El documento detalla el cálculo de torsiones y diámetros de tres ejes y cuatro engranajes en un tren de engranajes con una torsión inicial de 42,44 Nm. Se calculan los torques en cada engranaje y se determinan los diámetros de los ejes AB, CD y EF, siendo estos 15,33 mm, 20,8 mm y 28,24 mm respectivamente. Además, se enfatiza que el esfuerzo permisible para los ejes es de 60 MPa.

1. Ing.Miguel BulaPicón
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PROBLEMA 3
Tres ejes y cuatro engranajes son usados en un tren de engranajes que
transmitirá una torsión inicial de 42,44Nm generada por el motor A, a la
máquina herramienta ubicada en F. Sabiendo que el esfuerzo permisible para
los ejes es 60MPa, determine:
a. La torsión para cada eje.
b. El diámetro de cada eje.
SOLUCION:
Del DCL de los engranajes B y C vamos a proceder a
calcular los torques a los que están sometidos.
Como no existe ninguna otra restricción, el torque que es
generado por el motor se traslada por el eje hasta llegar
al engranaje B por lo cual 𝑻 𝑩 = 𝟒𝟐, 𝟒𝟒𝑵 ∙ 𝒎
𝑇𝐵 = 𝐹𝐶𝐵 𝑟𝐵 → 𝐹𝐶𝐵 =
𝑇𝐵
𝑟𝐵
𝑇𝐶 = 𝐹𝐶𝐵 𝑟𝐶 → 𝐹𝐶𝐵 =
𝑇𝐶
𝑟𝐶

2. Ing.Miguel BulaPicón
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Como 𝐹𝐶𝐵 es la misma fuerza en ambos engranajes entonces:
𝑇𝐵
𝑟𝐵
=
𝑇𝐶
𝑟𝐶
→ 𝑇𝐶 = 𝑇𝐵 (
𝑟𝐶
𝑟𝐵
) = (42,44𝑁 ∙ 𝑚)(
75𝑚𝑚
30𝑚𝑚
) = 𝟏𝟎𝟔, 𝟏𝑵 ∙ 𝒎
Como no existe ninguna restricción a lo largo del eje CD, el torsor se transmite
de manera uniforme a lo largo de éste, por lo cual
𝑻 𝑫 = 𝑻 𝑪 = 𝟏𝟎𝟔, 𝟏 𝑵 ∙ 𝒎
Por lo cual las relaciones entre las fuerzas y torsores
serán:
𝑇𝐷 = 𝐹𝐷𝐸 𝑟𝐷 → 𝐹𝐷𝐸 =
𝑇𝐷
𝑟𝐷
𝑇𝐸 = 𝐹𝐷𝐸 𝑟𝐸 → 𝐹𝐷𝐸 =
𝑇𝐸
𝑟𝐸
Como 𝐹𝐶𝐵 es la misma fuerza en ambos engranajes
entonces:
𝑇𝐷
𝑟𝐷
=
𝑇𝐸
𝑟𝐸
→ 𝑇𝐸 = 𝑇𝐷 (
𝑟𝐸
𝑟𝐷
) = (106,1𝑁 ∙ 𝑚)(
75𝑚𝑚
30𝑚𝑚
)
𝑇𝐸 = 𝟐𝟔𝟓,𝟐𝟓𝑵 ∙ 𝒎
Ahora procederemos a calcular los diámetros de los ejes AB, CD y EF de la
siguiente manera:
𝜏 𝑝𝑒𝑟𝑚 =
𝑇 ∙ 𝑐
𝐽
Para barras macizas 𝐽 =
𝜋
2
𝑐4, por lo cual la ecuación se transforma en:
𝜏 𝑝𝑒𝑟𝑚 =
𝑇 ∙ 𝑐
𝜋
2
𝑐4
=
2𝑇
𝜋𝑐3 → 𝑐3 =
2𝑇
𝜋𝜏 𝑝𝑒𝑟𝑚
→ 𝑐 = √
2𝑇
𝜋𝜏 𝑝𝑒𝑟𝑚
3

3. Ing.Miguel BulaPicón
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 Para el eje AB ( 𝑇𝐴𝐵 = 𝑇𝐵 = 42,44𝑁 ∙ 𝑚), tenemos:
𝑐 𝐴𝐵 = √
2𝑇𝐴𝐵
𝜋𝜏 𝑝𝑒𝑟𝑚
3
= √
2(42,44𝑁 ∙ 𝑚)
𝜋(60 × 106 𝑁
𝑚2)
3
= 7,66 × 10−3 𝑚 ×
1000𝑚𝑚
1𝑚
= 7,66𝑚𝑚
El diámetro se halla asi:
𝑑 𝐴𝐵 = 2𝑐 𝐴𝐵 = 2(7,66𝑚𝑚) = 𝟏𝟓, 𝟑𝟑𝒎𝒎
 Para el eje CD ( 𝑇𝐶𝐷 = 𝑇𝐷 = 106,1𝑁 ∙ 𝑚), tenemos:
𝑐 𝐴𝐵 = √
2𝑇𝐴𝐵
𝜋𝜏 𝑝𝑒𝑟𝑚
3
= √
2(106,1𝑁 ∙ 𝑚)
𝜋(60 × 106 𝑁
𝑚2)
3
= 10,4 × 10−3 𝑚 ×
1000𝑚𝑚
1𝑚
= 10,4𝑚𝑚
El diámetro se halla asi:
𝑑 𝐴𝐵 = 2𝑐 𝐴𝐵 = 2(10,4𝑚𝑚) = 𝟐𝟎, 𝟖𝒎𝒎
 Para el eje EF ( 𝑇𝐸𝐹 = 𝑇𝐸 = 265,25𝑁 ∙ 𝑚), tenemos:
𝑐 𝐴𝐵 = √
2𝑇𝐴𝐵
𝜋𝜏 𝑝𝑒𝑟𝑚
3
= √
2(265,25𝑁 ∙ 𝑚)
𝜋(60 × 106 𝑁
𝑚2)
3
= 14,12 × 10−3 𝑚 ×
1000𝑚𝑚
1𝑚
= 14,12𝑚𝑚
El diámetro se halla asi:
𝑑 𝐴𝐵 = 2𝑐 𝐴𝐵 = 2(14,12𝑚𝑚) = 𝟐𝟖, 𝟐𝟒𝒎𝒎