7). Ecuaciones paramétricas: r x 2
y 3 7
c) Ecuación vectorial: r (x, y) (3, 0) ( 3, 3). Ecuaciones paramétricas: r x 3 3
y 3
x 2 2
d) Ecuación vectorial: r (x, y) ( 2, 0) (2, 5). Ecuaciones paramétricas: r
y 5
x 3
e) Ecuación vectorial: r (x y) (0 2) (3 7). Ecuaciones paramétricas: r
y 2 7
7. Solucionario
5.27. Calcula la ecuación continua y la ecuación general de cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por el punto A ( 3, 4) y tiene la dirección del vector u (1, 2).
b) Pasa por los puntos P (2, 5) y Q (5, 1).
c) Pasa por el origen de coordenadas y por el punto B ( 3, 4).
d) Pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extremos M (1, 3) y N (5, 2).
x 3 y 4
a) Ecuación continua: Ecuación general: 2x 6 y 4 ⇒ 2x y 10 0
1 2
x 2 y 5
b) Ecuación continua: Ecuación general: 6x 12 3y 15 ⇒ 2x y 9 0
5 2 1 5
x y
c) Ecuación continua: Ecuación general: 4x 3y 0
3 4
x y 1
d) Ecuación continua: Ecuación general: x 3y ⇒ x 6y 0
3 1 2
2
5.28. Calcula un vector de dirección y otro normal a cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por los puntos A (2, 5) y B ( 5, 1).
b) Pasa por O (0, 0) y por el punto medio del segmento AB con A (2, 6) y B ( 2, 4).
c) Mediatriz del segmento de extremos P (3, 5) y Q (5, 2).
a) Vector de dirección: AB ( 5 2, 1 5) ( 7, 4); vector normal: (4, 7)
2 2 6 4
b) El punto medio es M , (0, 1). Por tanto, un vector de dirección es (0, 1), y uno normal, ( 1, 0).
2 2
c) Un vector normal a la mediatriz es PQ (5 3, 2 5) (2, 3). Un vector director es (3, 2).
5.29. Calcula un vector director y otro normal a cada una de las siguientes rectas:
3
a) r 2x 3y 5 b) s x —— y 1 0
2
3 3
a) Vector normal n ( 2, 3); vector director v (3, 2) b) Vector normal n 1, ; vector director v ,1
2 2
5.30. Calcula las ecuaciones de los lados del triángulo de vértices P(1, 3), Q( 4, 0) y R( 2, 1). Para cada lado,
halla un vector de dirección y otro normal.
Lado PQ: Un vector de dirección es QP (5, 3). Un vector normal es (3, 5).
x 1 y 3
La ecuación es: PQ ⇒ 3x 3 5y 15 ⇒ PQ 3x 5y 12 0
5 3
Lado PR: Un vector de dirección es RP (3, 4). Un vector normal es (4, 3).
x 1 y 3
La ecuación es: PR ⇒ 4x 4 3y 9 ⇒ PR 4x 3y 5 0
3 4
Lado QR: Un vector de dirección es QR (2, 1). Un vector normal es (1, 2).
x 1 y 3
La ecuación es: QR ⇒ x 4 2y ⇒ QR x 2y 4 0
3 4
5.31. Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas:
1 3
a) r y 2x 3 c) t ——x ——y 1 0
2 4
b) s 4x 3y 6 0 d) La recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene de pendiente m 2.
a) La recta pasa por el punto P(0, 3). Como un vector normal es n (2, 1), un vector director es u (1, 2).
x
Las ecuaciones paramétricas son: r y 3 2
b) La recta pasa por el punto P(0, 2). Como un vector normal es n (4, 3), un vector director es u ( 3, 4).
x 3
Las ecuaciones paramétricas son: r y 2 4
8. 1 3
c) La recta pasa por el punto P (2, 0). Como un vector normal es n , | | (2, 3), un vector director es
2 4
x 2 3
u ( 3, 2). Las ecuaciones paramétricas son: r y 2
d) La recta es y 1 2x. Pasa por el punto (0, 0). Como un vector normal es n (2, 1), un vector director es
x
u (1, 2). Las ecuaciones paramétricas son: r y 2
5.32. Halla la ecuación normal y la ecuación general de la recta que tiene a n ( 1, 3) como vector normal y
pasa por el origen de coordenadas.
