Este documento resume conceptos básicos sobre vectores, incluyendo: el módulo y argumento de un vector; vectores en forma polar; el efecto de multiplicar un vector por un escalar en su módulo y argumento; y la desigualdad triangular para la suma de vectores, donde el módulo de la suma es siempre menor o igual a la suma de los módulos. Se proporcionan ejemplos interactivos para ilustrar cada concepto.

1. 3.1 Módulo de un vector
3.2 Argumento de un vector
3.3 Vectores en forma polar (o en forma módulo-argumento)
3.4 Módulo del producto de un escalar por un vector
3.5 Argumento del producto de un escalar por un vector
3.6 Módulo de la suma de dos vectores
3.7 Argumento de la suma de dos vectores
3.8 Obtención de las componentes conocidos el módulo y el argumento
3.9 Obtención del módulo y del argumento conocidas las componentes
3.10 Suma de dos vectores dados en forma polar
3.1 MÓDULO DE UN VECTOR
Recordemos que el módulo de un vector es la longitud del segmento orientado correspondiente. El módulo
de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
El módulo del vector se expresa | |. Así, por ejemplo, podemos escribir | |=3,
| |=4 y | |=5 para indicar que , y tienen módulo 3, 4 y 5 respectivamente.
Conociendo las componentes de un vector =(v1,v2), podemos calcular su módulo
| | aplicando el teorema de Pitágoras:
| |2 = v12+v22
Este procedimiento para calcular el módulo se puede aplicar tanto si las componentes
de son positivas, caso de la figura, como si son negativas.

2. Este vector tiene módulo 4, que puedes variar moviendo el punto verde, y dirección y sentido que no
puedes variar. Es decir, no puedes variar el ángulo de 70,25º que forma con el semieje OX positivo (este
ángulo se llama argumento, y lo estudiaremos en la actividad siguiente).
1) Construye vectores con su misma dirección y sentido y con los siguientes módulos:
a) Módulo 5 b) Módulo 3
c) Módulo 0,7 d) Módulo 6,6
2) ¿Puedes conseguir que su módulo sea -2 o cualquier cantidad negativa?
3) ¿Puedes conseguir que su módulo valga cero?
4) ¿Dónde están situados los extremos de todos los vectores que tienen la misma dirección y sentido si
los dibujamos con el mismo origen?
1 a) Módulo 5
1 b) Módulo 3

3. 1 c) Módulo 0,7
1 d) Módulo 6,6
2) No es posible. El módulo de un vector no puede ser negativo.
3) Sí que es posible. Se trata del vector nulo que se obtiene haciendo coincidir el extremo con el origen.

4. 4) Están situados sobre una semirecta. Es la semirecta que parte del origen común de los vectores y tiene la
dirección y el sentido de estos últimos.
3.2 ARGUMENTO DE UN VECTOR
Se define el argumento de un vector , que podemos considerar con origen en el origen de coordenadas,
como el ángulo que forma con el semieje de las abscisas positivas OX.
En la figura tienes cuatro vectores con argumentos respectivos α, β, γ y δ.
Los argumentos se suelen expresar en grados o en radianes; nosotros lo haremos en grados. Observa que:
- si el argumento de un vector está entre 0º y 90º, el vector está en el 1 r cuadrante
- si el argumento de un vector está entre 90º y 180º, el vector está en el 2º cuadrante
- si el argumento de un vector está entre 180º y 270º, el vector está en el 3 r cuadrante
- si el argumento de un vector está entre 270º y 360º, el vector está en el 4º cuadrante
Se consideran positivos los ángulos recorridos a partir de OX en sentido contrario a las agujas del reloj, y
negativos los recorridos en el mismo sentido.
Multiplicidad de argumentos. Un mismo vector tiene infinidad de argumentos: si α es el argumento
comprendido entre 0º y 360º, los demás difieren de él en una o varias vueltas de circunferencia, es decir, en
360º o en un múltiplo, positivo o negativo, de 360º. Así pues, 30º, 390º, 750º, -330º, ... pueden ser
argumentos de un mismo vector.

