Este documento presenta varios problemas relacionados con la geometría analítica en el plano. Primero, se pide calcular el punto medio de varios segmentos y se deduce una fórmula general para encontrar las coordenadas del punto medio. Luego, se analizan ecuaciones de rectas y cómo obtener sus ecuaciones cartesianas a partir de las paramétricas. Finalmente, se calculan distancias entre puntos y rectas y se resuelven otros problemas afines y métricos.
Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Richardson. Explica que los métodos iterativos calculan aproximaciones sucesivas a la solución mediante repetidas aplicaciones de una función. Luego, detalla los pasos matemáticos involucrados en cada uno de los tres métodos.
El documento explica cómo calcular los índices de Miller para planos cristalográficos en una celda unitaria cúbica. Se determinan las intersecciones del plano con los ejes x, y y z, se toman los recíprocos de las intersecciones, y los números enteros resultantes son los índices de Miller del plano. También cubre cómo calcular índices de Miller para direcciones cristalográficas y describe brevemente la estructura cristalina hexagonal.
El documento define ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Explica que una ecuación lineal tiene la forma de un polinomio de primer grado y que un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales. También describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y Cramer.
El documento introduce los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas como alternativas al sistema cartesiano. Explica cómo transformar entre los diferentes sistemas y cómo calcular integrales en cada uno de ellos. Proporciona ejemplos numéricos de conversiones entre sistemas de coordenadas.
Este documento presenta una guía de aprendizaje para la unidad 3 de cálculo vectorial sobre derivadas parciales. Explica los objetivos de la unidad como evaluar funciones de varias variables y calcular derivadas parciales. También describe las actividades como resolver ejercicios y analizar resultados. Finalmente, presenta conceptos clave como funciones de varias variables, gráficas de funciones, curvas de nivel y uso de software para representaciones gráficas.
El documento resume la historia del desarrollo del álgebra desde el antiguo Egipto y Babilonia hasta su forma moderna. Los egipcios y babilonios resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas sin notación simbólica. El álgebra avanzó con matemáticos árabes, griegos e hindúes hasta adoptar su forma actual con Descartes.
Este documento presenta ejercicios relacionados con sistemas de ecuaciones lineales. Incluye problemas sobre sistemas compatibles e incompatibles, sistemas determinados e indeterminados, y métodos para resolver sistemas como el método de Gauss. También cubre la representación matricial y vectorial de sistemas de ecuaciones.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Richardson. Explica que los métodos iterativos calculan aproximaciones sucesivas a la solución mediante repetidas aplicaciones de una función. Luego, detalla los pasos matemáticos involucrados en cada uno de los tres métodos.
El documento explica cómo calcular los índices de Miller para planos cristalográficos en una celda unitaria cúbica. Se determinan las intersecciones del plano con los ejes x, y y z, se toman los recíprocos de las intersecciones, y los números enteros resultantes son los índices de Miller del plano. También cubre cómo calcular índices de Miller para direcciones cristalográficas y describe brevemente la estructura cristalina hexagonal.
El documento define ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Explica que una ecuación lineal tiene la forma de un polinomio de primer grado y que un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales. También describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como los métodos de Gauss, Gauss-Jordan y Cramer.
El documento introduce los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas como alternativas al sistema cartesiano. Explica cómo transformar entre los diferentes sistemas y cómo calcular integrales en cada uno de ellos. Proporciona ejemplos numéricos de conversiones entre sistemas de coordenadas.
Este documento presenta una guía de aprendizaje para la unidad 3 de cálculo vectorial sobre derivadas parciales. Explica los objetivos de la unidad como evaluar funciones de varias variables y calcular derivadas parciales. También describe las actividades como resolver ejercicios y analizar resultados. Finalmente, presenta conceptos clave como funciones de varias variables, gráficas de funciones, curvas de nivel y uso de software para representaciones gráficas.
El documento resume la historia del desarrollo del álgebra desde el antiguo Egipto y Babilonia hasta su forma moderna. Los egipcios y babilonios resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas sin notación simbólica. El álgebra avanzó con matemáticos árabes, griegos e hindúes hasta adoptar su forma actual con Descartes.
Este documento presenta ejercicios relacionados con sistemas de ecuaciones lineales. Incluye problemas sobre sistemas compatibles e incompatibles, sistemas determinados e indeterminados, y métodos para resolver sistemas como el método de Gauss. También cubre la representación matricial y vectorial de sistemas de ecuaciones.
El documento describe el método para encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Se explica que las trayectorias ortogonales son curvas que intersectan a las curvas originales en ángulos rectos. El método involucra derivar la ecuación de la familia de curvas para obtener su ecuación diferencial, y luego resolver la ecuación diferencial asociada a las trayectorias ortogonales. Se proveen ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar el método a diferentes familias de curvas como círculos, pará
Este documento resume tres temas clave de Métodos Numéricos: 1) la propagación de errores de redondeo, incluyendo errores absolutos y relativos; 2) el condicionamiento y estabilidad, definiendo problemas bien y mal condicionados y algoritmos estables e inestables; y 3) otros métodos de análisis de errores como números de condición.
Este documento explica los índices de Miller, que se utilizan para identificar los planos cristalinos y las direcciones en una celda unitaria. Describe cómo se calculan los índices de Miller para planos y direcciones, usando sistemas de coordenadas y restas vectoriales. También cubre aspectos especiales de los índices de Miller para celdas hexagonales y ejemplos numéricos de cómo determinar índices para diferentes planos y direcciones dadas.
Este documento explica las ecuaciones lineales de la forma ax + by = c, donde a, b y c son valores constantes conocidos y x e y son las incógnitas. Se muestra un ejemplo concreto de 2x - 3y = 4 y se explica cómo despejar la incógnita y mediante operaciones algebraicas simples para encontrar su valor en función de x.
Este documento presenta un capítulo sobre números complejos y polinomios. Brevemente describe la historia del desarrollo de los números desde los naturales hasta los complejos, y cómo han permitido el avance de las matemáticas a través de operaciones numéricas. Luego, propone ejercicios de expresar números complejos en forma exponencial y binómica, calcular potencias y raíces de números complejos.
Este documento describe las transformaciones de coordenadas, en particular la rotación de ejes, como una herramienta para simplificar la ecuación de una curva. Explica cómo determinar el ángulo de rotación para eliminar el término Bxy de la ecuación general de segundo grado. Proporciona ejemplos de rotación de ejes para simplificar ecuaciones cónicas.
El documento presenta una línea de tiempo de la historia de las matemáticas desde el 6000 AC hasta el 1500 AC. Se destaca que las primeras aplicaciones matemáticas surgieron en el antiguo Egipto y Mesopotamia, donde se desarrollaron sistemas numéricos y de medición. Posteriormente, los griegos, chinos, hindúes y árabes realizaron importantes avances en geometría, álgebra y la incorporación del cero en los sistemas numéricos. La Edad Media representó un período de estancamiento intelectual hasta que
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres variables. Introduce brevemente las ecuaciones de una sola variable y define un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones consideradas simultáneamente cuyas soluciones son pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones. Explica que los sistemas pueden ser compatibles e incompatibles, determinados o indeterminados, y provee ejemplos para ilustrar cada tipo.
Este documento trata sobre vectores en R2 y R3. Explica que los vectores en R2 tienen dos componentes (X,Y) y representan vectores en un plano bidimensional, mientras que los vectores en R3 tienen tres componentes (X,Y,Z) y representan vectores en un espacio tridimensional. También define conceptos básicos de vectores como magnitud, dirección y sentido.
Este documento presenta los seis sistemas cristalinos principales (hexagonal, trigonal, romboédrico, monoclínico, triclínico) y describe sus características fundamentales como ejes de simetría, ángulos entre ejes, formas de cristales y clases de simetría. También incluye los nombres de los estudiantes en el curso de Geología y su docente.
El documento presenta dos ejemplos de transformación de bases a bases ortonormales en el espacio euclidiano R3 mediante el proceso de Gram-Schmidt. En el primer ejemplo se transforma la base B1 = {(1,0,1), (0,0,1), (-1,1,0)} a la base ortonormal B1' = {(0,0,1), (-1,1,0), (1/√2,1/√2,0)}. En el segundo ejemplo se transforma la base B2 = {(1,0,1), (0,1,-1), (1,0
El documento resume la historia de las matemáticas desde sus orígenes en las comunidades humanas primitivas hasta la actualidad. Inicialmente, las personas desarrollaron de forma gradual el concepto de número para contar conjuntos. Luego, avanzaron hacia conceptos más abstractos de números y el desarrollo de la matemática se reflejó en la complejidad de las estructuras sociales. Civilizaciones como los egipcios, babilonios, griegos y árabes contribuyeron significativamente al desarrollo de las matemáticas a través de los siglos
Este documento describe los principios generales para representar las vistas de un objeto en dibujos técnicos. Explica que las vistas principales son proyecciones ortogonales del objeto sobre 6 planos que forman un cubo, denominando cada vista. También describe los sistemas Europeo y Americano para disponer las vistas en el papel y cómo se relacionan entre sí. Por último, explica conceptos como cortes, secciones y roturas que permiten representar objetos de forma más clara.
Estructura cristalina de los metales.
Comparación entre los 3 estados de agregación en los metales
Redes cristalinas de los metales
Mecanismo de cristalización
Tipos principales de redes cristalinas
Hexagonal compacto (HC)
Cúbico centrado en caras (C.C.C.)
Cúbico centrado (C.C.)
Notaciones cristalográficas
Este documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consta de dos fases: eliminación de las incógnitas hacia adelante para obtener un sistema triangular superior, y luego sustitución hacia atrás para encontrar la solución. También incluye un ejemplo numérico resuelto paso a paso y las instrucciones para implementar el método utilizando Excel.
Este documento presenta varios ejercicios de transformada inversa de Laplace. Se resuelven funciones como X(s)=2s^2-9s-35/(s^2+4s+2) y X(s)=(3s^2+2s+1)/(s^3+5s^2+8s+4), obteniendo expresiones como x(t)=δ(t)-10.27e^(-4.578t)-6.73e^(-3.414t) y x(t)=2e^(-t)+e^(-2t)-9e^(-2t). También se explic
Este documento describe la geometría analítica del espacio tridimensional (R3). Introduce un sistema de coordenadas rectangulares en R3 con tres ejes perpendiculares (x, y, z) y ocho octantes. Explica cómo graficar un punto en R3 usando sus coordenadas y cómo calcular la distancia entre dos puntos usando el teorema de Pitágoras. También muestra cómo dividir un segmento en una razón dada encontrando las coordenadas del punto resultante.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
El documento introduce el sistema de coordenadas polares y explica cómo calcular las coordenadas polares y cartesianas de un punto. Define la convención de signos para el ángulo polar y el radio vector. Explica cómo transformar ecuaciones entre coordenadas polares y cartesianas usando fórmulas dadas. Proporciona ejemplos de cómo encontrar coordenadas y ecuaciones en ambos sistemas. Finalmente, discute cómo graficar ecuaciones dadas en coordenadas polares.