La ecuación normal es 1 (x 0) 3 (y 0) 0. La ecuación general es x 3y 0.
5.33. Halla la ecuación normal canónica y la ecuación general de la recta que tiene a n (2, 4) como vector
normal y pasa por el punto medio del segmento AB siendo A(0, 2) y B( 3, 0).
3 0 2 0 3
El punto medio del segmento AB es M , . La ecuación normal es 2 x 4 (y 1) 0.
2 2 2
La ecuación general es: 2x 3 4y 4 0 ⇒ 2x 4y 7 0
2 4 7 1 2 7
La ecuación normal canónica es: x y 0 ⇒ x y 0
20 20 20 5 5 20
5.34. Calcula la pendiente de las siguientes rectas:
a) r: y 2x 3 e) Recta que pasa por los puntos P (1, a) y Q (1, 3a).
b) r: 2x 3y 5 0 f) Recta cuyo vector director es u ( 3, 5).
3 1
c) r: —— x —— y 5 0 g) Recta cuyo vector normal es n (2, 7).
2 5
x 3 5
d) Recta que pasa por los puntos P( 1, 2) y Q(1, 3). h) r :
y 1 2
a) La recta está en forma explícita, luego m 2.
2 5 2
b) 2x 3y 5 0 ⇒ y x ⇒ m
3 3 3
3 1 15 15
c) x y 5 0 ⇒ y x 25 ⇒ m
2 5 2 2
1
d) La dirección es la del vector PQ (2, 1) ⇒ m
2
3a a 2a
e) m . Es una recta vertical (si a 0 no es una recta, al ser P y Q el mismo punto).
1 1 0
5
f) m
3
2
g) Su dirección es la del vector u (7, 2) ⇒ m
7
2
h) Su dirección es la del vector u (5, 2) ⇒ m
5
5.35. Indica el valor de las pendientes y de las ordenadas Y
en el origen de las rectas de la figura y calcula, para t
cada una de ellas, su ecuación general. u
2 2
r: m n 3⇒y x 3 ⇒ 2x 3y 9 0 1
3 3
1 1 O 1 X
s: m n 3⇒y x 3⇒x 3y 9 0
3 3
t: Recta vertical, no corta al eje OY ⇒ x 5 r
s
u: m 0, n 4 ⇒ y 4
9. Solucionario
5.36. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P( 2, 5) y forma con la parte positiva del eje de
ordenadas un ángulo de 60 .
3
La recta forma un ángulo de 30 con el eje de abscisas, por lo que tiene pendiente m tg (30 ) .
3
3 3 15 2 3
Su ecuación explícita es y n. Como pasa por P, se tiene que 5 ( 2) n⇒n .
3x 3 3
3 15 2 3
La ecuación de la recta es, por tanto, y x .
3 3
5.37. Calcula las ecuaciones explícitas de las rectas siguientes:
a) Pasa por A( 1, 2) y tiene pendiente m 2.
b) Pasa por los puntos A( 1, 3) y B(2, 4).
c) Pasa por A(2, 3) y forma con la parte derecha del eje de abscisas un ángulo de 30 .
d) Pasa por A( 2, 5) y forma con la parte izquierda del eje de abscisas un ángulo de 120 .
a) La ecuación de la recta es y 2x n. Como pasa por A, ha de ser 2 2 n ⇒ n 4.
La ecuación es y 2x
4.
3 4 1 1
b) La pendiente es m . Por tanto, la ecuación es y x n. Como pasa por A, ha de
1 2 3 3
1 10 1 10
ser 3 n ⇒ n . La ecuación de la recta es y x .
3 3 3 3
3 3
c) La pendiente es m tg (30º) . La ecuación explícita es y x n. Como pasa por A, se tiene que
3 3
2 3 9 2 3 3 9 2 3
3 n ⇒ n . La ecuación de la recta es, por tanto, y x .