5. Este vector tiene módulo 3,5, que no puedes variar, y argumento 121,5º, que sí que puedes variar
moviendo el punto verde.
1) Construye vectores con módulo 3,5 y con:
a) Argumento 90º
b) Argumento 180º
c) Argumento 270º
d) Argumento 360º
e) Argumento 0º
f ) Argumento 60º
g) Argumento 250º
h) Argumento 315º
i ) Argumento - 45º
j ) Argumento -120º
k) Argumento 400º
l ) Argumento 1000º
2) ¿Dónde están situados los extremos de todos los vectores que tienen per módulo 3,5 si los
dibujamos todos con el mismo origen?
1 a) Argumento 90º
1 b) Argumento 180º
1 c) Argumento 270º

6. 1 d) Argumento 360º
1 e) Argumento 0º
1 f) Argumento 60º
1 g) Argumento 250º

7. 1 h) Argumento 315º
1 i) Argumento -45º = Argumento 315º
1 j) Argumento -120º = Argumento 240º
1 k) Argumento 400º = Argumento 40º

8. 1 l) Argumento 1000º = Argumento 280º
2) Todos los extremos de los vectores que tienen per módulo 3,5 están situados sobre una circunferencia de
radio 3,5 (y con centro en el origen de estos vectores).
3.3 VECTORES EN FORMA POLAR (O EN FORMA MÓDULO-ARGUMENTO)
Un vector queda perfectamente determinado si conocemos su módulo y su argumento. Su módulo es un
número positivo y su argumento un ángulo.
Indicaremos un vector de módulo M y argumento α con la notación Mα; esta es la llamada forma polar de
un vector (o forma módulo-argumento).

9. Por ejemplo, el vector de módulo 4 y argumento 60º lo indicaremos en forma polar como 4 60º. En la figura de
la derecha tienes dibujados los vectores Mα, N β, R γ y Tδ que tienen por módulos M, N, R y S, y por
argumentos, los ángulos α, β, γ y δ respectivamente.
Teniendo en cuenta lo que hemos dicho en la actividad anterior respecto de la multiplicidad de argumentos
de un mismo vector, puede escribirse
460º = 4420º = 4780º = 4-300º
Puedes variar el argumento de este vector moviendo el punto verde claro, y variar su módulo moviendo el
punto verde oscuro.
Construye los siguientes vectores:
1) 3,5 60º
2) 5 135º
3) 4 180º
4) 2,65 240º
5) 3 300º
6) 2 - 38º
7) 3,25 450º
8) 4,6 945º
1) 3,5 60º

10. 2) 5 135º
3) 4 180º
4) 2,65 240º
5) 3 300º

11. 6) 2 - 38º
7) 3,25 450º
8) 4,6 945º
3.4 MÓDULO DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
¿Cómo podemos obtener el módulo de a partir de m y del módulo de ?. Es decir,
¿cuánto vale | |?

12. Recordemos que definimos como un vector que tiene:
1) dirección: la misma que
2) sentido: el mismo que si m es positivo
opuesto al de si m es negativo
3) módulo: el módulo de multiplicado por el valor absoluto de m
Por lo tanto podemos escribir | |= |m| | |, donde |m| quiere decir valor absoluto de m
y | | quiere decir módulo de .
Es interesante observar, por ejemplo, que el módulo de -3 no es -3 por el módulo de ,
es 3 por el módulo de .
1) Sitúa el punto C de forma que =2 .
¿Qué relación hay entre | |y| |?
2) Sitúa el punto C de forma que =4 .
¿Qué relación hay entre | |y| |?
3) Sitúa el punto C de forma que = -2 .
¿Qué relación hay entre | |y| |?
4) Sitúa el punto C de forma que = -3 .
¿Qué relación hay entre | |y| |?

13. 5) Sitúa el punto C de forma que =- .
¿Qué relación hay entre | |y| |?
1) =2
Relación entre los módulos de y :| |=2| |
2) =4
Relación entre los módulos de y :| |=4| |
3) = -2
Relación entre los módulos de y :| |=2| |
4) = -3
Relación entre los módulos de y :| |=3| |

14. 5) =-
Relación entre los módulos de y :| |=| |
3.5 ARGUMENTO DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
¿Cómo podemos obtener el argumento de a partir de m y del argumento de ?
Recordemos nuevamente que definimos como un vector que tiene:
1) dirección: la misma que
2) sentido: el mismo que si m es positivo
opuesto al de si m es negativo
3) módulo: el módulo de multiplicado por el valor absoluto de m
Conservar el mismo sentido, caso de m positivo, equivale a conservar el argumento, y cambiar el sentido
por su opuesto, caso de m negativo, equivale a sumar 180º al argumento.
En consecuencia y resumiendo, podemos escribir:

