El documento trata sobre conceptos básicos de masa, centro de gravedad, momento de inercia y sus propiedades. Explica que la masa es una propiedad de la materia que permite indicar la cantidad de sustancia contenida en un cuerpo. El centro de gravedad es el punto donde se aplica la fuerza peso de un cuerpo. El momento de inercia depende de la distribución de masa de un cuerpo y cuanta más lejos esté la masa del eje de rotación, mayor será el momento de inercia. También define otros conceptos como el

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO MECÁNICO
MECÁNICA ESTÁTICA
Masas. Centro de Gravedad.
Estudiante:
Luis Cardozo
C.I.: 21125770
Julio de 2017

2. MASA
Masa es un concepto que identifica a aquella magnitud de carácter físico
que permite indicar la cantidad de materia contenida en un cuerpo. Dentro del
Sistema Internacional, su unidad es el kilogramo (kg.). Esta noción, que tiene
su origen en el término latino massa, también se aprovecha para hacer
referencia a la mezcla que surge al incorporar un líquido a una materia que ha
sido previamente desmenuzada, cuyo resultado es una sustancia espesa,
blanda y consistente.
En relación a la magnitud física, hay que decir que la noción de masa
tiene su origen a raíz de la combinación de dos leyes: la ley de gravitación
universal y el segundo principio de Newton. De acuerdo a la gravitación
universal, la atracción entre dos cuerpos es proporcional al producto de dos
constantes (definidas como masa gravitatoria), razón por la cual puede decirse
que la masa gravitatoria constituye una propiedad de la materia gracias a la
cual dos cuerpos consiguen atraerse entre sí.
En base al segundo principio de Newton, hay que recordar que la fuerza
que se aplica sobre un cuerpo es proporcional de forma directa a la aceleración
que experimenta. Según los criterios de la Organización Internacional de
Metrología Legal, la masa convencional de un cuerpo es idéntica a la masa que
posee un patrón de densidad igual a 8000 kg/m3, la cual consigue equilibrar en
el aire a ese cuerpo bajo condiciones escogidas por convención (temperatura
del aire equivalente a 20 ºC y la densidad del aire estimada en 0,0012 g/cm3).
CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad (C.G.) es el punto de aplicación de la resultante
de todas las fuerzas de gravedad que actuán sobre las distintas masas
materiales de un cuerpo. En física, el centroide, el centro de gravedad y el
centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En
estos casos es válido utilizar estos términos de manera intercambiable.

3. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los
otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo.
Para que el centroide coincida con el centro de masas, el objeto tiene que tener
densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener
ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el
centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masas y el
objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.
DIFERENCIA ENTRE CENTRO DE GRAVEDAD Y MASA
Conceptualmente son dos puntos distintos: El centro de masa es el
punto donde debe aplicarse una fuerza para el el cuerpo adquiera un
movimiento de traslación pura, es decir, sin rotaciones. El centro de gravedad
es el punto donde está aplicado el peso de un cuerpo. En un lugar del universo
que no exista gravedad, no existe centro de gravedad, pero sí centro de
masa. El centro de gravedad y centro de masa con coinciden en un campo
gravitatorio no uniforme (donde la aceleración de la gravedad no es constante)
En la práctica de todas las experiencias que hacemos en laboratorios de
física, no hay forma de medir las diferencias entre estos centros. Por lo tanto
coinciden. Imaginemos un prisma homogéneo regular de gran altura (varios
cientos de kilómetros). El centro de masa es el centro geomético del
cuerpo. Pero el centro de gravedad no. Estaría ubicado más abajo que el
centro de masa. Es así porque una partícula del prisma ubicada en la base del
cuerpo pesaría más que una partícula de igual masa ubicada en la parte
superior de prisma. Entonces su centro de masa está más cerca de la más
baja, ya que esta pesaría más.
DIFERENCIA ENTRE CENTRO DE PESO Y MASA

4. CIRCULO DE MOHR
Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr
es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos
puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido
a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en
general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre
ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones
son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.
Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres
dimensiones.
CÍRCULO DE MORH PARA LA TRACCIÓN SIMPLE
El círculo de Morh es un círculo en el que las coordenadas de los puntos
de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en
una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una técnica
usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y

5. calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando
los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es
posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación
máxima absoluta.
El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma:
Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas
situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones
cortantes. A continuación se traza la circunferencia como se puede ver en la
figura.
Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras
perpendiculares definen un diámetro del círculo de morh.
Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones
perpendiculares son iguales y de sentido contrario.
Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta
los siguientes detalles:
– El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el
sentido de giro del plano AB en la realidad.
– El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si
giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y
negativo en caso contrario.
– El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo
entre los planos reales correspondientes.