El documento presenta conceptos fundamentales sobre álgebra y funciones lineales, incluyendo producto cartesiano, distancia entre puntos, coordenadas del punto medio de un segmento, pendiente de una recta, ecuación punto-pendiente, ecuación de dos puntos, ecuación general de una recta, rectas paralelas y perpendiculares. Se proveen ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento trata sobre magnitudes físicas y vectores. Explica conceptos como el sistema internacional de unidades, magnitudes escalares y vectoriales, y operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial. También presenta ejemplos del método científico y aplicaciones de vectores en física.
Este documento resume tres temas clave de Métodos Numéricos: 1) la propagación de errores de redondeo, incluyendo errores absolutos y relativos; 2) el condicionamiento y estabilidad, definiendo problemas bien y mal condicionados y algoritmos estables e inestables; y 3) otros métodos de análisis de errores como números de condición.
Este documento explica los índices de Miller, que se utilizan para identificar los planos cristalinos y las direcciones en una celda unitaria. Describe cómo se calculan los índices de Miller para planos y direcciones, usando sistemas de coordenadas y restas vectoriales. También cubre aspectos especiales de los índices de Miller para celdas hexagonales y ejemplos numéricos de cómo determinar índices para diferentes planos y direcciones dadas.
Este documento explica las ecuaciones lineales de la forma ax + by = c, donde a, b y c son valores constantes conocidos y x e y son las incógnitas. Se muestra un ejemplo concreto de 2x - 3y = 4 y se explica cómo despejar la incógnita y mediante operaciones algebraicas simples para encontrar su valor en función de x.
Este documento presenta un capítulo sobre números complejos y polinomios. Brevemente describe la historia del desarrollo de los números desde los naturales hasta los complejos, y cómo han permitido el avance de las matemáticas a través de operaciones numéricas. Luego, propone ejercicios de expresar números complejos en forma exponencial y binómica, calcular potencias y raíces de números complejos.
Este documento describe las transformaciones de coordenadas, en particular la rotación de ejes, como una herramienta para simplificar la ecuación de una curva. Explica cómo determinar el ángulo de rotación para eliminar el término Bxy de la ecuación general de segundo grado. Proporciona ejemplos de rotación de ejes para simplificar ecuaciones cónicas.
El documento presenta una línea de tiempo de la historia de las matemáticas desde el 6000 AC hasta el 1500 AC. Se destaca que las primeras aplicaciones matemáticas surgieron en el antiguo Egipto y Mesopotamia, donde se desarrollaron sistemas numéricos y de medición. Posteriormente, los griegos, chinos, hindúes y árabes realizaron importantes avances en geometría, álgebra y la incorporación del cero en los sistemas numéricos. La Edad Media representó un período de estancamiento intelectual hasta que
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
Este documento explica los sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres variables. Introduce brevemente las ecuaciones de una sola variable y define un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones consideradas simultáneamente cuyas soluciones son pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones. Explica que los sistemas pueden ser compatibles e incompatibles, determinados o indeterminados, y provee ejemplos para ilustrar cada tipo.
Este documento trata sobre vectores en R2 y R3. Explica que los vectores en R2 tienen dos componentes (X,Y) y representan vectores en un plano bidimensional, mientras que los vectores en R3 tienen tres componentes (X,Y,Z) y representan vectores en un espacio tridimensional. También define conceptos básicos de vectores como magnitud, dirección y sentido.
Este documento presenta los seis sistemas cristalinos principales (hexagonal, trigonal, romboédrico, monoclínico, triclínico) y describe sus características fundamentales como ejes de simetría, ángulos entre ejes, formas de cristales y clases de simetría. También incluye los nombres de los estudiantes en el curso de Geología y su docente.
El documento presenta dos ejemplos de transformación de bases a bases ortonormales en el espacio euclidiano R3 mediante el proceso de Gram-Schmidt. En el primer ejemplo se transforma la base B1 = {(1,0,1), (0,0,1), (-1,1,0)} a la base ortonormal B1' = {(0,0,1), (-1,1,0), (1/√2,1/√2,0)}. En el segundo ejemplo se transforma la base B2 = {(1,0,1), (0,1,-1), (1,0
El documento resume la historia de las matemáticas desde sus orígenes en las comunidades humanas primitivas hasta la actualidad. Inicialmente, las personas desarrollaron de forma gradual el concepto de número para contar conjuntos. Luego, avanzaron hacia conceptos más abstractos de números y el desarrollo de la matemática se reflejó en la complejidad de las estructuras sociales. Civilizaciones como los egipcios, babilonios, griegos y árabes contribuyeron significativamente al desarrollo de las matemáticas a través de los siglos
Este documento describe los principios generales para representar las vistas de un objeto en dibujos técnicos. Explica que las vistas principales son proyecciones ortogonales del objeto sobre 6 planos que forman un cubo, denominando cada vista. También describe los sistemas Europeo y Americano para disponer las vistas en el papel y cómo se relacionan entre sí. Por último, explica conceptos como cortes, secciones y roturas que permiten representar objetos de forma más clara.
Estructura cristalina de los metales.
Comparación entre los 3 estados de agregación en los metales
Redes cristalinas de los metales
Mecanismo de cristalización
Tipos principales de redes cristalinas
Hexagonal compacto (HC)
Cúbico centrado en caras (C.C.C.)
Cúbico centrado (C.C.)
Notaciones cristalográficas
Este documento describe el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método consta de dos fases: eliminación de las incógnitas hacia adelante para obtener un sistema triangular superior, y luego sustitución hacia atrás para encontrar la solución. También incluye un ejemplo numérico resuelto paso a paso y las instrucciones para implementar el método utilizando Excel.
Este documento presenta varios ejercicios de transformada inversa de Laplace. Se resuelven funciones como X(s)=2s^2-9s-35/(s^2+4s+2) y X(s)=(3s^2+2s+1)/(s^3+5s^2+8s+4), obteniendo expresiones como x(t)=δ(t)-10.27e^(-4.578t)-6.73e^(-3.414t) y x(t)=2e^(-t)+e^(-2t)-9e^(-2t). También se explic
Este documento describe la geometría analítica del espacio tridimensional (R3). Introduce un sistema de coordenadas rectangulares en R3 con tres ejes perpendiculares (x, y, z) y ocho octantes. Explica cómo graficar un punto en R3 usando sus coordenadas y cómo calcular la distancia entre dos puntos usando el teorema de Pitágoras. También muestra cómo dividir un segmento en una razón dada encontrando las coordenadas del punto resultante.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
El documento introduce el sistema de coordenadas polares y explica cómo calcular las coordenadas polares y cartesianas de un punto. Define la convención de signos para el ángulo polar y el radio vector. Explica cómo transformar ecuaciones entre coordenadas polares y cartesianas usando fórmulas dadas. Proporciona ejemplos de cómo encontrar coordenadas y ecuaciones en ambos sistemas. Finalmente, discute cómo graficar ecuaciones dadas en coordenadas polares.
El documento presenta conceptos fundamentales sobre álgebra y funciones lineales, incluyendo producto cartesiano, distancia entre puntos, coordenadas del punto medio de un segmento, pendiente de una recta, ecuación punto-pendiente, ecuación de dos puntos, ecuación general de una recta, rectas paralelas y perpendiculares. Se proveen ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.
Este documento trata sobre magnitudes físicas y vectores. Explica conceptos como el sistema internacional de unidades, magnitudes escalares y vectoriales, y operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial. También presenta ejemplos del método científico y aplicaciones de vectores en física.
Este documento presenta ejemplos resueltos de sistemas lineales con parámetros. Explica cómo discutir sistemas lineales con parámetros según el rango de la matriz de coeficientes y los valores de los parámetros. También muestra cómo resolver sistemas lineales con parámetros mediante el método de Cramer.
Este documento presenta 33 ejercicios de análisis matemático para la selectividad. Los ejercicios cubren una variedad de temas como funciones, límites, derivadas, integrales, máximos y mínimos. Los ejercicios varían en complejidad y puntaje máximo, desde 1 punto hasta 3 puntos.
Este es el primero de los talleres del curso de Álgebra lineal orientado en la Universidad del Valle, sede Buga.
El taller esta enfocado a la práctica de operaciones con vectores (hay algunas aplicaciones).
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se representan y notan los conjuntos. Explica los símbolos para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto. También describe los diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos, unitarios y de conjuntos. Finalmente, introduce las relaciones entre conjuntos como la inclusión y la igualdad.
I. El documento presenta un modelo oficial de prueba de matemática para el proceso de admisión a la universidad, con preguntas similares a las que aparecerán en la prueba real.
II. En el diario El Mercurio se publicará un análisis de cada pregunta del modelo, incluyendo el porcentaje de respuestas correctas y errores comunes.
III. Este modelo fue elaborado por el Comité de Matemática de la Universidad de Chile y contiene 70 preguntas para que los estudiantes se preparen.
El documento trata sobre la Srta. Yanira Castro Lizana. En una oración breve, resume la información clave sobre la persona mencionada en el documento sin entrar en detalles.
Este documento presenta una discusión sobre el uso de computadoras en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Propone que los estudiantes aprendan matemáticas resolviendo problemas reales y comunicando sus estrategias, en lugar de simplemente aplicar técnicas. También explora cómo la tecnología como GeoGebra puede usarse para abordar problemas de nuevas maneras y adoptar un enfoque experimental de las matemáticas.
El documento presenta información sobre geometría y trigonometría. Se divide en dos partes principales: geometría plana y geometría del espacio. En la geometría plana se estudian figuras planas cuyos puntos están en un mismo plano, mientras que en la geometría del espacio se estudian figuras cuyos puntos no están en un mismo plano. Se definen conceptos básicos como puntos, rectas, ángulos y figuras geométricas.
Conteo de numeros(progresión aritmética)JENNER HUAMAN
El documento describe cómo Carl Gauss, a la edad de 8 años, pudo sumar rápidamente los números del 1 al 100 de forma mental utilizando una fórmula matemática. Su maestro había pedido a la clase que realizara esta suma como una tarea, y Carl fue el único que obtuvo la respuesta correcta de 5,050 sin mostrar los cálculos.
Este documento presenta un resumen de los temas de aritmética y álgebra que se enseñan en un centro preuniversitario en Tacna, Perú. Incluye capítulos sobre conjuntos, sistemas de numeración, las cuatro operaciones básicas, propiedades de los números, números fraccionarios, razones y proporciones, regla de tres, exponentes, polinomios, división, factorización y fracciones algebraicas. El documento es propiedad del Centro Pre Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.
Este documento contiene 40 preguntas de geometría sobre diferentes temas como circunferencias inscritas y circunscritas a triángulos, cálculo de radios, lados y ángulos en figuras geométricas. Las preguntas requieren calcular medidas, ángulos y lados desconocidos basándose en la información dada en cada figura.
Este documento presenta ejercicios y preguntas sobre conceptos básicos de la circunferencia y el círculo. Explica términos como radio, diámetro, arco, cuerda y sector circular. También cubre las posiciones relativas de circunferencias y rectas, como tangente, secante y exterior. Por último, introduce la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia a partir de su diámetro y el valor de pi. El documento proporciona ejemplos y preguntas para que los estudiantes practiquen y dem
Este documento presenta varios problemas geométricos analíticos. Primero, muestra cómo encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos. Luego, presenta cómo graficar una recta a partir de sus ecuaciones paramétricas y obtener su ecuación implícita. Finalmente, explica cómo calcular distancias entre puntos y rectas usando las coordenadas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre rectas y planos en el espacio tridimensional. Explica cómo representar puntos, hallar ecuaciones de rectas, calcular puntos medios y baricentros de triángulos en 3D. Muestra ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos geométricos fundamentales del espacio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre rectas y planos en el espacio tridimensional. Explica cómo representar puntos, hallar ecuaciones de rectas, calcular puntos medios y baricentros de triángulos en 3D. Muestra ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos geométricos fundamentales del espacio.