3 3 3 3
d) La recta forma un ángulo de 60º con la parte derecha del eje de abscisas, por lo que tiene pendiente
m tg (60º) 3. La ecuación explícita es y 3x n. Como pasa por A, se tiene que 5 2 3 n
⇒ n 5 2 3. La ecuación es, por tanto, y 3x 5 2 3.
5.38*. Calcula la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación general y la ecuación explícita de la
recta r en los siguientes casos:
a) Pasa por el punto P( 3, 6) y es paralela a la recta de ecuación 2x 3y 5 0.
b) Corta a los ejes coordenados en los puntos P(0, 3) y Q( 1, 0).
a) La dirección de la recta es la del vector u (3, 2) y pasa por el punto P. Por tanto:
Ecuación vectorial: r (x, y) ( 3, 6) (3, 2)
x 3 3
Ecuaciones paramétricas:
y 6 2
x 3 y 6
Ecuación general: ⇒ 2x 6 3y 18 ⇒ 2x 3y 24 0
3 2
2
Ecuación explícita: y x 8
3
b) La dirección es la del vector PQ ( 1, 3).
Ecuación vectorial: r (x, y) (0, 3) ( 1, 3)
x
Ecuaciones paramétricas:
y 3 3
x y 3
Ecuación general: ⇒ 3x y 3 0
1 3
Ecuación explícita: y 3x 3
Posiciones relativas de rectas
5.39. Indica la pendiente de todas las rectas paralelas a la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q( 1, 7).
7 2 9
La dirección de la recta es la del vector u ( 1 1, 7 2), luego m .
1 1 2
10. x 2 2t
5.40. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 6) y es paralela a r: , t R
y 1 t
La ecuación tiene el mismo vector de dirección que la recta dada y pasa por P, luego:
x 2 2t x 2 y 6
r: ⇒ ⇒ x 2 2y 12 ⇒ x 2y 14 0
y 6 t 2 1
5.41. Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas:
t
x 3 ——
x 1 2 1 1 7
a) r: s: d) r: x y 7 s: ——x ——y —— 0
y 1 t 2 2 2
y 1 ——
2
x 1
b) r: 3x 2y 7; s: 2x 3y 8 e) s: 4x y 8 0
y 2 2
2 1 x
c) r: 2x y 5 0 s: ——x ——y 5 0 f) r: y 2x 3 s: y ——
3 3 2
1 1
a) Los vectores de dirección de las rectas son u r (1, 1) || u s ,
2 2
3 1 ⇒ 2
Como el punto P(3, 1) de s no pertenece a r, ya que 1 1 ⇒ 0 , las rectas son paralelas.
3 2 3x 2y 7 6x 4y 14
b) ⇒ Las rectas son secantes. Se cortan en 2x 3y 8 ⇒ 6x 9y 24 ⇒ y 2x 1 ⇒ P(1, 2).
2 3
2 1 5
c) s, se puede escribir como: 2x y 15 0 y al ser ⇒ Las rectas son paralelas.
2 1 15
d) s, se escribe como x y 7 0, que es la misma expresión de r, por lo que las rectas son coincidentes.
x 1 3 4
e) 4(1 ) 2 2 8 0⇒2 6 0⇒ 3. Las rectas son secantes en y 2 6 8 ⇒ P(4, 8).
x 6 3 6 3
f) Las rectas son secantes. Se cortan en el punto 2x 3⇒x 4x 6⇒x y ⇒P , .
2 5 5 5 5
5.42. Calcula el punto de intersección de los siguientes pares de rectas secantes:
x 2 3 x 1 4 x y x 2y 3
a) r: s: c) r: —— —— 1 s: —— —— —— 0
y 1 y 2 2 2 3 8 3 2
23 x 2 3
b) r: 2x 5y —— s: 3x 4y 12 d) s: s: 2x y 6 0
2 y 2 2
Para calcular el punto de intersección basta resolver los sistemas de ecuaciones dados por las rectas.
x 2 3 x 1 4 2 3 1 4 3 4 1
a) r y 3 ⇒ s y 2 2 ⇒ 1 2 2 ⇒ 3 6 3 ⇒
3 4 1
⇒ 3 6 3 ⇒ 2 2 ⇒ 1 ⇒ 1 ⇒ El punto de intersección es P(5, 0).
