Este documento describe los sistemas de ecuaciones simultáneas y diferentes métodos para resolverlos. Un sistema de ecuaciones simultáneas consiste en dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas que se satisfacen para los mismos valores de las incógnitas. Se presentan tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas: el método de sustitución, el método de combinación lineal, y el método gráfico.

1. “ Simultaneas De Las Ecuaciones”

2. Ecuaciones simultaneas : Dos o más ecuaciones con dos o mas incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos. Variable: Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto.

3. Así, las ecuaciones : X+Y = 5 X-Y = 1 Son simultaneas porque x =3, y=2 satisfacen ambas ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

4. Conocimientos y Habilidades : representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros. Intenciones Didácticas: que los alumnos, a partir de ejemplos ya resueltos, reconozcan y analicen las características de los diferentes métodos (simultaneas de ecuaciones) con los que se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales, para que a partir de este análisis elijan el método idóneo según las características del sistema.

5. Problema 1: La suma de dos números es 195. ¿Si el doble del primer número menos el segundo es 60, cuáles son esos números?

6. Solución de un sistema de ecuaciones simultáneas Muchos problemas tienen dos incógnitas y se pueden resolver planteando simultáneamente dos ecuaciones de primer grado. Éstas se pueden resolver de varias formas. Calculando X en la primera ecuación y luego sustituyendo su valor en la segunda. Entonces se resuelve la segunda, o bien multiplicar todos los términos de una de ellas por un valor constante tal, que iguale el coeficiente de X o de Y en la otra ecuación.

7. En el fondo, la estrategia general consiste en convertir las ecuaciones en una sola para resolverla como una simple, obtener uno de los valores y con él regresar a resolver la ecuación inicial. Ejemplo (a):

8. Ejemplo (b):

10. Este método consta de los siguientes pasos: 1.- Mediante las propiedades de las ecuaciones, se igualan los coeficientes de una de las incógnitas. 2.- Si ambos coeficientes son de signos diferentes, se suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan, con lo que se eliminan los términos que tienen esa incógnita. 3.- Como el resultado de la operación anterior es de la forma ax=b, se resuelve del ejemplo que a continuación se presentara. 4.- El valor obtenido en el paso anterior se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se resuelve para la otra incógnita.

11. Enseguida se muestran algunos ejemplos: Sea el sistema de ecuaciones 3x + 4y = 23; 8x – 9y = 22. 3x = 15 X = 15 / 3 = 5: La solución del sistema de ecuaciones es (5, 2)

12. Este método consta de los siguientes pasos: 1.- Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones. 2.- Se sustituye el valor resultante de la incógnita en la otra ecuación. Mediante las propiedades de las ecuaciones, se le lleva a la forma ax=b y se resuelve de la manera. 3.- El valor obtenido del paso anterior se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se resuelve para la otra incógnita. El siguiente es un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de sustitución.

13. Tomemos el sistema de ecuaciones del punto anterior: 3x + 4y = 23; 8x – 9y = 22.

14. Este método consta de los siguientes pasos: 1.- Se despeja una misma incognita de cada una de las dos ecuaciones. 2.- Se igualan ambos despejes. Mediante las propiedades de las ecuaciones, se le lleva a la forma ax=b y se resuelva de la manera siguiente. 3.- El valor obtenido del paso anterior se sustituye en culquiera e las dos ecuaciones y se resuelve para la otra incognita.

15. Ejemplo:

16. Este método consta de los siguientes pasos: 1.- Se despeja una misma incógnita de cada una de las dos ecuaciones. 2.-Se construye una tabla para cada ecuación, donde de le asignan valores a la incógnita no despejada. 3.- Las dos tablas se complementan con las evaluaciones de cada uno de los valores de la incógnita no despejada en las ecuaciones del paso 1. 4.- Se grafican los pares ordenados en el plano; obsérvese que se forman dos líneas rectas. 5.- La solución grafica del sistema es el punto de intersección de estas rectas. Basándonos en el ejemplo anterior: despejando la y en cada una de las ecuaciones quedaría: