transformaas de la place

6. EJERCICIO.
Un sistema esta modelado bajo la siguiente ecuación diferencial:
)(2)(6
)()(
2
2
txty
dt
tdy
dt
tyd

Hallar la función de transferencia H(s) cuando la entrada x(t) es un impulso unitario.
Solución
y’’-y’-6y = 2x, entonces aplicando Laplace )(2)(6)()(2
sXsYssYsYs 
)(2]6)[( 2
sXsssY  , y por lo tanto se tiene
6
2
)(
)(
)( 2


sssX
sY
sH
)2)(3(
2
)(
)(
)(


sssX
sY
sH ; Aplicando la transformada inversa de Laplace:
  









11
)2)(3(
2
)(
ss
sH , y desarrollando por fracciones parciales:
32)2)(3(
2
)( 11






s
k
s
k
ss
sH
22
21
)3(
2
)3)(2(
2
)2()()2(






ss
s
sss
ssHsk
5
2
)32(
2




5
2
1 k

7. 33
32
)2(
2
)3)(2(
2
)3()()3(






ss
s
sss
ssHsk
5
2
)23(
2



5
2
2 k
3
1
5
2
2
1
5
2
)2)(3(
2
)(






ssss
sH
  

















111
3
1
5
2
2
1
5
2
)(
ss
sH
tt
eeth 32
5
2
5
2
)(  
EJERCICIO
El sistema eléctrico mostrado en la figura tiene como modelo matemático la siguiente ecuación
a) Hallar la función de transferencia del sistema (condiciones iniciales iguales a cero).
Solución:
Condiciones iniciales q(0)=0, q’(0)=0, i(0)=0.
 q
C
RqLq
1
'''
L
q
CL
q
L
R
q
L
L 

1
'''
L
q
CL
q
L
R
q


1
'''
Aplicando la transformada de Laplace













 
L
Lq
CL
q
L
R
qL
11 1
'''
  )(
)(
)(
1
)( tv
dt
tdi
Ldtti
C
tRi i
?
)(
)(
)( 
sV
sQ
sH
i
salidatq
entradatv
FC
HL
R
i





)(
)(
02.0
2
16
dt
tdq
ti
)(
)(
queolvidarNoNota.


8.    
L
sV
sQ
LC
qssQ
L
R
qsqsQs
)(
)(
1
)0()()0(')0()(2

L
sV
sQ
LC
ssQ
L
R
sQs
)(
)(
1
)()(2

LC
s
L
Rs
L
sV
sQ
1
1
)(
)(
2


Reemplazando para L=2, R=16 y C=0.02, tenemos que:
258
2
1
)02.0(2
1
2
16
2
1
)(
)(
22




sssssV
sQ
b) Encontrar la carga q(t) (la salida) en cualquier tiempo t>0 si la entrada es un paso (escalón) de 300
voltios.
Solución
Ahora bien si la entrada es v=300(t) (señal escalón o paso de amplitud 300).
Y la    
s
LtL
300
300)(300 11
 
 )(300 tv  ,  
s
sVtvL
300
)()(1
 
sss
sV
ss
sQ
300
258
2
1
)(
258
2
1
)( 22




)258(
150
)( 2


sss
sQ
Para hallar la carga q(t) se aplica la transformada inversa de Laplace, ya que   )()(1
tqsQL 
se debe realizar el desarrollo en fracciones parciales. Para encontrar q(t) a partir de
)258(
150
)( 2


sss
sQ , se pueden utilizar Diferentes Métodos.
Se va explicar y aplicar cada método, paso por paso:
Método I; Fracciones parciales mediante ecuaciones algebraicas:
cbxx
BAx


2
258)258(
150
2
321
2



 ss
ksk
s
k
sss
se multiplican ambos miembros por el mínimo común denominador
s(s2
+8s+25):
258
)258()()258(
)258(
)258(150
2
2
32
2
1
2
2







ss
sssksk
s
sssk
sss
sss
skskssk )()258(150 32
2
1  ; se encuentra k1 sustituyendo s=0:
)0)()0(()25)0(80(150 32
2
1 kkk  61  k
Reemplazando k1=6 y desarrollando los factores, se obtiene:
)()258(6150 32
2
ksksss 

9. skskss 3
2
2
2
150486150 
150)48()6(150 3
2
2  sksk ; aquí se igualan los coeficientes de potencias iguales de s lo que
da:
062 k
0483 k
150150 
Substituyendo los valores de k1, k2 y k3, en
258)258(
150
2
321
2



 ss
ksk
s
k
sss
se obtiene:
22222222
3)4(
24
3)4(
)4(66
3)4(
24)4(66
258
4866
258
4866














ss
s
ss
s
sss
s
sss
s
s















 2222
3)4(
3
8
3)4(
)4(
6
6
ss
s
s















 2222
3)4(
3
8
3)4(
)4(
6
6
)(
ss
s
s
sQ
Se aplica transformada inversa: NOTA 
1
significa INVERSA DE LAPLACE
  





