El documento presenta ejemplos de rectas en el plano y en el espacio. Explica cómo determinar si puntos están alineados o no, y cómo hallar ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas. También muestra cómo representar puntos en un sistema de coordenadas y calcular puntos medios y baricentros de triángulos.
El documento presenta ejemplos de rectas en el plano y en el espacio. Explica cómo determinar si puntos están alineados o no, y cómo hallar ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas. También muestra cómo representar puntos en un sistema de coordenadas y calcular puntos medios y baricentros de triángulos.
Este documento contiene un trabajo de matemáticas para grado décimo con problemas de ángulos, probabilidad, geometría y ecuaciones de rectas. El trabajo debe entregarse el viernes 23 de noviembre de 2012. Incluye problemas de transformación de ángulos de grados a radianes y viceversa, identidades trigonométricas, probabilidad, puntos medios, ecuaciones de rectas y determinación de si puntos son colineales.
Este documento presenta varios ejercicios sobre cálculo vectorial que involucran puntos, rectas y triángulos en el plano y el espacio. Los ejercicios cubren temas como representar puntos, hallar ecuaciones paramétricas y implícitas de rectas, calcular puntos medios, dividir segmentos en partes iguales, y localizar el baricentro de triángulos.
1. El documento presenta varios problemas de geometría analítica que involucran conceptos como puntos medios de segmentos, ecuaciones de rectas, distancias en el plano y haces de rectas.
2. Se piden hallar coordenadas de puntos, ecuaciones de rectas, distancias entre puntos y más.
3. Los problemas se resuelven encontrando relaciones entre las coordenadas de puntos extremos y puntos medios, y utilizando fórmulas como la distancia entre dos puntos dado por la raíz cuadrada de la suma de
Este documento contiene ejercicios de matemáticas sobre ángulos, probabilidad y geometría analítica. Incluye conversiones entre grados y radianes, cálculo de probabilidades, ecuaciones de rectas, puntos colineales y más. El documento presenta 66 ejercicios con instrucciones paso a paso para resolver cada uno.
Este documento contiene ejercicios de matemáticas sobre ángulos, probabilidad y geometría analítica. Incluye conversiones entre grados y radianes, cálculo de probabilidades, ecuaciones de rectas, puntos colineales y más. El documento presenta 66 ejercicios con instrucciones paso a paso para resolver cada uno.
Este documento contiene ejercicios de matemáticas sobre ángulos, probabilidad y geometría analítica. Incluye conversiones entre grados y radianes, cálculo de probabilidades, ecuaciones de rectas, puntos colineales y más. El documento presenta 66 ejercicios con instrucciones paso a paso para resolver cada uno.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con vectores y geometría analítica. Se piden calcular vectores dados puntos y viceversa, sumar y restar vectores, hallar módulos y argumentos de vectores, y representar gráficamente diferentes situaciones geométricas como rectas y circunferencias.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con vectores y geometría analítica. Incluye cálculos de vectores como sumas, restas y módulos. También incluye representaciones gráficas de rectas y puntos, y hallar ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados o son paralelas/perpendiculares a otras rectas.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con vectores y geometría analítica. Incluye cálculos de vectores como hallar el vector opuesto, la suma y resta de vectores, y el módulo y argumento de vectores. También cubre temas como puntos, rectas, pendientes, ecuaciones de rectas y distancias entre puntos.
El documento presenta varios ejercicios relacionados con rectas y planos en el espacio tridimensional. En el primer ejercicio, se comprueba que tres puntos dados no están alineados. En el segundo ejercicio, se piden las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita de una recta dada. En el tercer ejercicio, se localizan varios puntos en el espacio tridimensional.
Este documento presenta nueve ejercicios de álgebra y geometría para el segundo corte de Análisis Matemático I en la Universidad Arturo Michelena. Los ejercicios incluyen determinar ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados, representar gráficamente rectas y parábolas, y determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares a otras rectas o que pasan por vértices de parábolas. El documento también proporciona fórmulas útiles para resolver los ejercicios.
Este documento presenta varios ejercicios de geometría analítica que involucran vectores y puntos en el plano cartesiano. En el primer ejercicio, se describe un itinerario usando vectores y coordenadas. En el segundo, se analizan viajes por un río descritos por una expresión vectorial. El documento continúa resolviendo ejercicios sobre sumas y diferencias de vectores, puntos medios de segmentos, y si puntos están alineados o no.
Este documento presenta información sobre geometría analítica, incluyendo fórmulas para calcular la distancia entre puntos, coordenadas de puntos medios de segmentos, áreas de triángulos, ecuaciones de rectas, y más. El documento proporciona ejemplos y ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos.
Práctica saint michael matemática de octavoMCMurray
Este documento presenta 5 ejercicios de álgebra resueltos. Los ejercicios involucran sustituir valores numéricos en expresiones algebraicas, identificar monomios, calcular valores de funciones polinómicas en puntos específicos, y asociar puntos en un plano cartesiano con funciones polinómicas dadas.
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra lineal que involucran ecuaciones paramétricas y simétricas de rectas, ecuaciones de planos, determinar si planos son paralelos u ortogonales, e interceptar planos.
Este documento presenta 4 problemas de probabilidad. El primero pide calcular la probabilidad de sacar 1, al menos 1 o 3 cartas del mismo palo al sacar 3 cartas de una baraja. El segundo calcula diferentes probabilidades dados los eventos A y B. El tercero calcula la probabilidad de sacar una bola verde al sacarla de una urna después de mover 2 bolas de una urna a otra. El cuarto calcula la probabilidad de suspender un examen en función de quién lo elaboró y la probabilidad de que lo elaborara cada profesor.
El documento presenta 5 ejercicios de álgebra lineal y cálculo. El ejercicio 1 involucra matrices y su inversa. El ejercicio 2 pide calcular una matriz X. El ejercicio 3 analiza un sistema de ecuaciones lineales parametrizado y pide resolver casos específicos. El ejercicio 4 modela un problema de floristería. El ejercicio 5 estudia la derivabilidad de una función.
Este documento describe conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo: (1) la tasa de variación media y cómo se calcula, (2) la definición de derivada como un límite, y (3) algunas reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones compuestas o la derivada de la función inversa.
Este documento trata sobre los conceptos básicos de límites y continuidad de funciones. Explica la definición intuitiva y formal de límite de una función en un punto, así como los límites laterales y los límites en el infinito. También cubre las propiedades de los límites, los diferentes tipos de indeterminaciones y cómo resolverlas.
Examen 3 eva funciones 3ºf para elegir preguntasklorofila
El documento presenta 5 problemas de matemáticas relacionados con funciones y gráficas. El primer problema analiza una gráfica que muestra el trayecto de dos ciclistas en función del tiempo y la distancia, identificando las variables independiente y dependiente, comparando los tiempos y distancias de los ciclistas, y determinando si alguno se detuvo. El segundo problema halla la ecuación de una recta y una recta paralela a partir de puntos dados. El tercer problema estudia los componentes de una recta dada por su ecuación. El cuart
Este documento presenta 6 problemas de matemáticas. El primero pide resolver 2 ecuaciones. El segundo pide calcular la cantidad de peces en 3 peceras de tamaños diferentes si se distribuyen en proporción al tamaño. El tercer problema pide calcular el precio de un libro si Juan tiene 400€ y Rosa 350€ después de comprarlo. Los problemas 4 y 5 piden resolver sistemas de ecuaciones usando diferentes métodos. El sexto problema analiza un gráfico de afluencia de clientes en una tienda a lo largo del día y hace 4 pregunt
El documento contiene 7 preguntas de matemáticas sobre ecuaciones, inecuaciones y sistemas. La primera pregunta pide resolver una ecuación radical. La segunda y tercera preguntas involucran ecuaciones. La cuarta y quinta preguntas piden resolver inecuaciones dando el intervalo de soluciones. La sexta pregunta es sobre un sistema lineal. Y la última pregunta trata sobre un sistema de inecuaciones.
Este documento presenta 6 problemas matemáticos que incluyen: 1) racionalizar y operar raíces; 2) descomponer en factores y simplificar una expresión; 3) operar y simplificar fracciones; 4) resolver ecuaciones; 5) determinar el valor de m para que una ecuación tenga raíces en una relación dada; y 6) escribir operaciones de conjuntos como intervalos.
El documento presenta 34 problemas de ecuaciones y matemáticas, incluyendo problemas sobre mezclas, velocidades, geometría, porcentajes y edades. Los problemas involucran hallar números desconocidos, cantidades, precios y dimensiones usando ecuaciones y operaciones matemáticas básicas.
El documento presenta 5 problemas de geometría analítica sobre puntos, rectas y ecuaciones. El problema 1 pide hallar un punto R que verifique dos puntos dados. El problema 2 trata sobre rectas paralelas y resuelve una ecuación para m. El problema 3 pide escribir la ecuación de una recta paralela y determinar si un punto pertenece a una recta. El problema 4 determina un valor de k para que puntos estén alineados y halla un vector. El problema 5 pide ecuaciones para un lado y una mediana entre tres puntos.
1) La función f(x) = √x2+2−√5x2+3x+3 tiene asintotas verticales en x = -3 y x = 0 y no tiene asintotas horizontales.
2) a) El límite cuando x→0 es 1. b) El límite cuando x→-∞ es 0. c) El límite cuando x→-∞ es -2.
3) b = 5 para que el límite cuando x→-∞ sea 1/5.
4) La función f(x) es continua excepto en x = 3 donde hay discontinuidad por salto
1. El documento presenta 6 problemas de matemáticas relacionados con trigonometría y geometría. Los problemas incluyen hallar razones trigonométricas sabiendo un valor de tangente, determinar ángulos a partir de senos, cosenos y tangentes, calcular medidas en un trapecio isósceles, hallar puntos alineados y puntos medios entre puntos dados, y encontrar ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos dados.
El documento contiene 4 problemas relacionados con límites y asíntotas de funciones. El primer problema pide comprobar si una función tiene una asíntota vertical en x=2. El segundo problema pide determinar si una función tiene asíntotas horizontal y vertical y expresarlas algebraicamente. El tercer problema pide calcular 3 límites. El cuarto problema pide calcular el valor de a para que un límite sea igual a un valor dado.
Este documento presenta varios problemas de cálculo y álgebra. En la primera sección, se piden los límites de cuatro funciones, algunas de las cuales tienen asíntotas. La segunda sección contiene un sistema de ecuaciones lineales y una ecuación logarítmica. La tercera sección pide los dominios de dos funciones racionales. La cuarta sección solicita representar gráficamente una función por trozos e indicar sus discontinuidades.
El documento describe la construcción del triángulo de Sierpinski de manera iterativa, comenzando con un triángulo equilátero y dividiendo cada triángulo en tres copias más pequeñas en cada paso. Luego analiza las progresiones de triángulos, perímetros y áreas a medida que se repite el proceso. Finalmente, extiende el análisis a tres dimensiones considerando un tetraedro de Sierpinski.