23 69
r 2x 5y 6x 15y 21 3 3
b) 2 ⇒ 2 ⇒ 7y ⇒ y x 2 ⇒ P 2,
s 3x 4y 12 6x 8y 24 2 2 2
x y 2
r 1 x y 2
2 3 3 5 28 28 5
c) 2y ⇒ 16y ⇒ 6y 10 ⇒ y x ⇒ P ,
x 3 x 12 3 9 9 3
s 0 3
8 3 2
x 2 3
d) r ⇒s 2x y 6 0 ⇒ 2(2 3 ) 2 2 6 0 ⇒ 8 0 ⇒ 0 ⇒ P(2, 2)
y 2 2
11. Solucionario
Rectas paralelas y perpendiculares
5.43. Calcula la ecuación de las siguientes rectas:
a) Paralela a 2x 5y 5 0 y que pasa por el punto A( 2, 6).
b) Paralela al eje de abscisas y que pasa por el punto A( 1, 4).
c) Paralela al eje de ordenadas y que pasa por el punto A( 1, 4).
d) Paralela a r: 2x y 12 0 y que pasa por el origen de coordenadas.
x 1 2t
e) Paralela a r: y que pasa por el punto P( 2, 4).
y 5 t
x 2 2t
f) Paralela a r: y que pasa por el punto P( 2, 2).
y 1
g) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante y que tiene ordenada en el origen igual a 5.
a) La recta es de la forma 2x 5y k 0. Como pasa por A, ha de ser 4 30 k 0 ⇒ k 26.
Por tanto, la ecuación buscada es 2x 5y 26 0.
b) La recta es y 4.
c) La recta es x 1.
d) La recta es de la forma 2x y k 0. Como pasa por (0, 0), k 0. Luego la ecuación es 2x y 0.
e) La recta tiene la misma dirección que la dada, luego:
x 2 2t x 2 y 4
⇒ t ⇒ x 2 2y 8 ⇒ x 2y 10 0
y 4 t 2 1
x 2 2t
f) La recta tiene la misma dirección que la dada, luego ⇒ y 2
y 2
g) La pendiente de la recta es m 1, y la ordenada en el origen, n 5. Luego la recta es y x 5.
5.44. Calcula la ecuación de las siguientes rectas:
a) Perpendicular a x 2y 3 0 y que pasa por el punto A(2, 1).
b) Perpendicular al eje de abscisas y que pasa por el punto A( 4, 8).
c) Perpendicular al eje de ordenadas y que pasa por el punto A( 1, 3).
d) Perpendicular a r: 3x 3y 1 0 y que pasa por el origen de coordenadas.
x 1 2t
e) Perpendicular a y que pasa por el punto P( 1, 0).
y 5 t
f) Perpendicular al segmento AB con A( 1, 3) y B(2, 5) y que pasa por P( 3, 2).
a) El vector de dirección es u (1, 2) y pasa por A, luego
x 2 t x 2 y 1
⇒ t ⇒ 2x 4 y 1 ⇒ 2x y 3 0
y 1 2t 1 2
x 4
b) El vector de dirección es u (0, 1) y pasa por A, luego ⇒ x 4
y 8 t
x 1 t
c) El vector de dirección es u (1, 0) y pasa por A, luego ⇒ y 3
y 3
d) El vector de dirección es u (3, 3) y pasa por (0, 0), luego
x 3t x y
⇒ t ⇒ 3x 3y 0 ⇒ 3x 3y 0
y 3t 3 3
e) El vector de dirección es u (1, 2) y pasa por P, luego
x 2 2t x 1 y
⇒ t ⇒ 2x y 2 0
y 2 1 2
f) AB (3, 2); por tanto, el vector de dirección de la recta es u (2, 3) y pasa por P,
x 3 2t x 3 y 2
luego ⇒ t ⇒ 3x 9 2y 4 ⇒ 3x 2y 13 0
y 2 3t 2 3
12. 5.45. En cada caso, calcula el valor del parámetro k para que las rectas tengan la posición relativa indicada.
a) r: x ky 1 0; s: kx 4y 3 0, paralelas.
b) r: kx 2y 4k 0; s: x 3y 4 0, coincidentes.
c) r: 2kx 5y 1 0; s: 3x ky 2 0, paralelas.
