Conceptos básicos de Valor Absoluto y criterios para solucionar ecuaciones con valor absoluto e inecuaciones con valor absoluto.

1. Matemáticas
Grado Once
Cálculo
Valor Absoluto
Docente
Rodrigo Velasco Palomino
www.rodrivelp.blogspot.com
Institución Educativa Técnico Industrial
I.E.T.I
Popayán Cauca
Colombia

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VALOR ABSOLUTO | x |
El valor absoluto de un número representa la distancia que hay desde el número x al cero. La distancia que hay desde
cualquier número real x al 0 se denota por | x | y se lee valor absoluto de x
| x | = x si x ≥ 0 y | x | = -x si x ≤ 0
Ejemplo 1.
a. |10| = 10 Es decir, la distancia del 10 al cero es de 10 unidades
b. |-8| = -(-8) = 8 Es decir, la distancia del -8 al cero es de 8 unidades
Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número real x es siempre positivo o cero, pero nunca
negativo.
Ejemplo 2.
Hallar el conjunto solución de las ecuaciones:
a. |x| = 0 c. |x - 1| = 0
b. |x| = 2 d. |x - 1| = 2
Solución:
a. Si |x| = 0 entonces x = 0
b. Si |x| = 2 entonces x = 2 ó x = -2
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO | x |
Para solucionar ecuaciones con valor absoluto, se iguala la cantidad contenida dentro del valor absoluto al valor
positivo y al valor negativo del mismo, generando dos ecuaciones de las que hay que despejar el valor de x.
Ejemplo 1.
Hallar el conjunto solución de |x - 1| = 0
Solución:
|x - 1| = 0
x - 1 = 0
x = 1

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Ejemplo 1.
Hallar el conjunto solución de |x - 1| = 2
Solución:
|x - 1| = 2
- 2 = x – 1 = 2
- 2 + 1 = x = 2 + 1
- 1 = x = 3
3 es una solución porque 3-1 = 2 y la distancia del cero al dos es dos
-1 es otra solución porque -1-1 = -2 y la distancia del cero al -2 es dos
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO | x |
Para solucionar inecuaciones con valor absoluto, se desiguala la cantidad contenida dentro del valor absoluto al valor
positivo y al valor negativo del mismo, generando dos inecuaciones de las que hay que despejar el valor de x siguiendo
los procedimientos algebraicos conocidos.
Ejemplo 1.
Solucionar | x | < 3
Solución:
| x | < 3
- 3 < X < 3
Interpretación: Son todos los números reales comprendidos entre -3 y 3, sin incluir los extremos. Es decir:
Son los mayores que -3 y menores que 3
Gráfica:
Notación: (-3,3)
Inecuación: -3 < x < 3
Ejemplo 4.
Solucionar | x | ≤ 3
Solución:
| x | ≤ 3
- 3 ≤ X ≤ 3
Interpretación: Son todos los números reales comprendidos entre -3 y 3 (incluye los extremos). Es decir:
Son los mayores o iguales que -3 y menores o iguales que 3

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Gráfica:
Notación: [-3,3]
Inecuación: -3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 5.
Solucionar | x | > 3
Solución:
| x | > 3
- 3 > X > 3
Interpretación: Son todos los números reales menores que -3 ó los números reales mayores que 3, Es decir:
Son la unión de todos los números menores que -3 con todos los números mayores que 3
Gráfica:
Notación: (- ∞ , 3) U (3 , ∞)
Inecuación: x < - 3 ó x > 3
Ejemplo 6.
Solucionar | x | ≥ 3 Encontrar el conjunto de todos los números reales x cuya distancia al cero es mayor o igual que 3
Solución:
| x | ≥ 3
- 3 ≥ x ≥ 3
Interpretación: Son todos los números reales menores o iguales que -3 ó los números reales mayores o iguales que 3, Es
decir:
Son la unión de todos los números menores o iguales que -3 con todos los números mayores o iguales que 3
Gráfica:
Notación: (- ∞ , 3] U [3 , ∞)
Inecuación: x ≤ - 3 ó x ≥ 3

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Generalizando para cualquier número real x podemos resumirlos en cuatro casos, así:
CASO 1
| x | = x
Hay dos posibles respuestas; el mismo número x si el valor de x es positivo o, su opuesto,
–x si el valor de x es negativo.
| x | = x si x ≥ 0 y | x | = -x si x ≤ 0
CASO 2
| x | < b
Son todos los números reales X que se hallan en el intervalo abierto (-b , b)
Solución
-b < x < b
CASO 3
| x | ≤ b
Son todos los números reales X que se hallan en el intervalo cerrado [-b , b]
Solución
-b ≤ x ≤ b
CASO 4
| x | > b
Son todos los números reales X que se hallan en la unión de los intervalos (- ∞,P) ; (P, ∞)
Solución
x < -b U x > b
CASO 5
| x | ≥ b
Son todos los números reales X que se hallan en la unión de los intervalos [- ∞,P) ; [P, ∞)
Solución
x ≤ -b U x ≥ b