Este documento presenta 6 problemas de geometría y álgebra. Problema 1) encuentra el punto C para que sea alineado con A y B o para que el vector BC tenga longitud √32. Problema 2) encuentra el punto D simétrico a A sobre B o que divida AB en 7 partes iguales. Problema 3) encuentra puntos y vector director de una recta dada y escribe la recta en paramétricas. Problema 4) calcula valores para un triángulo rectángulo. Problema 5) demuestra una igualdad trigonométrica
1. Pablo observa un accidente desde su ventana a 61° y luego desde la azotea a 10 metros más arriba a 37°. Se pide determinar la altura del edificio de Pablo.
2. Se piden calcular diferentes funciones trigonométricas racionalizando los resultados.
3. Dado un paralelogramo de lados 12 cm y 20 cm formando un ángulo de 48°, calcular su área.
1. 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA.
PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS
Página 188
;;;;;;
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Punto medio de un segmento
;;;;;;
Toma los puntos P (2, 5),
Q (10, 3) y represéntalos
en el plano:
;;;;;;
P (2, 5)
Q (10, 3)
I
I
;;;;;;
Localiza gráficamente el punto medio M del segmento PQ y da sus coordenadas.
¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q?
Haz lo mismo con los segmentos de extremos:
a) P' (5, 1), Q' (9, 7) b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5)
I Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las
coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.
I M (6, 4)
Q'
M ( 10 + 2 3 + 5
2
,
2 ) P (2, 5) Q"
M
M" M'
Q (10, 3)
P"
P'
I a) M' (7, 4)
b) M" (5, 3)
I Sean A (a1, a2) y B (b1, b2) los extremos de un segmento.
El punto medio de AB será M ( a1 + b1 a2 + b2
2
,
2
. )
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 1
2. Ecuaciones de la recta
x = –3 + 3t
Observa las siguientes ecuaciones:
y= 2t
I Comprueba que, dando a t los valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos que es-
tán todos sobre una recta.
x = 2 + 3t
I Comprueba que las ecuaciones corresponden también a una recta,
y= 4– t
hallando varios de sus puntos. (Dale a t los valores –2, –1, 0, 1, 2, 3 y repre-
senta los puntos correspondientes; comprobarás que todos están sobre la mis-
ma recta).
I Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo:
–– Despeja t en la primera ecuación.
–– Sustituye su valor en la segunda.
–– Reordena los términos de la ecuación resultante.
Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.
I
t –2 –1 0 1 2 3
(x, y) (–4, 6) (–1, 5) (2, 4) (5, 3) (8, 2) (11, 1)
Y
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)
(11, 1)
r
X
x–2
I t=
3 x–2 –x + 14
→ = 4 – y → x – 2 = 12 – 3y → y = →
3 3
t=4–y
–1 14
→ y= x+
3 3
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 2
3. Página 189
Distancias en el plano
s
Q (5, 7)
P (3, 2)
r
I Halla la distancia de P y de Q a cada una de las rectas r y s.
I Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del Teorema de Pitágoras).
I Halla, también, la distancia entre:
a) P' (0, 5), Q' (12, 0) b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)
I d (P, r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5 = d (Q, s )
— — —
I d (P, Q ) = PQ → PQ 2 = 32 + 42 = 25 → PQ = 5
— — —
I a) d (P', Q' ) = P'Q' → P'Q' 2 = 52 + 122 = 169 → P'Q' = 13
— — —
b) d (P", Q" ) = P"Q" → P"Q" 2 + 42 + 32 = 25 → P"Q" = 5
I d (A, B ) = √ (b1 – a1)2 + (b2 – a2)2 , donde A (a1, a2) y B (b1, b2).
→
d (A, B ) = AB
Página 191
→ →
1. Halla las coordenadas de MN y NM, siendo M (7, –5) y N (–2, –11).
→
MN = (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)
→
NM = (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)
2. Averigua si están alineados los puntos P (7, 11), Q (4, –3) y R (10, 25).
→
PQ = (–3, –14) –3 –14
→ → = → A, B y C están alineados.
QR = (6, 28) 6 28
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 3
4. 3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A (1, 7), B (–3, 4),
C (k, 5) estén alineados.
→
AB = (–4, –3) –4 –3 –5
→ → k + 3 = 1 → –4 = –3k – 9 → 3k = –5 → k = 3
BC = (k + 3, 1)
Página 192
4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1):
a) Halla el punto medio de PQ.
b) Halla el simétrico de P respecto de Q.
c) Halla el simétrico de Q respecto de P.
— —
d) Obtén un punto A de PQ tal que PA/AQ = 2/3.
— —
e) Obtén un punto B de PQ tal que PB/PQ = 1/5.
a) M ( 3 + 8 , 9 + 2( –1) ) = ( 11 , 4)
2 2
b) 3 + x P (3, 9)
—––––– = 8 → x = 13
2
→ P' (13, –11) Q (8, 1)
9+y
—––––– = –1 → y = –11
2 P' (x, y)
c) Llamamos Q' (x', y') al simétrico de Q respecto de P.
Así: x' + 8 Q'
—––––– = 3 → x' = –2
2
Q' (–2, 19) P
y' + (–1)
—–––––––– = 9 → y' = 19
2 Q
d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:
→ 2 → 2
PA = AQ → (x – 3, y – 9) = (8 – x, –1 – y)
3 3
2
x – 3 = — (8 – x) → x = 5
3
A (5, 5)
2
y – 9 = — (–1 – y) → y = 5
3
e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos.
→ 1 → 1
PB = PQ → (x – 3, y – 9) = (5, –10) = (1, –2)
5 5
x–3=1 → x=4
B (4, 7)
y – 9 = –2 → y = 7
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 4
5. Página 194
1. Escribe las ecuaciones paramétricas de las rectas:
→
a) Que pasa por A (–3, 7) y tiene una dirección paralela al vector d (4, –7).
→
b) Que pasa por M (5, 2) y es paralela a d '(2, 2).
En ambos casos, dando valores al parámetro, obtén otros cinco puntos de la
recta.
→ → →
a) OX = OA + t d → (x, y) = (a1, a2) + t (d1, d2) →
x = a1 + td1 x = – 3 + 4t
→ →
y = a2 + td2 y = 7 – 7t
t –2 –1 0 1 2 3
(x, y) (–11, 21) (–7, 14) (–3, 7) (1, 0) (5, –7) (9, –14)
→ → →
b) OX = OM + t d' → (x, y) = (m1, m2) + t (d '1, d '2) →
x = m1 + td '1 x = 5 + 2t
→ →
y = m2 + td '2 y = 2 + 2t
t –2 –1 0 1 2 3
(x, y) (1, –2) (3, 0) (5, 2) (7, 4) (9, 6) (11, 8)
2. Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por:
a) P (5, –2) y Q (0, 4) b) M (3, 7) y N (3, 0)
c) A (0, 0) y B (7, 0) d) R (1, 1) y S (3, 3)
→ x = 5 – 5t
a) El vector dirección es: PQ = (–5, 6) →
y = –2 + 6t
→ → x=3
b) d = MN = (0, –7) →
y = 7 – 7t
→ → x = 7t
c) d = AB = (7, 0) →
y=0
→ → x = 1 + 2t
d) d = RS = (2, 2) →
y = 1 + 2t
x = 1 + 3t
3. Halla k para que S (–5, k) pertenezca a r :
y = 2 – 4t
–5 = 1 + 3t → t = –6/3 = –2
→ k = 2 – 4(–2) = 10
k = 2 – 4t
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 5
6. Página 195
1. Halla el ángulo que forman las siguientes rectas:
x = 3 – 2t x = 1 – 4t
r 1: r 2:
y=7+t y = 4 + 3t
→ →
Los vectores directores de r1 y r2 son, respectivamente, d1 (–2, 1) y d2 (–4, 3).
→ →
d1 · d2 8+3 11 11 √ 5
cos α = → → = — — = = ≈ 0,984 → α = 10° 18' 17,4"
d d
1 2
√ 5 · √ 25 5 √5 25
2. Obtén para las rectas del ejercicio anterior:
a) La paralela a r 1 que pase por el punto (5, 7).
b) Una perpendicular a r 2 que pase por (0, 0).
→ →
a) r // r1 d = d1 → r : x = 5 – 2t
→
P (5, 7) ∈r P ∈r y=7+t
→ → →
b) r' ⊥ r2 → d' ⊥ d2 → d' = (3, 4) → r ' : x = 3t
P (0, 0) y = 4t
Página 196
1. Considera las siguientes rectas:
x = 7 + 5t x=2+t x = 5 + 3t x = 5 – 2t
r 1: r 2: r 3: r 4:
y = –2 – 3t y = 1 – 2t y = –5 – 6t y = –12 + 4t
Halla la posición relativa de r 1 y r 2, r 2 y r 3, r 3 y r 4.
• Posición relativa de r1 y r2
7 + 5t = 2 + s 5t – s = –5
Por 2 la 1- ecuación y se suman:
ª
–2 – 3t = 1 – 2s –3t + 2s = 3
10t – 2s = –10
–3t + 2s = 3
7t = –7 → t = –1 → de la 1- ecuación: s = 5 + 5(–1) = 0
ª
Como tiene solución única, entonces r1 y r2 se cortan en el punto P (2, 1) (que
se obtiene sustituyendo t = –1 en r1 o s = 0 en r2).
• Posición relativa de r2 y r3
2 + s = 5 + 3t s – 3t = 3
Las dos ecuaciones son equivalentes.
1 – 2s = –5 – 6t –2s + 6t = –6
Luego el sistema tiene infinitas soluciones. Por tanto, r2 = r3 (son la misma recta).
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 6
7. • Posición relativa de r3 y r4
5 + 3t = 5 – 2s 3t + 2s = 0
→ No tienen solución.
–5 – 6t = –12 + 4s –6t – 4s = –7
Luego no tienen ningún punto en común. Por tanto, son paralelas.
Es decir, r3 // r4 .
Página 197
1. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que tiene por ecuación:
5x – 3y + 8 = 0
x=t
Sea x = t → 5t – 3y + 8 = 0 →
y = 8/3 + (5/3) t
NOTA – 2-
º MÉTODO
El vector (5, –3) es perpendicular a r. Por tanto, el vector (3, 5) es paralelo a r. Po-
demos tomarlo como vector dirección:
→
d = (3, 5)
Si x = 0 → y =
8
3
. Luego 0, ( )
8
3
∈r
Así, las ecuaciones paramétricas son:
x = 3t
r:
y = 8/3 + 5t
(equivalente a la obtenida por el otro método).
x = 5 – 3t
2. Halla la ecuación implícita de la recta:
y = –1 + 2t
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y las sumamos:
2x = 10 – 6t
3y = –3 + 6t
2x + 3y = 7 → r : 2x + 3y – 7 = 0
x–5
NOTA – 2-
º MÉTODO: x = 5 – 3t → t =
–3 x–5 y+1
=
y+1 –3 2
y = –1 + 2t → t =
2
2x – 10 = –3y – 3
r : 2x + 3y – 7 = 0
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 7
8. Página 199
1. Escribe la ecuación de la recta de pendiente 3 y cuya ordenada en el origen es –5.
m=3
→ r : y = –5 + 3(x – 0) →
P (0, –5) ∈r
→ r : y = 3x – 5 → ECUACIÓN EXPLÍCITA
→ r : 3x – y – 5 = 0 → ECUACIÓN IMPLÍCITA
2. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:
a) (–7, 11), (1, 7) b) (3, –2), (1, 4)
c) (6, 1), (11, 1) d) (–2, 5), (–2, 8)
y1 – y0 7 – 11 –4 –1 –1
a) m = = = = y–7= (x – 1)
x1 – x0 1 – (–7) 8 2 2
Tomando el punto (1, 7) x + 2y – 15 = 0
4+2 6
b) m = = = –3 y – 4 = –3 (x – 1)
1–3 –2
Tomando el punto (1, 4) 3x + y – 7 = 0
1–1
c) m = =0
11 – 6 y–1=0 → y=1
Tomando el punto (6, 1)
8–5
d) m = ¡Imposible! Entonces, no tiene pendiente.