1 k 1
a) Ha de verificarse que ⇒ k2 4 ⇒ k 2
k 4 3
k 2 4k 2
b) Ha de verificarse que ⇒ k
1 3 4 3
2k 5 1
c) Ha de verificarse que ⇒ 2k 2
15 ⇒ Imposible, luego no pueden ser paralelas.
3 k 2
5.46. Las diagonales de un rombo son perpendiculares Y
entre sí. Calcula las ecuaciones de las diagonales de D(4, 4)
la figura, y comprueba si es o no un rombo.
A(8, 3)
No se trata de un rombo, ya que sus diagonales no son 1
perpendiculares. En efecto:
O 1 C(2, 0) X
DE (2, 5), AC ( 6, 3) y resulta: B(6, –1)
DE AC 12 15 3 0, por lo que no son
perpendiculares y la figura no es un rombo.
5.47. Halla para qué valor de b, la recta x by 4b 1 es coincidente con la recta que pasa por los puntos
P( 1, 4) y Q(2, 3).
1 4b 4b 1
La recta dada habrá de pasar por P y Q. Luego ⇒ 2 3b 4b 1 ⇒ b 3
2 3b 4b 1
La recta es x 3y 11 0.
5.48. Halla el valor de k para que sean paralelas las rectas
r: (2k 2) x y 2k 0 s: (k 1)x (k 1)y 17 0
2k 2 1 3
Para que sean paralelas tiene que suceder que: ⇒ 2k 2 k 3 0 ⇒ k 1 k
k 1 k 1 2
5.49. Dadas las rectas r: (k 1)x 2y 2k 0 y s: (3k 4)x y k2 0, encuentra los valores de k para
que sean perpendiculares. Para los valores hallados, calcula el punto de intersección de las rectas.
Los vectores directores de las rectas son u r (2, k 1) y u s (1, 4
3k), que han de ser perpendiculares.
1
7 5 k
Así: 2 (k 1)(4 3k) 0 ⇒ 3k 2 7k 2 0 ⇒ k ⇒ 3
6 k 2
2 2
r: x 2y 0
1 3 3 x 3y 1 2 13
Para k , ⇒ ⇒ ⇒ x , y
3 1 27x 9y 1 15 45
s: 3x y 0
9
2 13
El punto de intersección es P ,
15 45
0 ⇒ x 2y 4 12 4 12 4
Para k 2, r: x 2y 4 ⇒ x , y ⇒ P , .
s: 2x y 4 0 4x 2y 8 5 5 5 5
Haz de rectas
5.50. Calcula la ecuación del haz de rectas secantes de vértice el punto P( 2, 3). Calcula la recta de este haz
1
que tiene pendiente m ——.
2
La ecuación del haz es y 3 m (x 2).
1 1
Si m ⇒ y 3 (x 2) ⇒ 2y 6 x 2 ⇒ x 2y 4 0
2 2
13. Solucionario
5.51. Calcula la ecuación del haz determinado por las rectas secantes r: y 2x 3 y s: y 3x 5 y halla la
recta de este haz que pasa por el punto P( 2, 2).
La ecuación del haz es: 2x y 3 (3x y 5) 0
9
Si la recta pasa por P, se tiene que 4 2 3 ( 6 2 5) 0. Luego: . Por tanto, la recta
13
9
buscada es: 2x y 3 (3x y 5) 0 ⇒ 26x 13y 39 27x 9y 45 0⇒x 4y 6 0
13
5.52. Calcula la ecuación del haz determinado por las rectas secantes r: 2x y 0 y s: 3x 2y 0 y halla la
2
recta de este haz que tiene pendiente m ——.