15. 1) Sitúa el punto C de forma que =2 . ¿Qué relación hay entre los argumentos de y de ?
2) Sitúa el punto C de forma que =3 . ¿Qué relación hay entre los argumentos de y de ?
3) Sitúa el punto C de forma que = -2 . ¿Qué relación hay entre los argumentos de y de ?
4) Finalmente, sitúa el punto C de forma que = -0,75 . ¿Qué relación hay entre los argumentos de
y de ?
1) =2
Relación entre los argumentos de y : Arg = Arg
2) =3
Relación entre los argumentos de y : Arg = Arg

16. 3) = -2
Relación entre los argumentos de y : Arg = Arg +180º
4) = -0,75
Relación entre los argumentos de y : Arg = Arg +180º
3.6 MÓDULO DE LA SUMA DE DOS VECTORES
¿Qué relación existe entre el módulo de la suma de dos vectores, | + |, y los módulos de los sumandos,
| | y | |?
La observación de una suma geométrica de vectores ya nos lleva a la conclusión de que
| + |≠| |+| |
Una observación más a fondo de la suma geométrica de dos vectores nos hacer ver que
| + |≤| |+| |
esta desigualdad, llamada desigualdad triangular, se deduce del hecho de que un lado de un triángulo
siempre es menor que la suma de los otros dos lados. Sólo si los dos vectores y tienen la misma
dirección y sentido se verifica que | + | = | | + | |.

17. Si conoces las componentes de dos vectores = (u1, u2) y = (v1, v2), puedes obtener el módulo de la
suma + efectuando la suma en primer lugar
+ = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1+ v1 , u2+ v2)
y calculando después el módulo
a) Trata de encontrar, moviendo los puntos verdes si te parece conveniente, alguna relación entre el
módulo de la suma + y los módulos de los sumandos y .
b) ¿Hay alguna situación en la que | + |=| |+| |
(es decir, que el módulo de la suma sea igual a la suma de los módulos)? Trata de encontrarla moviendo
los puntos verdes.
a) Puedes observar que siempre se verifica la desigualdad triangular | + |≤| |+| |
También puedes observar que en el valor de | + | interviene el ángulo α que forman los vectores y
(de hecho, para calcular | + | conociendo | | , | | y el ángulo α que forman y , se puede aplicar la
trigonometría, y se obtiene | + |2 = | |2 + | |2 + 2| || |Cosα ).
b) Esta situación se presenta cuando y tienen la misma dirección y el mismo sentido, por ejemplo

18. 3.7 ARGUMENTO DE LA SUMA DE DOS VECTORES
De la misma forma que hicimos con los módulos, podemos preguntarnos si existe alguna
relación entre el argumento de la suma de dos vectores, Arg( + ), y los argumentos de los
sumandos, Arg y Arg .
La siguiente actividad pone de manifiesto que no existe ninguna relación sencilla entre Arg(
+ ), Arg y Arg .
Mueve los puntos verdes y comprueba que no existe ninguna relación sencilla entre
Arg( + ), Arg y Arg .

19. Por ejemplo, comprueba, dibujándolas, que pueden darse las tres situaciones siguientes
1) Arg( + ) < Arg + Arg
2) Arg( + ) > Arg + Arg
3) Arg( + ) = Arg + Arg
1) Situación en la que Arg( + ) < Arg + Arg : 45º < 68,9º + 28,3º
2) Situación en la que Arg( + ) > Arg + Arg : 45º > 80º + (-50º)

20. 3) Situación en la que Arg( + ) = Arg + Arg : 0º = 45º + (-45º)
3.8 OBTENCIÓN DE COMPONENTES CONOCIDOS MÓDULO Y ARGUMENTO
Conociendo el módulo M y el argumento α de un vector , podemos calcular sus componentes (u1,u2)
utilizando trigonometría:
- puesto que se define el coseno de α como Cosα =u1/M
entonces la 1ª componente u1 ("horizontal") vale u1 = MCosα
- puesto que se define el seno de α como Senα = u2/M
entonces la 2ª componente u2 ("vertical") vale u2 = MSenα
Resumiendo, si tenemos en cuenta que indicamos un vector de módulo M y argumento α con la notación
Mα , podemos escribir:
= Mα = ( MCosα , MSenα )

21. Calcula las componentes de los siguientes vectores.
a) 5 45º
b) 3,4 120º
c) 6 210º
d) 4 340º
e) 4,2 -30º
f ) 3 90º
g) 6 180º
h) 3,57270º
a) 5 45º
b) 3,4 120º