–2 + 2
No se puede poner de forma explícita. Es la recta x = –2, paralela al eje Y.
3. Halla dos puntos de la recta y = –3x + 4. Calcula a partir de ellos su pendiente,
y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación.
Si x = 0 → y = 4 → A (0, 4) ∈r
Si x = 1 → y = 1 → B (1, 1) ∈r
1–4 –3
;;;
m= = = –3
1–0 1
Efectivamente, es la de la recta y = –3x + 4.
;;;
4. s r Escribe las ecuaciones de las rectas representadas.
;;;
t
m = –1/2 –1
s: s → Como s : y = mx + n → s : y = x+3
Ps (0, 3) 2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 8
9. m = 2/3 2 m =0
r: s → r: y = x + 2; t : t → t: y = 1
Pr (0, 2) 3 Pt (0, 1)
Página 201
1. Averigua la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
–x + 3y + 4 = 0 5x + y + 3 = 0
a) b)
3x – 9y – 12 = 0 x – 2y + 16 = 0
Se puede resolver el sistema o bien observar los coeficientes y el término indepen-
diente de ambas ecuaciones:
A –1 3 B 4 C
a) = = = = =
A' 3 –9 B' –12 C'
A B C
Es decir: = = → Son la misma recta.
A' B' C'
5 1 A B
b) ≠ → ≠ → Las rectas se cortan en un punto.
1 –2 A' B'
Para calcular el punto de corte, bastará con resolver el sistema.
Despejando en la primera ecuación: y = –3 – 5x
Sustituyendo en la segunda ecuación:
x – 2(–3 – 5x) + 16 = 0 → x + 6 + 10x + 16 = 0 → 11x = –22 → x = –2
Con lo que:
y = –3 – 5 (–2) = 7 → (x, y) = (–2, 7) → Punto de corte
2. ¿Cuál es la posición relativa de estos dos pares de rectas?
3x + 5y – 8 = 0 2x + y – 4 = 0
a) b)
6x + 10y + 4 = 0 x–y =0
3 5 –8 A B C
a) = ≠ → = ≠ → Son paralelas.
6 10 4 A' B' C'
b) 2x + y – 4 = 0 2x + x – 4 = 0 3x = 4 → x = 4/3
x–y =0 x = y y = 4/3
Son dos rectas que se cortan en el punto (4/3, 4/3)
Página 202
1. Obtén la distancia entre los siguientes pares de puntos:
a) (3, –5), (1, 4) b) (0, 7), (–5, 7) c) (–2, 5), (–3, –7) d) (8, 14), (3, 2)
→
a) dist (P, Q) = PQ = √ (1 – 3)2 + (4 + 5)2 = √ 4 + 81 = √ 85
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 9
10. →
b) dist (P, Q) = PQ = √ (–5 – 0)2 + (7 – 7)2 = √ 25 + 0 = 5
→
c) dist (P, Q) = PQ = √ (–3 + 2)2 + (–7 – 5)2 = √ 145
→
d) dist (P, Q) = PQ = √ (3 – 8)2 + (2 – 14)2 = √ 169 = 13
2. Halla la distancia de Q (–3, 4) a las siguientes rectas:
x–1 y–4 x = 1 – 2t x y
a) 2x + 3y = 4 b) = c) d) + = 1
2 5 y = 3 – 6t 2 3
a) 2x + 3y – 4 = 0
2 · (–3) + 3 · 4 – 4 –6 + 12 – 4 2 √ 13
dist (Q, r ) = = = ≈ 0,55
√ 22 + 32 √ 13 13
x–1 y–4
b) = → 5x – 5 = 2y – 8 → 5x – 2y + 3 = 0
2 5
5 · (–3) – 2 · 4 + 3 –15 – 8 + 3 20 √ 29
dist (Q, r ) = = = ≈ 3,71
√ 52 + (–2)2 √ 29 29
x–1
c) t =
–2 x–1 y–3
→ –6x + 6 = –2y + 6 → 6x – 2y = 0 → 3x – y = 0
=
y–3 –2 –6
t=
–6
3 · (–3) – 4 –9 – 4 13 13 √ 10
dist (Q, r ) = = = = ≈ 4,11
√9 + 1 √ 10 √ 10 10
d) 3x + 2y = 6 → 3x + 2y – 6 = 0
3 · (–3) + 2 · 4 – 6 –9 + 8 – 6 7 √ 13
dist (Q, r ) = = = ≈ 1,94
√ 32 + 22 √ 13 13
Página 207
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Ecuaciones de la recta
1 Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A (–3, 7) y
→
tiene una dirección paralela al vector d (4, –1). Dando valores al parámetro,
obtén otros cinco puntos de la recta.
x = –3 + 4t t –2 –1 1 2 3
y= 7– t (x, y) (–11, 9) (–7, 8) (1, 6) (5, 5) (9, 4)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 10
11. 2 Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por:
a) P (6, –2) y Q (0, 5) b) M (3, 2) y N (3, 6) c) A (0, 0) y Q (8, 0)
Halla, en todos los casos, la ecuación implícita.
→ x = 6 – 6t x = –6t
a) PQ = (–6, 7) → r: ≡ r: →
y = –2 + 7t y = 5 + 7t
(Usando el punto P ) (Usando Q )
x
→ t=
–6 x y–5
y–5 → =
t= –6 7
7
→ 7x = –6y + 30 → r : 7x + 6y – 30 = 0
→ x=3
b) MN = (0, 4) → r : x = 3 → recta paralela al eje Y
y = 2 + 4t
→ x = 8t
c) AQ = (8, 0) → r : → r : y = 0 → eje X
y=0
3 Halla las ecuaciones paramétricas de cada una de las siguientes rectas:
a) 2x – y = 0 b) x – 7 = 0 c) 3y – 6 = 0 d) x + 3y = 0
x=t
a) Si x = t → 2t – y = 0 → y = 2t → r :
y = 2t
x=7 x=t x = –3t
b) c) d)
y=t y = 6/3 = 2 y=t
4 Escribe las ecuaciones paramétricas e implícitas de los ejes de coordenadas.
☛ Ambos ejes pasan por el origen de coordenadas y sus vectores directores son los
vectores de la base.
O (0, 0) ∈ eje X x=t
Eje X : → → Eje X : → y=0
dX = (1, 0) y=0
O (0, 0) ∈ eje Y x=0
Eje Y : → → Eje Y : → x=0
dY = (0, 1) y=t
5 Halla la ecuación de la paralela a 2x – 3y = 0 cuya ordenada en el origen es –2.
☛ La recta pasa por el punto (0, –2 ).
r : 2x – 3y = 0
s // r → pendiente de s ha de ser igual a la de r
P (0, –2) ∈s
m = mr = 2/3 2
→ s → y= x–2 → 2x – 3y – 6 = 0
P (0, –2) ∈s 3
ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 11
12. 6 Dada la recta 4x + 3y – 6 = 0, escribe la ecuación de la recta perpendicular a
ella en el punto de corte con el eje de ordenadas.
☛ El eje de ordenadas es el vertical: x = 0.
• Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de or-
denadas.
4x + 3y – 6 = 0
r: → 4 – 0 + 3y – 6 = 0 → 3y = 6 → y = 2
Eje Y : x = 0
Luego P (0, 2) ∈r y también debe ser P (0, 2) ∈s, donde s ⊥ r.
• Como s ⊥ r → sus pendientes deben cumplir:
–1 –1 3
ms · mr = –1 → ms = = =
mr –4/3 4
3 3
• Como P (0, 2) ∈s y ms = → y = x + 2 → 3x – 4y + 8 = 0
4 4
7 Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:
→ →
a) Su vector de posición es a (–3, 1) y su vector de dirección v (2, 0).
x=1–t
b) Pasa por A (5, –2) y es paralela a:
y = 2t
c) Pasa por A (1, 3) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 6 = 0.
d) Es perpendicular al segmento PQ en su punto medio, siendo P (0, 4) y
Q (–6, 0), en su punto medio.
a) La ecuación vectorial será:
→ → → x = –3 + 2t
OX = a + t v → (x, y) = (–3, 1) + t (2, 0) →
y=1
b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al de
x=1–t
la recta (pues debe ser paralela a ella).
y = 2t
→
Luego: d (–1, 2)
x=5–t
Como debe pasar por A(5, –2) →
y = –2 + 2t
c) La pendiente de la recta r : 2x – 3y + 6 = 0 es:
2 –3
mr = → ms = (pues mr · ms = –1 por ser r ⊥ s)
3 2
Un vector director puede ser → = (2, –3).
s
Además, A (1, 3) ∈s.
x = 1 + 2t
Por tanto, s :
y = 3 – 3t
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 12
13. d) El punto medio de PQ es m ( –6 , 4 ) = (–3, 2)
2 2
→
PQ = (– 6, –4)
m (–3, 2) ∈s
→ → → →
d (4, –6) es un vector director de s, pues d ⊥ PQ
x = –3 + 4t
Luego, s :
y = 2 – 6t
Coordenadas de puntos
8 El punto P (5, –2) es el punto medio del segmento AB, y conocemos
A (2, 3). Halla B.
☛ Si B = (x, y), ( x+2 y+3
2
,
2 )
= (5, –2 )
Si B = (x, y)
→
Como P es punto medio de AB
( x + 2 , y + 3 ) = (5, –2) →
2 2
x + 2 = 10 → x = 8
→ → B = (8, –7)
y + 3 = –4 → y = –7
9 Halla el punto simétrico de P (1, –2) respecto del punto H (3, 0).
☛ H es el punto medio entre P y su simétrico.
Si P' (x, y) es simétrico de P (1, –2) respecto de H (3, 0) →
→ H es el punto medio de PP' →
→ ( x + 1 , y – 2 ) = (3, 0) → x –+ 21 == 06 → yx == 25 → P' (5, 2)
2 2
y
→
10 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo
que A (1, 2), B (5, –1) y C (6, 3).
D (x, y)
Sea D (x, y).
→ →
Debe cumplirse: AB = DC
(5 – 1, –1 – 2) = (6 – x, 3 – y) → C (6, 3)
A (1, 2)
4=6–x x=2
→ → → D (2, 6)
–3 = 3 – y y=6
B (5, –1)
11 Da las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos
→ →
A (3, 4) y B (0, –2) en dos partes tales que BP = 2 PA.
Sea P (x, y).
