El documento presenta ejemplos de cálculo de integrales definidas utilizando diferentes métodos como productos notables, sustitución trigonométrica y fracciones parciales. Se resuelven integrales como (r-2)2 dr, (x2/3 - x) dx, dx/(x2+9) y dx/(5-x2)3/2 usando estas técnicas. También se explica cómo calcular la integral x2/(x2-9) dx mediante división de fracciones parciales.

1. Integrante:
• Rivero María CI: 28.019.069
Sección: DL1301.
Profesor: Efren Escalona.
EJERCICIOS DE
INTEGRALES
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN DISTRIBUCIÓN Y LOGÍSTICA

2. • Antiderivadas
a) (𝒓 − 𝟐) 𝟐
𝒅𝒓 𝑹𝒑𝒕𝒂;
𝒓 𝟑
𝟑
− 𝟐𝒓 𝟐
+ 𝟒𝒓 + 𝑪
Aplicamos productos notables:
𝑟2 − 4𝑟 + 4 𝑑𝑟
𝑟2
𝑑𝑟 − 4 𝑟 𝑑𝑟 + 4 𝑑𝑟
b) (𝒙
𝟐
𝟑 − 𝒙) 𝒅𝒙 𝑹𝒑𝒕𝒂;
𝟑
𝟓
𝒙 𝟓/𝟑
−
𝟐
𝟑
𝒙
𝟑
𝟐 + 𝑪
Integrando:
𝑟3
3
- 4 (𝑟2) + 4r + C
𝑟3
3
- 2𝑟2
+ 4𝑟 + 𝐶
𝑥2/3
𝑑𝑥 − 𝑥1/2
𝑑𝑥
3
5
𝑥5/3
−
2
3
𝑥
3
2 + 𝐶

3. • Sustitución Trigonométrica
a)
𝒙+𝟐
𝒙 𝟐+𝟗
𝒅𝒙 𝑹𝒑𝒕𝒂; 𝒙 𝟐 + 𝟗 + 𝟐 𝐥𝐧 𝒙 + 𝒙 𝟐 + 𝟗 + 𝑪
Por sustitución trigonométrica
x = 3 tan 𝜃 ; 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐2
𝜃 𝑑𝜃
9𝑡𝑎𝑛𝑔2 𝜃 + 9 = 9(𝑡𝑎𝑛𝑔2 𝜃 + 1)
= 3 𝑡𝑎𝑛𝑔2 𝜃 + 1
Por la identidad: 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑔2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
Tenemos que:
3 𝑡𝑎𝑛𝑔2 𝜃 + 1 ≈ 3 sec 𝜃
𝑥+2 𝑑𝑥
𝑥2+32
=
(3 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝜃+2)
3 sec 𝜃
. (3 𝑠𝑒𝑐2
𝜃 𝑑𝜃)
3 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 + 2 (sec 𝜃) 𝑑𝜃
3 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃
3 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃
Resolviendo la integral
3 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 2 ln sec 𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝜃 + C
Devolviendo el cambio por trigonometría
3 .
𝑥2+9
3
+ 2 ln
𝑥2+9
3
+
𝑥
3
+ C
= 𝑥2 + 9 + 2 ln
𝑥2+9 +𝑥
3
+ 𝐶
Por leyes de logaritmos
= 𝑥2 + 9 + 2 ln 𝑥2 + 9 + 𝑥 − ln 3 + 𝐶
= 𝑥2 + 9 + 2 ln 𝑥2 + 9 + 𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 9
3
𝑥
𝜃

4. • Sustitución Trigonométrica
b)
𝒅𝒙
(𝟓−𝒙 𝟐) 𝟑/𝟐 𝑹𝒑𝒕𝒂;
𝒙
𝟓 𝟓−𝒙 𝟐
+ 𝑪
Solución
𝑥 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝜃 → 𝑑𝑥 = 5 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
𝑥 = ( 5 𝑠𝑒𝑛𝜃)2
𝑥2
= 5 𝑠𝑒𝑛2
𝜃
𝑎2
− 𝑌2
→ 𝑌 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 ; 𝑌2
= 𝑥2
4𝑌 = 5
𝑌 = 5 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 = 5 → 𝑎2
= 5
𝑌2
= ( 5 𝑠𝑒𝑛𝜃)2
→ 𝑌2
= 5 𝑠𝑒𝑛2
𝜃
𝑥2
= 5 𝑠𝑒𝑛2
𝜃
𝑥 = 5 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑥
(5−𝑥2)2 =
5 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
(5−5 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)3/2 = 5
cos 𝜃 𝑑𝜃
[5 1−𝑠𝑒𝑛2 𝜃 ]3/2
=
52/2
53/2
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
(𝑐𝑜𝑠2 𝜃)3/2 =
1
5
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑑𝑥
(5−𝑥2)3/2 =
1
5
𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
=
1
5
𝑠𝑒𝑐2
𝜃 𝑑𝜃 =
1
5
𝑡𝑎𝑛𝑔 𝜃 + 𝐶
𝑠𝑒𝑐2
𝜃 𝑑𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝜃 + 𝐶
Por:
𝑌
5
𝑥
𝑌 = 5 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑌
5
Usando Pitágoras:
( 5)2
= 𝑥2
+ 𝑌2
𝑥2
= 5 − 𝑌2
𝑥 = 5 − 𝑌2
𝑑𝑥
(5−𝑥2)3/2 =
1
5
𝑌
5−𝑌2
+ C
𝑑𝑥
(5 − 𝑥2)3/2
=
𝑥
5 5 − 𝑥2
+ 𝐶