6. INERCIA
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en
su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe
claramente en la Primera Ley del Movimiento de Newton lo cual dice: “Un
objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento
tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos
una fuerza externa”.
MOMENTO
un momento es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto
hace girar elementos en torno a un eje o punto El momento es constante, se
puede tomar en cualquier punto del plano y siempre dara el mismo resultado,
siendo la distancia la perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza.
Teniendo estas 2 definiciones podemos adentrarnos a la definición misma de:
MOMENTO DE INERCIA

7. El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área;
Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad
geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales. Tomando
en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de inercia, es la suma
de los productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por el
cuadrado de su distancia al eje.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de
un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro El momento de
inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular
longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende
de su forma (más bien de la distribución de su masa), y de la posición del eje
de rotación. Aun para un mismo cuerpo, el momento de inercia puede ser
distinto, si se considera ejes de rotación ubicados en distintas partes del
cuerpo. Un mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia,
dependiendo de dónde se considere el eje de rotación. Mientras más masa
está más alejada del eje de rotación, mayor esel momento de inercia. El
momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm4 , m4
, pulg4.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES
Tenemos que calcular la cantidad
donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se
colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de
uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de
un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de
Un extremo
De la segunda masa
Del centro de masa

8. El momento de inercia respecto a un eje
perpendicular a la varilla y que pasa por la primera
partícula es
IA=1·02
+1·0.252
+1·0.52
+1·0.752
+1·12
=1.875
kgm2
El momento de inercia respecto a un eje
perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda
partícula es
IB=1·0.252
+1·02
+1·0.252
+1·0.52
+1·0.752
=0.9
375 kgm2
El momento de inercia respecto a un eje
perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera
partícula (centro de masas) es
IC=1·0.52
+1·0.252
+1·02
+1·0.252
+1·0.52
=0.62
5 kgm2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos
calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner.
Conocido IC podemos calcular IA eIB, sabiendo las distancias entre los ejes
paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2
IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por
el centro de masa
I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
M es la masa total del sistema
d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52
=0.625+1.25=1.875 kgm2
.
IB=IC+5·0.252
=0.625+0.3125=0.9375 kgm2
.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA
Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución
continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

9. dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
Aplicación directa del concepto de momento de inercia
Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
MOMENTO DE INERCIA: LA ROTACION EN LA INERCIA
Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla
inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de
rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación
está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta „‟la resistencia que
un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro‟‟.
El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que
es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la
tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en
linea recta a la misma velocidad. La inercia puede interpretarse como una
nueva definición de masa. El momento de inercia es, masa rotacional y
depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay
entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia. El
momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas
producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual
este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo
flexión junto con las propiedades de dicho material.
MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES

10. El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar
de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos
ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se
intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia
en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los
problemas relacionados con la rotación de placas.
SEGUNDO MOMENTO DE INERCIA
En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también
denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es
una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos
estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado
con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un
elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material
determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El
segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a
la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico
relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al
cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento
de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este
artículo.
TEOREMA DE STEINER
Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple
(alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide
con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con
respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta
simetría.
El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo
simplifica los cálculos.

11. Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con
respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto
Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con
respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una
distancia D
Procedemos ahora la demostración del Teorema:
Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x,y). Si
ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de
masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')
Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al
eje que pasa por el centro de masas:

12. Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de
masas:
La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el
CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta
integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:

13. IMPORTANCIA PARA LA INGENIERIA
El centro de masa es importantísimo en análisis de choques,
construcciones de compuertas, de presas, en fin, cualquier construcción, pues
si sabemos la localización del centroide como es afectada nuestra estructura
por ciertas fuerzas aplicadas sobre ella. Para tratar de comprender y calcular el
movimiento de un objeto, suele resultar más sencillo fijar la atención
en el centro de masa. Por ejemplo, si se arroja una varilla al aire, ésta se
mueve de forma compleja.
La varilla se mueve por el aire y al mismo tiempo tiende a girar. Si se
siguiera el movimiento de un punto situado en el extremo de la varilla, su
trayectoria sería muy complicada. Pero si se sigue el movimiento del centro de
masa de la varilla, se comprueba que su trayectoria es una parábola que puede
describirse matemáticamente con facilidad. El complicado movimiento del
extremo de la varilla puede describirse como una combinación de su
rotación en torno al centro de masa y del movimiento parabólico de éste. El
centro de masa también puede ser un concepto útil cuando se estudia el
movimiento de sistemas complicados que están formados por muchos

14. El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para
representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con
ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a
las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es
posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación
máxima absoluta.
En cuanto a la inercia, esta es muy importante en el área de las
estructuras, en el diseño estructural, la inercia es con lo que diseñas, la inercia
depende de la geometría del material. Por ejemplo si se quiere diseñar una
columna de acero, pues la longitud de la misma no se puede cambiar, el
material tampoco porque es acero, pero lo que si se puede diseñar es la
geometría de esta, y lo mismo pasa con un cable, con una viga, con una
armadura, etc.