Sustituimos en la condición que nos imponen:
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 13
14. → →
BP = 2 PA → (x – 0, y – (–2)) = 2 (3 – x, 4 – y) →
x = 2 (3 – x) x = 6 – 2x 3x = 6
→ → → →
y + 2 = 2 (4 – y) y + 2 = 8 – 2y 3y = 6
x=2
→ → P (2, 2)
y=2
12 Determina k para que los puntos A (–3, 5), B (2, 1) y C (6, k) estén aline-
ados.
→ →
Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales.
→
AB = (5, –4) 5 –4 –11
→ → = → 5k – 5 = –16 → k =
BC = (4, k – 1) 4 k–1 5
Distancias
13 Halla la distancia del punto P (2, –3) a las siguientes rectas:
x = 2t 9
a) b) y = c) 2x + 5 = 0
y = –t 4
a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta:
t = x/2 x
→ = –y → x + 2y = 0
t = –y 2
Entonces:
4 √5
dist (P, r ) =
1 · 2 + 2 (–3)
=
2 – 6 4
= =
√ 12 + 22 √5 √5 5
9 9
b) y = → y– =0
4 4
Por tanto:
dist (P, r ) =
1 (– 3) – 9/4
=
–3 – 9/4 21
=
√ 02 + 12 √1 4
c) dist (P, r ) =
2 · 2 + 5 9
=
√2 2 + 0 2
14 Calcula la distancia del origen de coordenadas a las siguientes rectas:
a) 3x – 4y + 12 = 0 b) 2y – 9 = 0
c) x = 3 d) 3x – 2y = 0
a) dist (0, r ) =
3 · 0 – 4 · 0 + 12 12
=
√3 2 + (–4)2 5
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 14
15. b) dist (0, r ) =
2 · 0 – 9 9
=
√ 02 + 22 2
c) dist (0, r ) =
0 – 3 3
= =3
√1 2 + 02 1
d) dist (0, r ) =
3 · 0 – 2 · 0 0
= =0
√3 2 + 22 √ 13
(es decir, la recta 3x – 2y = 0 pasa por el origen).
15 Halla la longitud del segmento que determina la recta x – 2y + 5 = 0 al cor-
tar a los ejes de coordenadas.
Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de
coordenadas.
Calculamos primero dichos puntos:
x – 2y + 5 = 0 5
• → –2y + 5 = 0 → y = →
x=0 2
→ A 0,( 5 ) es el punto de corte con el eje Y
2
x – 2y + 5 = 0
• → x+5=0 → x=5 →
y=0
→ B (5, 0) es el punto de corte con el eje X
—
• Luego AB = dist (A, B ) = (
(5 – 0)2 + 0 –
2)
5 2
=
= 25 +
25
4
=
√ 125
4
=
5
2
√5
16 Halla la distancia entre las rectas r : x – 2y + 8 = 0 y r' : –2x + 4y – 7 = 0.
☛ Comprueba que son paralelas; toma un punto cualquiera de r y halla su distan-
cia a r '.
1
Sus pendientes son mr = = mr ' → Son paralelas.
2
Entonces, la distancia entre r y r ' será:
dist (P, r ' ) donde P ∈r
Sea x = 0.
–8
Sustituyendo en r → y = = 4 → P (0, 4) ∈r
–2
Así:
9 √5
dist (r, r ' ) = dist (P, r ' ) =
–2 · 0 + 4 · 4 – 7
=
16 – 7 9
= =
√ (–2)2 + 42 √ 20 2 √5 10
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 15
16. 17 Determina c para que la distancia de la recta x – 3y + c = 0 al punto (6, 2)
sea de √10 unidades. (Hay dos soluciones).
dist (P, r ) =
1 · 6 – 3 · 2 + c
=
6 – 6 + c
= = √ 10
c
√1 + 9 √ 10 √ 10
c = √ 10 → c = 10
1
√ 10
Hay dos soluciones:
c = – √ 10 → c = –10
2 =0
√ 10 – 3y
+ 10
x
P
Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas:
0=0
y–1
x–3
18 Calcula el valor de a para que la distancia del punto P (1, 2) a la recta
ax + 2y – 2 = 0 sea igual a √2 .
dist (P, r ) = √ 2 →
a · 1 + 2 · 2 – 2
= √2 →
√a 2 + 4
a+2
= √ 2 → a + 2 = √ 2 (a 2 + 4)
√a 2 + 4
⇒
a + 2 = – √ 2 → a + 2 = – √ 2 (a 2 + 4)
√a + 4
2
Al elevar al cuadrado obtenemos la misma ecuación en ambos casos.
→ (a + 2)2 = 2 (a 2 + 4) → a 2 + 4a + 4 = 2a 2 + 8 →
4 ± √ 16 – 16
→ a 2 – 4a + 4 = 0 → a = =2
2
Página 208
Ángulos
19 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
y = 2x + 5 3x – 5y + 7 = 0
a) b)
y = – 3x + 1 10x + 6y – 3 = 0
x = 3 – t x = –1 – 3t 2x – y = 0
c) c)
y = 2t y=4+t 2y + 3 = 0
a) r : y = 2x + 5 → sus pendientes son: mr = 2
m = –3
s : y = –3x + 1 s
mr – ms
1 + m m = 1 + 2 (–3) = –5 = 1 → α = 45°
2 – (–3) 5
tg α =
r s
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 16
17. →
b) v = (3, –5) ⊥ r1
→ →
→ → α ≡ r1 r2 = v, w →
w = (10, 6) ⊥ r2
→ →
v · w 30 – 30
→ cos α = = = 0 → α = 90°
→ → → →
v w v w
c) Los vectores directores de esas rectas son:
→ →
d1 = (–1, 2) y d2 = (–3, 1)
Entonces:
→ →
d1 · d2 √ 2 → α = 45°
cos α = → → =
3 + 2 5 1
— — = = =
d1 d2 √ 5 · √10 5 √2 √2 2
→
d) a1 = (2, –1) ⊥ r1
→ →
→ → α ≡ r1 r2 = a1, a2 →
a2 = (0, 2) ⊥ r2
→ →
a1 · a2
0 – 2 2 1 √5 =
→ cos α = → → = — — = = =
a1 a2 √5 · √4 √5 · 2 √5 5
≈ 0,4472 → α = 63° 26' 5,82"
20 ¿Qué ángulo forma la recta 3x – 2y + 6 = 0 con el eje de abscisas?
☛ No es necesario que apliques ninguna fórmula. Sabes que la pendiente de r es la
tangente del ángulo que forma r con el eje de abscisas. Halla el ángulo con la pen-
diente de r.
3
La pendiente de r es mr = .
2
La pendiente de r es, además, tg α:
3
mr = tg α → tg α = → α = 56° 18' 35,8"
2
Y
r
α
X
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 17
18. 21 ¿Qué ángulo forma la recta 2x – y + 5 = 0 con el eje de ordenadas?
☛ El ángulo pedido es el complementario del ángulo que la recta forma con el eje
de abscisas.
1
El ángulo pedido, α, es complementario de β → tg β =
tg α
Por otro lado, tg β = mr = 2:
1 1
tg α = = → α = 26° 33' 54,2"
tg β 2
Y r
α
X
β
22 Calcula n de modo que la recta 3x + ny – 2 = 0 forme un ángulo de 60° con
el OX.
Y tg 60° = √ 3
r
3 Como tg 60° = mr , se tiene que:
mr = –
n
60°
3 –3 –3 √ 3
X √3 = – → n= = = – √3
n √3 3
PARA RESOLVER
23 Calcula m y n en las rectas de ecuaciones:
r : mx – 2y + 5 = 0 s : nx + 6y – 8 = 0
sabiendo que son perpendiculares y que r pasa por el punto P (1, 4).
☛ Las coordenadas de P deben verificar la ecuación de r. Así calculas m. Expre
sa la perpendicularidad con vectores o con pendientes y halla n.
• P (1, 4) ∈r → m · 1 – 2 · 4 + 5 = 0 → m = 3
• (m, –2) ⊥ r
(n, 6) ⊥ s → (m, –2) ⊥ (n, 6) →
Como deben ser r ⊥ s
→ (m, –2) · (n, 6) = 0 → m · n + (–2) · 6 = 0 →
→ 3n – 12 = 0 → n = 4
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 18
19. m –n
NOTA: Usando las pendientes mr = y ms = , para que r ⊥ s debe ser
2 6
mr · ms = –1, es decir:
( )
;;;
m –n
· = –1 → –mn = –12 → –3n = –12 → n = 4
2 6
;;;
24 Halla las ecuaciones de las rectas r, s, t y p. Y 30°
Y t s
;;;
s
t p p X
30° r
r
30°
180° – β
α β
X
r
• p : Pasa por los puntos (–3, –3) y (1, 4).
Así, su pendiente es:
4 – (–3) 7
m= =
1 – (–3) 4
Por tanto:
7
p: y = 1 + (x – 4) → 7x – 4y + 9 = 0
4
• r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto 0, ( –3
2).
Por tanto:
3
r: y = –
2
• s : Su vector director es (0, 1) y pasa por (2, 0).
Por tanto:
x=2
s:
y=t
• t : Pasa por los puntos (1, 0) y (–3, 2).
Así, su pendiente es:
2–0 2 1
m= = =–
–3 – 1 –4 2
Por tanto:
1
t: y = – (x – 1) → x + 2y – 1 = 0
2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 19
20. x = –1 + 3t
25 Dada la recta r : halla k de modo que r sea paralela a la
y = 2 + kt
bisectriz del segundo cuadrante.
x = –t
• La bisectriz del segundo cuadrante es x = –y → (en paramétricas).
→ y=t
Su vector director es d = (–1, 1).
→
• El vector director de r es r = (3, k ).
• Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores
directores deben ser proporcionales:
–1 1
= → k = –3
3 k
26 En el triángulo de vértices A(–2, 3), B (5, 1), C (3, –4), halla las ecuaciones de:
a) La altura que parte de B.
b) La mediana que parte de B.
c) La mediatriz del lado CA.
a) La altura que parte de B, hB, es una recta perpendicular a AC que pasa por el
punto B:
→
hB ⊥ AC (5, –7) → el vector director de hB es hB (7, 5)
→
B (5, 1) ∈hB
x–5
t=
x = 5 + 7t 7 x–5 y–1
→ hB : → → = →
y = 1 + 5t t= y–1 7 5
5
→ hB : 5x – 7y – 18 = 0
b) mB (mediana que parte de B ) pasa por B y por el punto medio, m, de AC :
( –2 2+ 3 , 3 – 4 ) = ( 1 , – 1 ) ∈m
m B
2 2 2 →
B (5, 1) ∈mB
( ) ( ) es vector director de m .
→ 1 1 9 3
→ mB 5 – , 1 + = , B
2 2 2 2
Luego: x=5+ 9
t 2x = 10 + 9t
2
mB :
→
→
y=1+ 3
t t = 2y – 2
2 3
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 20
21. t = 2x – 10
9
2x – 10 2y – 2
→ → = → mB : 6x – 18y – 12 = 0
t= 2y – 2 9 3
3
c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado,
m'. Así:
→ →
CA = (–5, 7) ⊥ z → vector director de z : z (7, 5)
→
( ) ( )
3 – 2 –4 + 3 1 1
m' , = ,– ∈z
2 2 2 2
1 2x – 1
x = + 7t t =
2 14 2x – 1 2y + 1
→ z: → → = →
y = – 1 + 5t t = 2y + 1 14 10
2 10
→ z : 20x – 28y – 24 = 0 → z : 5x – 7y – 6 = 0
27 La recta 2x + 3y – 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de coordenadas, un
segmento AB.