5. • Fracciones Parciales
a)
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐−𝟗
𝒅𝒙 𝑹𝒑𝒕𝒂; 𝒙 +
𝟑
𝟐
𝐥𝐧
𝒙−𝟑
𝒙+𝟑
+ 𝑪
1) Por división de polinomios
𝑥2
𝑥2−9
=
(𝑥2−9)
(𝑥2−9)
+
9
(𝑥2−9)
𝑥2
𝑥2
𝑥2 − 9
= 1 +
9
(𝑥2 − 9)
2) Luego se integran ambos lados:
𝑥2
(𝑥2 − 9)
𝑑𝑥 = 1 +
9
𝑥2 − 9
𝑑𝑥
= 1 𝑑𝑥 +
9𝑑𝑥
𝑥2−9
= x + 9
𝑑𝑥
𝑥2−9
+ 𝐶
Resolviendo la
𝒅𝒙
𝒙 𝟐−𝟗
; por fracciones parciales:
1
𝑥2 − 9
=
1
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
=
𝐴
(𝑥 − 3)
+
𝐵
(𝑥 + 3)
=
𝐴 𝑥 + 3 + 𝐵(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
1 = 𝐴 𝑥 + 3 + 𝐵 𝑥 − 3 = 𝐴𝑥 + 3𝐴 + 𝐵𝑥 − 3𝐵
1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 3𝐴 − 3𝐵
1 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 3𝐴 − 3𝐵 ;
𝑥2
− 9
1−𝑥2
+ 9
0 + 9
Despejamos: A = −𝐵 Sustituimos:
3 −𝐵 − 3𝐵 = 1
−3𝐵 − 3𝐵 = 1
−6𝐵 = 1
𝐵 = −1/6
𝐴 + 𝐵 = 0
3𝐴 − 3𝐵 = 1
A=-(-1/6)
A=1/6

6. Así
1
𝑥2 − 9
𝑑𝑥 =
𝐴
(𝑥 − 3)
𝑑𝑥 +
𝐵
(𝑥 + 3)
𝑑𝑥
1
𝑥2 − 9
𝑑𝑥 =
(
1
6
)
(𝑥 − 3)
𝑑𝑥 +
(−
1
6
)
(𝑥 + 3)
𝑑𝑥 =
1
6
𝑑𝑥
(𝑥 − 3)
−
1
6
𝑑𝑥
(𝑥 − 3)
Resolvemos
Sea u= x-3
du=dx=
𝑑𝑥
𝑥−3
=
𝑑𝑢
𝑢
= ln 𝑢 + 𝐶 = ln 𝑥 − 3 + 𝐶
Resolvemos
Sea v= x+3
𝑑𝑥
𝑥+3
=
𝑑𝑣
𝑣
= ln v + C = ln 𝑥 + 3 + 𝐶
dv=dx
Sustituyendo
1
𝑥2 − 9
𝑑𝑥 =
1
6
𝑙𝑛 𝑥 − 3 −
1
6
𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝐶
=
1
6
𝑙𝑛 𝑥 − 3 − 𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝐶
1
𝑥2−9
𝑑𝑥 =
1
6
ln
(𝑥−3)
𝑥+3
+ 𝐶
Finalmente
𝑥2
𝑥2 − 9
𝑑𝑥 = 𝑥 + 9
1
6
𝑙𝑛
(𝑥 − 3)
(𝑥 + 3)
+ 𝐶
𝑥2
𝑥2 − 9
𝑑𝑥 = 𝑥 +
3
2
𝑙𝑛
(𝑥 − 3)
(𝑥 + 3)
+ 𝐶