1
22
1
22
11
3)4(
3
8
3)4(
)4(
6
6
)(
ss
s
s
sQ
  













1
22
1
22
11
3)4(
3
8
3)4(
)4(
6
1
6)(
ss
s
s
sQ ; Para solucionar, ver la tabla de
transformadas de Laplace.
  )3(8)3(6)1(6)()( 44
1
tSenetCosetqsQ tt 


)3(8)3(66)( 44
tSenetCosetq tt 

c) Calcular la corriente i(t) de acuerdo a los resultados obtenidos en el punto anterior.
Solución
Ahora se debe hallar
dt
tdq
ti
)(
)(  :
   )3(8)3(6)6(
)( 44
tSene
dt
d
tCose
dt
d
dt
d
dt
tdq tt 

       







  tttt
e
dt
d
tSentSen
dt
d
ee
dt
d
tCostCos
dt
d
e
dt
tdq 4444
)3()3(8)3()3(6)0(
)(
62  k
483  k

10.          tttt
etSentCoseetCostSene
dt
tdq 4444
4)3()3(384)3()3(36)0(
)( 

   )3(4)3(38)3(4)3(36
)( 4444
tSenetCosetCosetSene
dt
tdq tttt 

)3(32)3(24)3(24)3(18
)( 4444
tSenetCosetCosetSene
dt
tdq tttt 

)3(32)3(18
)( 44
tSenetSene
dt
tdq tt 

)3(50)( 4
tSeneti t

Método II; Fracciones parciales usando la relación:
2222
)(
2
)(
)(2




 









s
y
s
sx
js
jyx
js
jyx
)258(
150
)( 2


sss
sQ , se hallan las raíces de la ecuación cuadrática s2
+8s+25.
2
68
2
368
2
100648
)1(2
)25)(1(488
2
4
22
j
a
acbb
s










34
2
6
2
8
j
j


 , de aquí que 342,1 js  .
)34()34()258(
150
)(
*
21
2
js
k
js
k
s
k
sss
sQ






0
2
0
201
)258(
150
)258(
150
)(






ss
s
sssss
sssQK
25
150
25)0(8)0(
150
2


 61 k , igual al k1 encontrado mediante el otro método.
34
34
)34)(34(
150
)34()()34(
js
js
jsjss
jssQjsk




1824
150
)6)(34(
150
)3434)(34(
150
)34(
150
2
34
jjjjjjjjss js









2418
150
j
 , Racionalizando el denominador se tiene:
576324
36002700
576432432324
36002700
2418
2418
2418
150
2











j
jjj
j
j
j
j

11. 9
36
9
27
900
36002700
j
j


 43 jk  y su conjugado será 43*
jk 
Reemplazando k1, k y k*
, en la ecuación general, se obtiene:
)34(
43
)34(
436
)34()34()258(
150
)(
*
21
2
js
j
js
j
sjs
k
js
k
s
k
sss
sQ












haciendo uso de la relación, donde x=-3, y=-4, =4 y =3; se obtiene que:
2222
)(
2
)(
)(2




 









s
y
s
sx
js
jyx
js
jyx





















 22222222
3)4(
3
8
3)4(
)4(
6
3)4(
)4)(3(2
3)4(
)4)(3(2
ss
s
ss
s















 2222
3)4(
3
8
3)4(
)4(
6
6
)(
ss
s
s
sQ , aplicando la transformada inversa para obtener q(t):
  





































1
22
1
22
11
3)4(
3
8
3)4(
)4(
6
6
)(
ss
s
s
sQ
  













1
22
1
22
11
3)4(
3
8
3)4(
)4(
6
1
6)(
ss
s
s
sQ ; Para solucionar, ver la tabla de
transformadas de Laplace.
  )3(8)3(6)1(6)()( 44
1
tSenetCosetqsQ tt 


)3(8)3(66)( 44
tSenetCosetq tt 

La cual es idéntica a la obtenida por el método anterior.
)3(50)( 4
tSeneti t

d) Si vi(t)=100Sen(3t), hallar q(t) e i(t):
      