Halla la ecuación de la mediatriz de AB.
☛ Después de hallar los puntos A y B, halla la pendiente de la mediatriz, inversa y
opuesta a la de AB. Con el punto medio y la pendiente, puedes escribir la ecuación.
Y
A
B
X
2x + 3y – 6 = 0
• A = r I eje Y : → 3y – 6 = 0 → y = 2 → A (0, 2)
x=0
2x + 3y – 6 = 0
• B = r I eje X : → 2x – 6 = 0 → x = 3 → B (3, 0)
y=0
→ →
• AB = (3, –2) ⊥ mAB (mediatriz de AB ) → mAB = (2, 3)
→
( 3 , 2 ) = ( 3 , 1) (punto medio de AB ) ∈mediatriz
mAB
2 2 2
2 (
x– ) → y=
3 3 3 5
→ y–1= x– → m : 6x – 4y – 5 = 0
AB
2 2 4
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 21
22. 28 Determina los puntos que dividen al segmento AB, A (–2, 1), B (5, 4), en tres
partes iguales.
→ 1 →
☛ Si P y Q son esos puntos, AP = AB.
3
→ → —
Escribe las coordenadas de AP y de AB y obtén P. Q es el punto medio de PB
B
Q
P
A
→ 1 → 1
• AP = AB → (x + 2, y – 1) = (7, 3) →
3 3
7 7 1
x+2= → x= –2=
→
y–1=
3
3
3
→ y= 1 + 1 = 2
3
→ P ( 1 , 2)
3
3
• Q es un punto medio de PB → Q ( 1/32+ 5 , 2 + 4 ) → Q ( 8 , 3)
2 3
→ →
29 ¿Qué coordenadas debe tener P para que se verifique que 3 PQ – 2 QR = 0,
siendo Q (3, 2) y R (–1, 5)?
→ →
3 PQ = 2 QR → 3 (3 – x, 2 – y ) = 2 (–4, 3) →
x = 17
9 – 3x = –8
→
6 – 3y = 6
→
y= 0
3 → P 17 , 0
3 ( )
30 Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un parale-
logramo. Compruébalo con el cuadrilátero de vértices:
A (3, 8) B (5, 2) C (1, 0) D (–1, 6)
B P ( 5 + 3 , 8 + 2 ) = (4, 5)
2 2
P Q (3, 1); R (0, 3); S (1, 7)
→
A PQ = (3 – 4, 1 – 5) = (–1, –4) → →
→ PQ = SR
Q
S SR = (0 – 1, 3 – 7) = (–1, –4)
→
D SP = (4 – 1, 5 – 7) = (3, –2) → →
→ SP = RQ
R RQ = (3 – 0, 1 – 3) = (3, –2)
C
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 22
23. 31 Halla el pie de la perpendicular trazada desde P (1, –2) a la recta
r : x – 2y + 4 = 0.
☛ Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r.
P (1, –2) r : x – 2y + 4 = 0
P' (x, y)
s
→
Sea s la recta perpendicular a r desde P y r = (2, 1) vector director de r.
→ → → → → →
Así, PP' ⊥ r ⇒ el vector director de s, s, también es perpendicular a r ( s ⊥ r ),
→
luego podemos tomar s (1, –2). Como P (1, –2) ∈s :
x=1+t → t=x–1
y+2
s: y+2 → x–1= → –2x + 2 = y + 2 →
y = –2 – 2t → t = –2 –2
→ s : 2x + y = 0
El punto P' (x, y) es tal que:
s : 2x + y = 0 → y = –2x
P' = s I r
r : x – 2y + 4 = 0
Sustituyendo en la segunda ecuación:
x – 2 (–2x) + 4 = 0 → x + 4x + 4 = 0 →
→ x=
–4
5
→ y = –2
–4
5 ( )
=
8
5
Luego: P' ,(
–4 8
5 5 )
32 Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son AB: x + 2y – 4 = 0,
AC : x – 2y = 0, BC: x + y = 0. Halla:
a) Los vértices del triángulo.
b) El vector que une los puntos medios de AB y AC. Comprueba que es
→
paralelo a BC.
→
☛ b) Las coordenadas de BC deben ser proporcionales a las del vector que has ha-
llado.
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 23
24. A
B C
a) A = AB I AC
B = AB I BC
C = AC I BC
AB : x + 2y – 4 = 0
• A:
AC : x – 2y =0 Sumamos las ecuaciones:
2x –4=0 → x=2
Sustituyendo en AC : 2 – 2y = 0 → y = 1
Luego: A (2, 1)
• B : AB : x + 2y – 4 = 0 →
BC : x + y = 0 → x = –y
→ –y + 2y – 4 = 0 → y = 4 → x = –4
Luego: B (–4, 4)
• C : AC : x – 2y = 0 →
BC : x + y = 0 → x = –y
→ –y – 2y = 0 → y = 0 → x = 0
Luego: C (0, 0)
b) El punto medio de AB es MAB –1, ( 5 ).2
El punto medio de AC es MAC
(1, 1 ).
2
→
MAB MAC = (2, –2) → → → 1 →
Así, MAB MAC // BC, pues: MAB MAC = BC
→ 2
BC = (4, –4)
33 Halla el área del cuadrilátero de vértices:
A (– 4, 3), B (0, 5), C (4, –2) y D (–3, –2)
☛ Traza una diagonal para descomponerlo en dos triángulos de la misma base.
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 24
25. B (0, 5)
A (–4, 3)
D (–3, –2) C (4, –2)
• La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya
medida es:
→
AC = (8, –5) = √ 89
• Sean hB y hD las alturas desde B y D, respectivamente, a la base:
hB = dist (B, r ) y hD = dist (D, r )
→
donde r es la recta que contiene el segmento AC .
→
Tomando como vector director de r el vector AC, la ecuación de dicha recta es:
5x + 8y + k = 0
–20 + 24 + k = 0 ⇒ k = –4 ⇒ r : 5x + 8y – 4 = 0
Como (–4, 3) ∈r
Luego:
hB = dist (B, r ) =
5 · 0 + 8 · 5 – 4 36
=
√ 89 √ 89
hD = dist (D, r ) =
5 (–3) + 8 (–2) – 4 35
=
√ 89 √ 89
• Así:
b · hB b · hD b
AABCD = AABC + AADC = + = (h + hD ) =
2 2 2 B
=
√ 89
2 ( 36
√ 89
+
35
√ 89 ) =
71
2
34 Calcula el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas:
r: x = 3 s : 2x + 3y – 6 = 0 t: x – y – 7 = 0
r s
A
C
B t
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 25
26. x=3
•A = r I s → 6 + 3y – 6 = 0 → y = 0
2x + 3y – 6 = 0
Luego: A (3, 0)
x=3
•B = r I t → 3 – y – 7 = 0 → y = –4
x–y–7=0
Luego: B (3, –4)
2x + 3y – 6 = 0
•C = s I t →
x–y–7=0 → x=y+7
→ 2 (y + 7) + 3y – 6 = 0 →
–8
→ 2y + 14 + 3y – 6 = 0 → 5y + 8 = 0 ⇒ y = →
5
–8 27
→ x= +7=
5 5
Luego: C ( 27 , –8 )
5 5
• Consideramos el segmento AB como base:
→
AB = (0, –4) = √ 16 = 4
• La altura desde C es hC = dist (C, r ) =
(–8/5) – 3 23
=
√1 2 + 02 5
• Así:
→
AB · hC 4 · 23/5 46
Área = = =
2 2 5
Página 209
35 Traza, por el punto B (0, 5), una recta de pendiente 1/3. Por el punto
C (5, 0), traza una recta perpendicular a la anterior. Se cortan en un punto
A. Halla el área de triángulo ABC .
r
A (3, 6)
B (0, 5)
r
C (5, 0)
1 1
• Sea r la recta por A y B. Su pendiente es mr = → r: y = x + 5
3 3
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 26
27. • Sea s la recta por A y C. Su pendiente es ms = –3 (pues r ⊥ s ):
s : y – 0 = –3 (x – 5) → s : y = –3x + 15
y = (1/3) x + 5 1
•A = r I s → x + 5 = –3x + 15 →
y = –3x + 15 3
10 1
→ x = 10 → x = 3 → y = ·3+5=6
3 3
Luego: A (3, 6)
→
• La base del triángulo es: AB = (–3, –1) = √ 10
→
La altura es: AC = (2, –6) = √ 40 = 2 √ 10
→ → — —
AB AC √ 10 · 2 √ 10 = 10
El área es: AABC = =
2 2
36 En el triángulo de vértices A (–1, –1), B (2, 4) y C (4, 1), halla las longitudes
de la mediana y de la altura que parten de B.
• Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC.
M ( 3 , 0) → BM = ( 3 – 2, 0 – 4) = (– 1 , –4)
2
→
2 2
→ √ 65
La longitud de la mediana es: BM = √ 1/4 + 16 =
2
• Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B.
→
AC = (5, 2) ⇒ la recta que contiene ese segmento es:
x = –1 + 5t x+1 y+1
r: → = → 2x – 5y – 3 = 0
y = –1 + 2t 5 2
→ →
v = (–2, 5) ⊥ AC ⇒ la recta s ⊥ r que pasa por B:
x = 2 – 2t x–2 y–4
s: → = → 5x + 2y – 18 = 0
y = 4 + 5t –2 5
r : 2x – 5y – 3 = 0
P=rIs →
s : 5x + 2y – 18 = 0
Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 5, y sumamos:
4x – 10y – 6 = 0
25x + 10y – 90 = 0
96
29x – 96 = 0 → x = →
29
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 27
28. 96 192 105
→ 2· – 5y – 3 = 0 → 5y = –3= →
29 29 29
105 21
→ y= :5=
29 29
Luego: P ( 96 , 21 )
29 29
= BP = (
29 , – 29 ) = √ 29 ≈ 29 ≈ 3,528
→ 38 95 10 469 √ 10 469
Así: hB 2
37 Halla el punto de la recta 3x – 4y + 8 = 0 que equidista de A (–6, 0) y B (0, –6).
P
r
A (–6, 0)
B (0, –6)
P (x, y ) debe verificar dos condiciones:
1. P (x, y ) ∈r ⇒ 3x – 4y + 8 = 0
2. dist (A, P ) = dist (B, P ) ⇒ √ (x + 6)2 + y 2 = √ x 2 + (y + 6)2
3x – 4y + 8 = 0 3x – 4y + 8 = 0
→ → →
x 2 + 12x + 36 + y 2 = x 2 + y 2 + 12y + 36 x=y
→ 3x – 4x + 8 = 0 → x = 8 = y → P (8, 8)
38 Determina un punto en la recta y = 2x que diste 3 unidades de la recta
3x – y + 8 = 0.