3
La ecuación del haz es: 2x y (3x 2y) 0
En primer lugar se calcula la pendiente en función de :
2 3
2x y (3x 2y) 0 ⇒ (2 3 )x (1 2 ) y 0 ⇒ m
2 1
2 3 2 4
Si m ⇒ 6 9 4 2 ⇒ 13 4 ⇒
2 1 3 13
Por tanto, la recta buscada es:
4
2x y (3x 2y) 0 ⇒ 26x 13y 12x 8y 0 ⇒ 14x 21y 0 ⇒ 2x 3y 0
13
5.53. Escribe, en una sola ecuación dependiente de un parámetro, todas las rectas paralelas a r: 2x 3y 5 0
y elige, de entre ellas, la que pasa por P( 1, 3).
Todas las rectas paralelas a la dada son de la forma 2x 3y k 0.
La recta buscada pasa por P, luego 2 9 k 0 ⇒ k 11.
La ecuación de la recta es 2x 3y 11 0.
5.54. Encuentra la expresión que representa a todas las rectas que tienen pendiente m 2 y di cuál de ellas
pasa por el origen de coordenadas.
Las rectas con pendiente m 2 son de la forma y 2x n.
Si pasa por el origen, su ordenada en el origen es n 0; por tanto, la recta pedida es y 2x.
5.55. Escribe, en una sola ecuación dependiente de un parámetro, todas las rectas perpendiculares a r:
3x 2y 12 0 y elige, de entre ellas, la que pasa por P(1, 1).
3 3
La ecuación explícita de la recta r es y x 6 y su pendiente es m . Las rectas perpendiculares tienen
2 2
2 2
pendiente m . Por tanto, el haz pedido es y x n.
3 3
2 1 2 1
La recta del haz que pasa por P(1, 1) cumple 1 n ⇒ n . Su ecuación es y x .
3 3 3 3
5.56. Halla la ecuación del haz determinado por las rectas secantes r: 2x y 10 y s: x 3y 0 e indica la
ecuación normal de la recta del haz que es perpendicular a la recta t: 5x 2y 3 0.
La ecuación del haz es 2x y 10 (x 3y) 0 ⇒ (2 )x (1 3 )y 10 0.
La ecuación de la recta perpendicular a 5x 2y 3 0 ha de ser de la forma 2x 5y k 0.
2 1 3 10 12
Para que esta recta sea del haz se ha de cumplir: ⇒ , k 22
2 5 k 11
La ecuación normal pedida es, por tanto:
2x 5y 22 2 5 22
Normalizando: 0 ⇒ x y 0
22 52 29 29 29
14. Distancias y ángulos
5.57. Calcula la distancia entre los puntos A y B:
1 5 3
a) A(2, 3) y B( 2, 5) c) A ——, —— y B ——, 3
2 3 5
1 1 5 5 2 3 2 3
b) A ——, —— y B ——, —— d) A ——, —— y B ——, ——
2 3 2 3 2 2 2 2
a) d(A, B) ( 2 2)2 (5 3)2 16 64 80 4 5
2 2
5 1 5 1
b) d(A, B) —— —— —— —— 4 4 8 2 2
2 2 3 3
2 2
3 1 5 1 16 1609 1609
c) d(A, B) —— —— 3 —— —— —— —— ——
5 2 3 100 9 900 30
2 2
2 3 2 3 10 10
d) d(A, B) —— —— —— —— —— ——
2 2 2 2 4 2
x 1
5.58. Halla la distancia del punto A(2, 3) al punto de intersección de las rectas , s: 2x y 3 0
y 1
x 1
x 1
El punto de intersección es y 1 ⇒2 y 3 0⇒ ⇒ P(1, 1) ⇒ d(A, P) 12 42 17 u
y 1
2x y 3 0
5.59. Calcula la distancia del punto P a la recta r en los siguientes casos:
a) P( 3, 4) r: 2x 3y 5 0
b) P(0, 2) r: y 2x 5
1
c) P ——, 3 r: 2x 2y 3
2
x 1 2
d) P(1, 2) r:
y 2 2
1 2
e) P( 1, 0) y r es la recta que pasa por los puntos A ——, 3 y B 2, —— .