22. c) 6 210º
d) 4 340º
e) 4,2 -30º

23. f ) 3 90º.
El mejor procedimiento para obtener las componentes de un vector si su argumento es de 0º, 90º, 180º, 270º o
360º, es imaginarse el mentalmente vector, o hacer un pequeño esbozo de él. Así, es fácil darse cuenta de que
las componentes del vector 3 90º son (0,3).
g) 6 180º. También en este caso, si nos representamos mentalmente el vector, llegamos a la conclusión de que
sus componentes son (-6,0).
h) 3,57270º. Finalmente, representándonos también mentalmente el vector, las componentes en este caso son
(0, -3,57).

24. 3.9 OBTENCIÓN DE MÓDULO Y ARGUMENTO CONOCIDAS LAS COMPONENTES
Conociendo las componentes de un vector =(v1,v2), podemos calcular su módulo | | :
Para calcular su argumento α tengamos en cuenta que tanα = , y podemos escribir
α = Arctan
La función Arctanx, que en las calculadoras generalmente corresponde al botón tan-1, devuelve un ángulo
comprendido entre -90º y 90 que tiene por tangente x. Si el vector está situado en el 2º o 3r cuadrantes se
ha de efectuar una corrección al valor de Arctan consistente en sumarle 180º.
Resumiendo, el argumento α se calcula:
Si =(v1,v2) está en el 4º cuadrante, el cálculo de Arctan da negativo; podemos convertirlo en positivo
sumando 360º.

25. Calcula los módulos y los argumentos de los siguientes vectores y exprésalos en la forma Mα . Utiliza después el applet de
la derecha para dibujarlos y comprobar los resultados.
= (3,4) = (-6,4)
= (-8,-6) = (3,-5)
= (5,0) = (0,4)
= (-7,0) = (0,-6)
= (3,4)
= (-6,4)

26. = (-8,-6)
= (3,-5)

27. = (5,0)
En este caso es aconsejable representarse mentalmente el vector
= (5,0) y llegar a la conclusión de que:
| |=5
Arg = 0º
= 50º
= (0,4)
También en este caso, representándonos mentalmente el vector
= (0,4), llegamos a la conclusión de que:
| |=4
Arg = 90º
= 490º
= (-7,0)
Nuevamente, representándonos mentalmente el vector = (-7,0),
llegamos a la conclusión de que:
| |=7
Arg = 180º
= 7180º
= (0,-6)
Finalmente, representándonos mentalmente el vector = (0,-6),
llegamos a la conclusión de que:

28. | |=6
Arg = 270º = - 90º
= 6270º = 6-90º
3.10 SUMA DE DOS VECTORES DADOS EN FORMA POLAR
Dados dos vectores en forma polar, =Uα y = Vβ , ¿cómo realizaremos su suma? Recuerda que, según
hemos visto en actividades anteriores, el módulo de la suma de dos vectores no es la suma de módulos, ni
el argumento la suma de argumentos.
Para realizar esta suma no tenemos más remedio que empezar por calcular sus componentes:
= Uα = (UCosα , USenα)
= Uβ = (VCosβ , VSenβ)
realizar la suma: + = (UCosα + VCosβ , USenα + VSenβ )
y, si queremos dar el resultado en forma polar, calcular finalmente el módulo y el argumento de la suma:
(piensa en sumar 180º a Atan si + está en el 2º o 3r cuadrantes, es decir, si la 1ª componente de + es
negativa).
Un barco se ha de desplazar por un canal con la ayuda de dos fuerzas y de 3 kN y 4 kN
respectivamente. Se trata de hallar los argumentos de estas dos fuerzas para que el barco se desplace en
línea recta a lo largo del canal.

29. Trata de conseguirlo de las tres formas siguientes:
1) Sin variar la fuerza y modificando la dirección de la fuerza . Es decir, moviendo sólo el extremo de la
fuerza .
2) Actualiza esta página WEB y repite el ejercicio ahora sin variar la fuerza y modificando la dirección de
la fuerza .
3) Actualiza de nuevo la página WEB y repite el ejercicio variando simultáneamente las dos fuerzas y .
1) Sin variar la fuerza y modificando la dirección de la fuerza
2) Sin variar la fuerza y modificando la dirección de la fuerza
3) Variando simultáneamente las dos fuerzas y . En este caso, hay muchos resultados posibles y uno de
ellos es