P (x, y ) ∈r : y = 2x
→
dist (P, r ' ) = 3, donde r ' : 3x – y + 8 = 0
y = 2x
→
3x – 2x + 8
=3 →
x + 8
→ 3x – y + 8 =3 →
=3 √ 10 √ 10
√ 10
x + 8 = 3 √ 10 → x1 = 3 √ 10 – 8 →
→ dos posibilidades:
x + 8 = –3 √ 10 → x2 = –3 √ 10 – 8 →
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 28
29. → y1 = 6 √ 10 – 16 P1 (3 √ 10 – 8, 6 √ 10 – 16)
→
→ y2 = –6 √ 10 – 16 P2 (–3 √ 10 – 8, –6 √ 10 – 16)
r'
P1
P2 r
39 Halla los puntos de la recta y = –x + 2 que equidistan de las rectas x + 2y – 5 = 0
y 4x – 2y + 1 = 0.
Sean r1, r2 y r3 las tres rectas del ejercicio, respectivamente.
Buscamos los puntos P (x, y ) que cumplan:
P ∈r1 ⇒ y = –x + 2
dist (P, r ) = dist (P, r ) → x + 2y – 5 x – 2y + 1 →
2 3 = 4
√5 √ 20
→
x + 2 (–x + 2) – 5 4x – 2 (–x + 2) + 1
= →
√5 2 √5
–x – 1 = 6x – 3 , o bien
→ –x – 1 = 6x – 3 → 2 →
2 –6x + 3
–x – 1 =
2
–2x – 2 = 6x – 3, o bien 8x = 1 x = 1/8
→ → → 1 →
–2x – 2 = –6x + 3 4x = 5 x2 = 5/4
y1 = – 1 + 2 = 15
→
8
P
8 → 1
( 1 , 15 )
8 8
5
y2 = – + 2 =
4
3
4
P2
(5, 3)
4 4
40 Calcula c para que la distancia entre las rectas 4x + 3y – 6 = 0 y 4x + 3y + c = 0
sea igual a 3.
Sea P ∈r1 donde x0 = 0 → y0 = 2 → P (0, 2) ∈r1
Así, dist (r1, r2) = dist (P, r2) =
4 · 0 + 3 · 2 + c
=3 →
√ 16 + 9
6 + c = 15 → c1 = 9
→
6 + c
=3 →
5 6 + c = –15 → c2 = –21
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 29
30. 41 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A (1, –2) y
B (4, 3).
El vértice C está en la recta 3x – y + 8 = 0.
Halla las coordenadas de C y el área del triángulo.
→
• La recta del lado desigual (base) tiene como vector director AB = (3, 5):
x = 1 + 3t x–1 y+2
r: → = → r : 5x – 3y – 11 = 0
y = –2 + 5t 3 5
→ →
• La recta que contiene la altura tiene por vector director a = (–5, 3) ⊥ AB y pasa
por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por m ( 5 , 1 ):
2 2
x = 5/2 – 5t 2x – 5 2y – 1
hc : → = →
y = 1/2 + 3t –10 6
→ hc : 12x + 20y – 40 = 0 → hc : 6x + 10y – 20 = 0
• C = s I hc donde s : 3x – y + 8 = 0
3x – y+ 8=0 –6x + 2y – 16 = 0
→
6x + 10y – 20 = 0 6x + 10y – 20 = 0
36
12y – 36 = 0 → y = =3 →
12
–5
→ 3x – 3 + 8 = 0 → 3x + 5 = 0 → x =
3
Luego: C ( –5 , 3)
3
→ →
AB Cm (*) √ 34 · (√ 850/6)
— —
base × altura
• Área = = = ≈ 14,17
2 2 2
→ →
AB = (3, 5) → AB = √ 34
(*)
( ) → Cm =
→ –25 –5 → √ 850
Cm ,
6 2 6
42 Dos casas están situadas en los puntos A(4, 0) y B(0, 3). Se quiere construir un
pozo que esté a la misma distancia de A y de B, y a 8 m de una tubería que une
A y B. ¿Cuál es el lugar adecuado?
La recta que une A y B tiene por vector director:
→ x = 4 – 4t x–4 y
AB = (–4, 3) → r : → = → r : 3x + 4y – 12 = 0
y = 3t –4 3
El pozo debe estar en un punto P (x, y ) tal que:
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 30
31. dist (P, r ) = 8
→
dist (P, A) = dist (P, B )
3x + 4y – 12 3x + 4y – 12
= =8
→ √ 9 + 16 5 →
√ (x – 4)2 + y 2 = √ x 2 + (y – 3)2 → x 2 – 8x + 16 + y 2 = x 2 + y 2 – 6y + 9
3x + 4y – 12 = 40
→
6y + 7 →
–8x + 16 = –6y + 9 → x =
8
6y + 7
→ 3· + 4y – 12 = 40 → 18y + 21 + 32y – 96 = 320 →
8
50y – 75 = 320
→ 50y – 75 = 320 → →
50y – 75 = –320
320 + 75 79 6 · (79/10) + 7 (474 + 70)/10 34
y1 = = → x1 = = =
→
50 10 8 8 5
–320 + 75 –49 6 · (–49/10) + 7 –14
y2 = = → x2 = =
50 10 8 5
Luego: P1 ( 34 , 79 ), P ( –14 , –49 )
5 10 2
5 10
(Son dos puntos de la mediatriz del segmento AB ).
P1
B
A
P2
43 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas r y s y forma un ángulo de 45° con la recta: x + 5y – 6 = 0.
r : 3x – y – 9 = 0 s: x – 3 = 0
3x – y – 9 = 0
P = r I s: → 9–y–9=0 → y=0
x –3=0
Luego: P (3, 0)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 31
32. Como la recta pedida y x + 5y – 6 = 0 forman un ángulo de 45°, entonces si sus
pendientes son, respectivamente, m1 y m2, se verifica:
→
m2 – m1 (–1/5) – m1
tg 45° = → 1=
1 + m2 · m1 1 + (–1/5) · m1
→
–1 – 5 · m1
→ 1=
5 – m1
5 – m1 = –1 – 5m1, o bien
→ →
– (5 – m1) = –1 – 5m1
4m1 = –6 → m1 = –6/4
→
6m1 = 4 → m1 = 4/6
–6 –3 9
Hay dos posibles soluciones: t1 : y – 0 = (x – 3) → t1 : y = x+
4 2 2
4 2 6
t2 : y – 0 = (x – 3) → t2 : y = x–
6 3 3
44 Dadas las rectas:
r : 2x – 5y – 17 = 0 s: 3x – ky – 8 = 0
Calcula el valor de k para que r y s se corten formando un ángulo de 60°.
☛ Halla la pendiente de r. La pendiente de s es 3/k. Ten en cuenta que obtendrás
dos soluciones.
Las pendientes de r y s son, respectivamente:
2 3
mr = y ms =
5 k
Entonces:
→
2/5 – 3/k 2k – 15
tg 60° = → √3 = dos casos:
1 + 2/5 · 3/k 5k + 6
√ 3 (5k + 6) = 2k – 15 → 5 √ 3 k + 6 √ 3 = 2k – 15
→ →
– √ 3 (5k + 6) = 2k – 15 → –5 √ 3 k – 6 √ 3 = 2k – 15
–15 – 6 √ 3 –15 + 6 √ 3
→ k1 = , k2 =
5 √3 – 2 –5 √ 3 – 2
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 32
33. 45 Las rectas r : 3x – 2y + 6 = 0, s: 2x + y – 6 = 0 y t: 2x – 5y – 4 = 0 son los
lados de un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos.
3 Y
mr =
2
ms = –2;
2
mt =
5
1 + 3/2 · (–2) =
3/2 – (–2) 7/2 7 X
tg (r, s ) = =
2 4
t r s
Luego: (r, s ) = 60° 15' 18,4"
1 + 3/2 · 2/5 = 10 + 6 = 16
3/2 – 2/5 15 – 4 11
tg (r, t ) =
Luego: (r, t ) = 34° 30' 30,7"
Por último, (s, t ) = 180° – (r, s ) – (r, t ) = 85° 14' 11"
46 Halla los ángulos del triángulo cuyos vértices son A(–3, 2), B(8, –1) y C(3, –4).
☛ Representa el triángulo y observa si tiene algún ángulo obtuso.
→ → Y
AB = (11, –3); BA (–11, 3)
→ →
AC = (6, – 6); CA (–6, 6) A (–3, 2)
→ → X
BC = (–5, –3); CB (5, 3)
B (8, –1)
→ →
^ AB · AC 66 + 18
cos A = = — — ≈ 0,868
→ → √130 √ 72 C (3, –4)
AB AC
^
Luego: A = 29° 44' 41,6"
→ →
^ BA · BC 55 – 9
cos B = = — — ≈ 0,692
→ → √130 √ 34
BA BC
^
Luego: B = 46° 13' 7,9"
^ ^ ^
Así, C = 180° – ( A + B) = 104° 2' 10,5"
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 33
34. 47 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 2) y forma un ángulo
de 30° con la recta x = 3.
☛ La recta que buscamos forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje OX.
Y La recta r forma un ángulo de 60° o de 120° con el eje
r2 OX.
Su pendiente es:
m1 = tg 60° = √ 3 , o bien
30°
x=3
m2 = tg 120° = – √ 3
(0, 2)
120°
X
Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, 2), las
60° posibles soluciones son:
r1 : y = √ 3 x + 2
r1 r2 : y = – √ 3 x + 2
48
1
La recta 2x + y = 0 es la bisectriz de un ángulo recto cuyo vértice es – , 1 .
2 ( )
Halla las ecuaciones de los lados del ángulo.
Las pendientes de las tres rectas son:
mb = –2, mr , mr '
r
b: 2x + y = 0
45°
(
1
V – —, 1
2 ) 45°
r'
→
mb – mr –2 – mr
tg 45° = → 1=
1 + mb mr 1 – 2mr
1 – 2mr = –2 – mr → mr = 3
→ →
–1 + 2mr ' = –2 – mr ' → mr ' = –1/3
1
(
r : y – 1 = 3 x + 2 → y = 3x + 2
5
)
→
–1 1
( –1
r': y – 1 = 3 x + 2 → y = 3 x + 6
5
)
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 34
35. 49 Encuentra un punto en la recta x – 2y – 6 = 0 que equidiste de los ejes de
coordenadas.
Eje X : y = 0
dist (P, eje X ) = dist (P, eje Y )
Eje Y : x = 0 → →
P (x, y ) ∈r x – 2y – 6 = 0
y x x=y
= → dos casos:
→ √0 2 + 12 √0 2 + 12 x = –y →
x – 2y – 6 = 0
y – 2y – 6 = 0 → y1 = –6 → x1 = –6 P (–6, –6)
→ → 1
– y – 2y – 6 = 0 → y2 = –2 → x2 = 2 P2 (2, –2)
Y
r
X
P2
P1
50 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A (–2, 2) y forman un án-
gulo de 60° con la recta x = y.
b : x = y → su pendiente es mb = 1
1 + 1 · m → √3 = 1 + m →
1–m 1–m
tg 60° =
√3 + √3 m = 1 – m → m = 1 – √3
1
√3 + 1
→
1 + √3
– √ 3 – √ 3 m = 1 – m → m2 =
–√ 3 + 1
Teniendo en cuenta que pasan por A (–2, 2):
1 – √3
r1 : y – 2 = (x + 2)
√3 + 1
ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE
1 + √3
r2 : y – 2 = (x + 2)
–√ 3 + 1
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos 35