2 4
f) P(3, 2) y r es la recta que forma un ángulo de 45º con el eje positivo de abscisas y que tiene ordenada
en el origen igual a 2.
| 2 ( 3) 3 4 5| | 6 12 5| 1 13
a) d(P, r) u
2 2
3 2
13 13 13
|2 0 2 5| 7 7 5
b) d(P, r) u
2
2 12
5 5
1
2 2 ( 3) 3 |1 6 3| 5 2
2 10
c) d(P, r) u
22 ( 2)2 8 2 2 2
x 1 2 x 1 y 2 |1 2 1|
d) r ⇒ ⇒x 1 y 2 ⇒ x y 1 0; d(P, r) 0 u
y 2 2 2 2 12 12
e) En primer lugar se halla la ecuación de la recta:
1
x
2 y 3 9 9 296
⇒ 14x 10y 23 0 ⇒ d(P, r) u
1 1 296 296
2 3
2 2
f) La pendiente de la recta es m 1, y la ordenada en el origen es n 2.
|3 2 2| 3 3 2
Por tanto, la ecuación es y x 2 ⇒ x y 2 0; d(P, r) u
12 ( 1)2 2 2
15. Solucionario
5.60. Comprueba que los siguientes pares de rectas son paralelas y calcula, en cada caso, la distancia que las
separa:
a) r: 2x y 7; s: 2x y 8
2
b) r: 2x 3y 2 0; s: ——x y 2 0
3
3 t x
x 2 2
c) 3 t s:
y 3 —— y
2
2 1 7 | 7 8| 1 5
a) ⇒ Son paralelas; d(r, s) u
2 1 8 2 2
( 1) 2
5 5
2
b) En primer lugar se reescribe la ecuación de s x y 2 0 ⇒ s 2x 3y 6 0.
3
2 3 2 | 2 6| 8 8 13
⇒ Son paralelas; d(r, s) u
2 3 6 2 2
( 3) 2
13 13
c) En primer lugar se reescriben las ecuaciones generales de ambas rectas:
x 2 2 x 2 y 3
r ⇒ ⇒ x 2 2y 6 ⇒ x 2y 8 0
y 3 2 1
x 3 t
2y 3
s t ⇒ x 3 ⇒ x 3 2y 3 ⇒ x 2y 6 0
y 3 1
2
1 2 8 | 8 6| 2 2 5
⇒ Son paralelas; d(r, s) u
2 2 6 1 2
2 2
5 5
5.61. Calculando las medidas de sus tres lados y clasifica los siguientes triángulos cuyos vértices son:
3 3
a) A(3, 2), B(5, 4) y C(1, 2) b) A(3, 5), B( 1, 1) y C(5, 3) c) A(0, 1), B(0, 2) y C ——, ——
2 2
a) AB (5 3)2 ( 4, 2)2 4 36 40 u;
CB (5 1)2 ( 4 2)2 16 4 20 u
AC (1 3)2 ( 2 2)2 4 16 20 u. Se trata de un triángulo isósceles.
b) AB ( 1 3)2 ( 1 5)2 16 36 52 u;
CB ( 1 5)2 ( 1 3)2 26 4 40 u.
2 2
AC (5 3) ( 3 5) 4 64 68 u. Se trata de un triángulo escaleno.
c) AB (0 0)2 (2 1)2 1 1 u;
2 2
3 3 3 1
CB 0 2 1 u
3 2 4 4
2 2
3 3 3 1
AC 0 1 1 u. Se trata de un triángulo equilátero.
2 2 4 4
5.62. Calcula el perímetro y el área del triángulo de vértices: A( 2, 2), B(5, 1) y C(3, 4).
En primer lugar se calcula la longitud de los lados:
AB (5 2)2 ( 1 2)2 49 9 58; CB (5 3)2 ( 1 4)2 4 25 29 y
AC (3 2)2 (4 2)2 25 4 29. Por tanto, el perímetro es: P 58 229 u.
La altura del triángulo es la distancia del vértice C a la recta determinada por el segmento AB.
x 2 y 2
AB ⇒ 3(x 2) 7(y 2) ⇒ 3x 7y 8 0.
7 3
| 3 ( 3) 4 ( 7) 8| 29 58
d(C, r)
32
7 2
58 2
1 1 58 58 29 2
Por tanto, el área es: A AB d(C, r) 58 u
2 2 2 4 2