  22
3
3
100)()3(100)3(100)(
s
sVtSentSentv
258
2
1
)(
)(
2


sssV
sQ
; Reemplazando V(s)
9
300
258
5.0
)( 22


sss
sQ

12. )9)(258(
150
)( 22


sss
sQ , utilizando cualquiera de los métodos expuestos anteriormente se
encuentra que:
2222222222
3)4(
4
52
75
3)4(
1
26
75
352
75
3
1
26
75
)9)(258(
150
)(











s
s
ss
s
ssss
sQ
aplicando la transformada inversa, tenemos:
)3(
52
75
)3(
26
25
)3(
52
75
)3(
26
25
)( 44
tCosetSenetSentSentq tt 

   )3(2)3(3
52
25
)3(3)3(2
52
25
)( 4
tSentCosetCostSentq t
 
   )3(17)3(6
52
25
)3(3)3(2
52
75)(
)( 4
tSentCosetSentCos
dt
tdq
ti t
 
e) Halle la respuesta impulso.
Solución
Nota:  Significa La TRANSFORMADA DE LAPLACE
    1)()()()()(  sVttvttv 
258
2
1
)(
)(
2


sssV
sQ
; Reemplazando V(s) )1(
258
5.0
)( 2


ss
sQ Esta es la respuesta impulso.
Método ; Fracciones Parciales :
)34()34(258
5.0
)()(
*
1
2
js
k
js
k
ss
sHsQ






34
34
1
)34(
5.0
)34)(34(
2
1
)34(
js
js
jsjsjs
jsk






k1 j
jjj 12
1
6
5.0
3434
5.0




 , no olvidar que j
j

1
12
1
1 jk  y
12
1*
jk 
)34(
12
1
)34(
12
1
)()(
js
j
js
j
sHsQ




 , de aquí utilizando la relación, donde: x=0, y=1/12, =4, y
=3.

13. 2222
)(
2
)(
)(2




 









s
y
s
sx
js
jyx
js
jyx
 
2222
3)4(
)3(
12
12
3)4(
)4)(0(2





ss
s
22
3)4(
3
6
1
)()(


s
sHsQ , aplicando la transformada inversa, se obtiene:
)3(
6
1
)()( 4
tSenethtq t

Esta es la respuesta impulso.
EJERCICIO
Hallar la transformada de Laplace de la siguiente señal periodica función:
G(t)=
SOLUCION
La grafica de la función G(t), es :
Periodo T=2.
Teorema visto en clase : Transformada de Laplace de una función periódica es :
  




T
sT
sT
dttGe
e
tG
0
)(
1
1
)( . En las tablas de transformada se encuentra esta relación.
  


 



 










2
02
2
02
)0()(
1
1
)(
1
1
)( dtedttSene
e
dttSene
e
tG sTsT
s
sT
s
Sen(t), 0<t<
0, <t<2

14. 





 02
)(
1
1
)( dttSene
e
tg sT
s
, podemos resolver la integral 


0
)( dttSene sT
de dos formas o
métodos, usando integración por partes o utilizando la formula que se vio en clase, la cual estaba
escrita en el tablero el día del parcial:
)()()( 2222
bxCose
ba
b
bxSene
ba
a
bxSene axaxax














 , donde a=-s y b=1.
Se resolverá el problema utilizando la ecuación anterior, por ser el método más rápido:

0
2222
)(
1)(
1
)(
1)(
)( 




















 
 tCose
s
tSene
s
s
tSene ststst

0
22
)(
1
1
)(
1 









 
tCose
s
tSene
s
s stst
 

0
2
)()(
1










tCostsSen
s
e st
   

















)0()0(
1
)()(
1 2
0
2
CossSen
s
e
CossSen
s
e ss


   
1
1
1
1
1
1
1
1
)1(
1 22222






















s
e
ss
e
ss
e sss 
  )1(1
1
1
1
1
1
)(
1
1
)( 222202













 



  se
e
s
e
e
dttSene
e
tg s
ss
s
sT
s 




  )1(1
1
)( 22


 

se
e
sG s
s


También se puede solucionar integrando por partes pero la solución es más laborioso.
EJERCICIO
Con condiciones iniciales iguales a cero, la respuesta (de un sistema lineal invariante en el tiempo) a
una entrada x(t)=Sen(2t), para t>0, esta dada por y(t)=2e-2t
+Sen(2t)-2Cos(2t), para t>0, encontrar la
función de transferencia.
SOLUCION
NOTA: Este símbolo  significa Transformada de Laplace, NO una integral
Nota:
   
4
2
)2()()( 2

  s
tSentxsX
         
)2(2)2(2)()( 2
tCostSenetysY t
)4)(2(
122
)4)(2(
)2(2)2(2)4(2
4
2
4
2
2
2
22
2
22












ss
s
ss
ssss
s
s
ss

15. )2(2
122
4
2
)4)(2(
122
)(
)(
)(
2
2







s
s
s
ss
s
sY
sX
sH
2
6
)(



s
s
sH