El documento presenta ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Se muestran ejemplos de sistemas 3x3 y 4x4 resueltos paso a paso, incluyendo la determinación de rangos para saber si los sistemas tienen solución única, infinitas soluciones o no tienen solución.

1. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
1 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
1) Resolver por el método de GAUSS los sistemas siguientes:
+ − =
− + =
− + =
+ − =
− − + = −
+ + =
− + =
− − =
− + =
− + =
− + =
− + =
+ − =
− + =
− + =
⇒
1 2
2 −1
4 −1
−1 2
1 3
2 0
⇒
1 2
0 −5
0 −9
−1 2
3 −1
6 −8
⇒
1 −1
0 3
0 6
2 2
−5 −1
9 −8
⇒
1 −1
0 3
0 0
2 2
−5 −1
19 −6
⇒
− ! + 2" = 2
3! − 5" = −1
19" = −6
SCD
y = -6/19; z = -49/57; x = 101/57
Paso 1.- F2 = -2F1+F2; F3 = -4F1+F3
Paso 2.- Permuto C2 con C3 (incógnita y con z)
Paso 3.- F3 = -2F2+F31
***
+ − =
− − + = −
+ + =
⇒
1 3
−2 −4
2 4
−1 4
3 −6
1 1
⇒
1 3
0 3
0 −2
−1 4
1 −14
3 −7
⇒
1 −1
0 1
0 3
3 4
3 −14
−2 −7
⇒
1 −1
0 1
0 0
3 4
3 −14
−11 35
⇒
− ! + 3" = 4
! + 3" = −14
−11" = 35
SCD
y = -35/11; z = -49/11; x = 189/11
Paso 1.- F2 = 2F1+F2; F3 = -2F1+F3
Paso 2.- Permuto C2 con C3 (incógnita y con z)
Paso 3.- F3 = -3F2+F3
***
− + =
− − =
− + =
⇒
1 −1
2 −1
3 −2
2 4
−1 10
1 14
⇒
1 −1
0 1
0 1
2 4
−5 2
−5 2
⇒
1 −1
0 1
0 0
2 4
−5 2
0 0
⇒ ⇒
− " + 2! = 4
" − 5! = 2
0 = 0
SCI y = 2+5t; z = t; x = 6+3t
Paso 1.- F2 = -2F1+F2; F3 = -3F1+F3
Paso 2.- F3 = -F2+F3
***
1
(En los pasos, la fila o columna que aparece en la izquierda de la igualdad es la de la matriz
de llegada y las que figuran en la derecha de la igualdad son las de la matriz de partida.)

2. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
2 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
− + =
− + =
− + =
⇒
1 −1
2 −1
2 −2
1 3
3 5
2 14
⇒
1 −1
0 1
0 0
1 3
1 −1
0 8
⇒
− " + ! = 3
" + ! = −1
0 = 8
SI
(No tiene solución)
Paso 1.- F2 = -2F1+F2; F3 = -2F1+F3
***
2) Resolver por el método de GAUSS los sistemas siguientes:
+ − + $ =
− − − $ =
− + − $ =
+ − % − $ =
&
− + + =
+ − =
+ ' − =
− + =
&
+ − + $ =
− − − $ =
− + − $ =
+ − % − $ =
& ⇒ (
2 1
1 −1
−2 1
−1 −2
0
0
1 −2
1 1
2 −1
−7 −4
0
0
) ⇒ (
1 −1
2 1
−1 −2
−2 1
0
0
1 −2
1 1
2 −1
−7 −4
0
0
)
⇒ (
1 −1
0 3
−1 −2
0 −3
0
0
0 −1
0 2
3 1
−6 −2
0
0
) ⇒ (
1 −1
0 −1
−1 −2
3 1
0
0
0 3
0 2
0 −3
−6 −2
0
0
)
⇒ (
1 −1
0 −1
−1 −2
3 1
0
0
0 0
0 0
9 0
12 −2
0
0
) ⇒
− " − ! − 2* = 0
−" + 3! + * = 0
9! = 0
12! − 2* = 0
& SCD z = 0, t = 0, y = 0, x = 0
Paso 1.- Permuto F1 con F2
Paso 2.- F2 = -2F1+F2; F3 = -F1+F3; F4 = -F1+F4
Paso 3.- Permuto F2 con F3
Paso 3.- F3 = 3F2+F3; F4 = 2F3+F4
***
− + + =
+ − =
+ ' − =
− + =
& ⇒
(
−1 2
2 3
3 3
−2 5
3 8
1 −2
−1 13
6 6
) ⇒ (
−1 2
0 7
3 3
4 11
0 14
0 0
8 22
9 9
) ⇒ (
−1 2
0 7
3 3
4 11
0 0
0 0
0 0
9 9
) ⇒
− + 2" + 3! = 3
7" + 4! = 11
0 = 0
9! = 9
& SCD z = 1; y = 1; x = 2
Paso 1.- F2 = 2F1+F2; F3 = 3F1+F3; F4 = F1+F4
Paso 2.- F3 = -2F2+F3
***
3) Resolver los sistemas de CRAMER siguientes:

3. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
3 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
+ + = +
− + + = −
+ + =
+ + =
− + =
− + + =
− + = %
+ − = −
− − =
+ + =
+ + $ =
+ + $ =
+ + $ =
&
+ + = +
− + + = −
+ + =
=
,
-
.
/ 0
,
,.
/ 0
,
= 1; " =
,
-
. .
0
,
,.
/ 0
,
= −2 ; ! =
,
-
. .
/
,
,.
/ 0
,
= 3
***
+ + =
− + =
− + + =
=
,
1 1 1
1 −1 1
1 1 1
,
,
1 1 1
1 −1 1
−1 1 1
,
= 0;" =
,
1 1 1
1 1 1
−1 1 1
,
,
1 1 1
1 −1 1
−1 1 1
,
= 0;! =
,
1 1 1
1 −1 1
−1 1 1
,
,
1 1 1
1 −1 1
−1 1 1
,
= 1
***
− + = %
+ − = −
− − =
x =
,
2 . /
. ./
0 . .
,
,
. /
./
. .
,
=
2
; " =
,
2 /
. ./
0 .
,
,
. /
./
. .
,
=
.-
2
! =
,
. 2
.
. 0
,
,
. /
./
. .
,
= 0
***
+ + =
+ + $ =
+ + $ =
+ + $ =
& x =
3
4
4
4
3
34
4
4
4
3
= ; " =
34
4
4
3
34
4
4
4
3
= ! =
34
4
4
3
34
4
4
4
3
=
* =
34
4
3
34
4
4
4
3
=
***
4) Estudiar y resolver, si es posible, los sistemas:
+ =
+ = %
+ =
+ =
+ = '
+ =
+ + = +
&
− + = −
+ − = +
5
– + + =
− − ' = '
5
− + = %
+ − = −
− − =
+ =
+ = %
+ =
⇒ 7 =
1 0 3
3 5 0
2 4 0
|A|=6 rang(A) = rang(A|B) = 3 = nº incóg. ⇒ S.C.D. Es
un sistema de Cramer. Su solución es:
=
,
4
2 8 4
8 / 4
,
0
= ; " =
, 2 4
8 4
,
0
= ; ! =
,
4
8 2
/ 8
,
0
=
***

4. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
4 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
+ =
+ = '
+ =
+ + = +
& ⇒ 7 = 9
1 1 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
: rango (A) = 3, pues ,
1 1 0
0 1 1
1 0 1
, = 2; A|B=(
1 1
0 1
0 4
1 8
1 0
1 1
1 6
1 9
)
|A|B| = 0, por lo que rango (A|B) = 3 ⇒ S.C.D, cuyo sistema de Cramer equivalente es:
+ " = 4
" + ! = 8
+ ! = 6
⇒ =
,
/ 4
;
0 4
,
2
= 1; " =
<
1 4 0
0 8 1
1 6 1
<
= 3 ; ! =
<
1 1 4
0 1 8
1 0 6
<
= 5
***
− + = −
+ − = +
5 ⇒ 7 = =
3 −1 3
1 1 −5
> rango (A) = 2, pues ?
3 −1
1 1
? = 4. Rango (A|B) =
2 < nº incógnitas ⇒ SCI. Su sistema de Cramer equivalente es, haciendo z = t:
3 − " = −1 − 3*
+ " = 9 + 5*
5 ⇒ =
?
. . @ .
-A8@
?
/
=
/A@
" =
?
. . @
-A8@
?
/
=
/A-@
***
– + + =
− − ' = '
5 ⇒ 7 = =
−1 2 4
2 −4 −8
> rango (A) = 1. Rango (A|B) = 2 ⇒ SI.
***
− + = %
+ − = −
− − =
7 =
2 −3 1
1 2 −4
3 −1 −3
|A|=0 rang(A) = 2, pues ?
2 −3
1 2
? = 7 . Veamos
el rango de la ampliada. Para ello estudiamos los siguientes determinantes:
,
2 −3 7
1 2 −1
3 −1 6
, = −1, por tanto rango (A|B) = 3. El sistema es incompatible.
***
5) Estudiar y resolver, si es posible, los siguientes sistemas:
+ − = %
− + = −%
5
+ − + $ =
− + + $ = −
− + − − $ =
+ + =
+ + = −
+ + % =
+ + = %
&
+ + + $ =
+ + − $ =
− − + $ =
+ − = %
− + = −%
5 ⇒ 7 = =1 1 −2
2 −3 4
> rango (A) = 2, pues ?
1 1
2 −3
? = −5. Rango (A|B) =
2 < nº incógnitas ⇒ SCI. Su sistema de Cramer equivalente es, haciendo z = t:
+ " = 7 + 2*
2 − 3" = −7 − 4*
5 ⇒ =
?
2A @
.2./@ .
?
.8
=
/A @
8
" =
?
2A @
.2./@
?
.8
=
A;@
8
***
+ − + $ =
− + + $ = −
− + − − $ =
⇒ 7 =
1 1
2 −1
−4 5
−1 1
3 2
−11 −4
; rango (A) = 2, pues
,
1 1 −1
2 −1 3
−4 5 −11
,= 0 y ,
1 1 1
2 −1 2
−4 5 −4
,= 0 y ?
1 1
2 −1
? = −3. Veamos el rango de A|B:

5. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
5 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
,
1 1 4
2 −1 −1
−4 5 11
,=0; ,
1 −1 4
2 3 −1
−4 −11 11
,=0 y ,
1 1 4
2 2 −1
−4 −4 11
,=0; Rango (A|B) = 2 < nº
incógnitas. SCI
El sistema de Cramer equivalente es:
+ " = 4 + C − D
2 − " = −1 − 3C − 2D
5 ⇒ =
?
4+C−D 1
−1−3C−2D −1
?
−3
= 1 −
2
3
C − D ; " =
?
/AE.F
. . E. F
?
.
= 3 +
8
C; z = m; t = n
***
+ + =
+ + = −
+ + % =
+ + = %
& ⇒ 7 = 9
1 2 4
1 2 1
1 2 7
2 4 11
:; rango(A) = 2, pues ?
1 4
1 1
? = −3 (Cualquier
orden de menor tres que tomemos es 0 pues la segunda columna es múltiplo de la primera).
Veamos el rango de la ampliada:
: ,
1 4 1
1 1 −4
1 7 6
,=0 y : ,
1 4 1
1 1 −4
2 11 7
,= 0 rango (A|B) = 2. SCI.
El sistema de Cramer equivalente es, haciendo y = m:
+ 4! = 1 − 2C
+ ! = −4 − C
G ⇒ =
?
1−2C 4
−4−C 1
?
−3
=
17+2C
−3
; ! =
?
. E
./.E
?
.
=
E.8
.
; y=m.
***
+ + + $ =
+ + − $ =
− − + $ =
⇒ 7 =
3 2
1 6
1 −2
2 4
4 −2
−1 3
; rango (A) = 2, pues ,
3 2 2
1 6 4
1 −2 −1
,= 0 y
,
3 2 4
1 6 −2
1 −2 3
,= 0 y ?
3 1
2 −1
? = −5. Veamos el rango de A|B: ,
3 2 5
1 6 1
1 −2 1
,≠0;
rango (A|B) = 3 ; El sistema es Incompatible.
6) Resolver los siguientes sistemas homogéneos:
+ + =
− + =
5
+ − =
− + =
+ − =
+ + =
+ − =
− − − =
− − =
&
Nota.- En los sistemas homogéneos, que siempre son compatibles porque al menos una solución es siempre
x = y = z =… = 0, el que sean determinados o indeterminados solo depende del rango (A).
+ + =
− + =
5 ⇒ 7 = =1 1 1
2 −1 1
> rango (A) = 2, pues ?
1 1
2 −1
? = −3. Como rango(A) < nº
incógnitas, el Sistema es INDETERMINADO. Su sistema de Cramer equivalente es,
haciendo z = m:
+ = −H
− = −H
5 ⇒ =
?−C 1
−C −1
?
−3
= 2C
−3
; " =
?
.E
.E
?
.
=
E
.
; z = m
***

6. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
6 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
+ − =
− + =
+ − =
7 =
1 1 −1
2 −1 1
4 1 −1
|A|=0 rang(A) = 2, pues ?
1 1
2 −1
? = −3. Dado que el
rango (A) < nº incógnitas. El sistema es INDETERMINADO. Su sistema de Cramer
equivalente es, haciendo z = m:
+ = H
− = −H
5 ⇒ =
? C 1
−C −1
?
−3
= 0 ; " =
?
E
.E
?
.
= −C ; z = m.
***
+ + =
+ − =
− − − =
− − =
& ⇒ 7 = 9
1 2 3
3 2 −1
−2 −2 −1
1 −4 −12
:; rango(A) = 2, pues ,
1 2 3
3 2 −1
−2 −2 −1
, = 0. Y
,
1 2 3
3 2 −1
1 −4 −12
, = 0. Y ?
1 2
3 2
? = −4 Como rango (A) < nº incógnitas, el sistema es
Compatible INDETERMINADO. Su sistema de Cramer equivalente es, haciendo z = m:
+ = − H
+ = H
5 ⇒ =
?−3C 2
C 2
?
−4
= 2C ; " =
?
. E
E
?
./
= −
8
C; z = m
***
7) Dada la matriz A = = >, resolver la ecuación AX = =
−
−
>
Sea X = =
"
! *
>. AX = I
3 + ! 3" + *
2 + ! 2" + *
J, de donde:
+ = −
+ $ =
+ = −
+ $ =
& ⇒ A= (
3 0
0 3
1 0
0 1
2 0
0 2
1 0
0 1
)
|A| = 1, rango (A) = rango (A|B) = 4 = nº incógnitas. SCD.
La solución por reducción es: x = -1; y = 2; z = 1; t = -2. La matriz X es =
−1 2
1 −2
>
8) Dada la matriz A = = > halla las matrices X de orden 2 tales que AX = 0
Son las matrices de la forma =
"
! *
>, de modo que =
3 1
6 2
> =
"
! *
> = =
0 0
0 0
>, es decir:
+ =
+ $ =
+ =
+ $ =
& que queda reducida a:
+ =
+ $ =
5 ⇒ Sist. homogéneo
INDETERMINADO. Haciendo x = m e y = n, resulta z = -3m; t = -3n. Las matrices
buscadas son de la forma: =
C D
−3C −3D
> para cualesquiera valores m y n reales.
***
9) Hallar las matrices que conmutan con la matriz =
−
>
Son las matrices de la forma =
"
! *
>, de modo que

7. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
7 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
=
1 −1
2 3
> =
"
! *
>==
"
! *
> =
1 −1
2 3
>;
− = +
− $ = − +
+ = + $
+ $ = − + $
&
+ =
− − $ =
+ − $ =
+ =
&
KL MD LNL*OCP ℎRCRSODOR TO 4 OUMPUNRDOL URD 4 NDUóSDN*PL. Veamos el rango de A
3
0 2
1 −2
1 0
0 −1
2 0
2 0
2 −2
1 0
3= 0, por tanto rango (A) =2, pues ,
2 1 0
−2 0 1
0 2 −2
, = −8. Sistema
Indeterminado. Su sistema de Cramer equivalente es, haciendo x = m:
2" + ! = 0
−2" − * = −C
2! − 2* = −2C
⇒ = C; " =
<
0 1 0
−C 0 1
−2C 2 −2
<
.;
=
E
; ! =
<
2 0 0
−2 −C 1
0 −2C −2
<
.;
= −C ;
* =
<
2 1 0
−2 0 −C
0 2 −2C
<
.;
=0. Las matrices que conmutan son de la forma:
=
C C/2
−C 0
> para cualquier valor real de m.
***
10) Discutir y resolver según los valores del parámetro los sistemas siguientes:
1) 2) 3) 4)
Y − = −
− − Y =
− + =
Z + + =
+ Z + =
+ + Z =
+ − =
+ H + = H
+ − H =
− − H = H
− − =
− H =
5) 6) 7) 8)
Z + [Z − + = Z −
[Z + + + = Z −
[Z + + = Z −
]
+ =
+ = Y
+ Y = −
+ − = ^
− = ^
+ =
− =
&
+ = '
− =
− = H
9) 10) 11) 12)
+ − = H
+ + = +
− + =
+ − =
&
Z + + = Z
− + =
− − =
− + = Z
&
+ + =
− + + =
' + − ' = Z
− = Z
− = Z − _
− =
13) 14) 15) 16)
Z − + =
+ + =
− + = _
− H + =
+ + =
H + + =
− H + =
+ − H =
5
− ' − _ =
% − − =
+ − =
17) 18)
+ Y + =
− + % =
Y − + =
[ + H + + =
+ H + =
+ + =

8. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
8 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
SOLUCIONES:
1)
` − 2" = −1
2 − " − `! = 1
− + 2! = 1
; 7 =
` −2 0
2 −1 −`
−1 0 2
; |7| = 8 − 4`; |7| = 0 bPcP ` = 2
Si k = 2, rango(A) = 2 pues ?
2 −2
2 −1
? = 2 ≠ 0. Veamos el rango(A|B):
,
2 −2 −1
2 −1 1
−1 0 1
, = 5 ≠ 0, rango (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE
Si k≠ 2, rango(A)=rango(A|B) = 3 = nº incógnitas. Sistema COMPATIBLE DET.
Solución:
=
,
−1 −2 0
1 −1 −`
1 0 2
,
,
` −2 0
2 −1 −`
−1 0 2
,
=
3 + `
2[2 − `
; " =
,
` −1 0
2 1 −`
−1 1 2
,
,
` −2 0
2 −1 −`
−1 0 2
,
=
` + ` + 4
4[2 − `
;
! =
,
` −2 −1
2 −1 1
−1 0 1
,
,
` −2 0
2 −1 −`
−1 0 2
,
=
7 − `
4[2 − `
;
2)
P + " + ! = 1
+ P" + ! = 1
+ " + P! = 1
; 7 =
P 1 1
1 P 1
1 1 P
; |7| = [P − 1 [P + 2; |7| = 0 bPcP P = −2
Y para a = 1.
Si a = -2, rango(A) = 2 pues ?
−2 1
1 −2
? = 3 ≠ 0. Veamos el rango(A|B):
,
−2 1 1
1 −2 1
1 1 1
, = 9 ≠ 0, rango (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE
Si a = 1, rango(A) = rango(A|B) = 1. Sistema COMPATIBLE INDET.

9. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
9 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
Solución: Hacemos z = m e y = n; x = 1-m-n.
Si a≠ 1 " P ≠ −2 rango(A)=rango(A|B) = 3 = nº incógnitas. Sistema COMPATIBLE DET.
Solución:
=
,
1 1 1
1 P 1
1 1 P
,
,
P 1 1
1 P 1
1 1 P
,
=
[P − 1
[P − 1 [P + 2
=
1
P + 2
; " =
,
P 1 1
1 1 1
1 1 P
,
,
P 1 1
1 P 1
1 1 P
,
=
1
P + 2
;
! =
,
P 1 1
1 P 1
1 1 1
,
,
P 1 1
1 P 1
1 1 P
,
=
1
P + 2
;
3)
2 + " − ! = 2
+ C" + ! = C
3 + " − C! = 2
7 =
2 1 −1
1 C 1
3 1 −C
; |7| = 2C[2 − C; |7| = 0 bPcP C = 2
y m = 0.
Si m = 2, rango(A) = 2 pues ?
2 1
1 2
? = 3 ≠ 0. Veamos el rango(A|B):
,
2 1 2
1 2 2
3 1 2
, = −2 ≠ 0, rango (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE.
Si m = 0, rango(A) = 2 pues ?
2 1
1 0
? = −1 ≠ 0. Veamos el rango(A|B):
,
2 1 2
1 0 0
3 1 2
, = 0: ,
2 −1 2
1 1 0
3 0 2
, = 0. Rango (A!B) = 2. Sistema COMPATIBLE INDET.
Solución: Sistema de Cramer equivalente (z = f:
2 + " = 2 + f
= −f
G de donde se obtiene:
= −f; " = 2 + 3f; ! = f
Si m ≠ 0 y m ≠ 2, rango (A) = rango (A|B) = 3. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO
Solución:
=
,
2 1 −1
C C 1
2 1 −C
,
,
2 1 −1
1 C 1
3 1 −C
,
=
C[1 − C
2C[2 − C
=
1 − C
4 − 2C
; " =
,
2 2 −1
1 C 1
3 2 −C
,
,
2 1 −1
1 C 1
3 1 −C
,
=
5 − 2C
2[2 − C
;
! =
,
2 1 2
1 C C
3 1 2
,
,
2 1 −1
1 C 1
3 1 −C
,
=
−C
2C[2 − C
=
1
2[C − 2
;

10. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
10 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
4)
− − C! = C
− " − 3! = 5
2 − C" = 0
7 =
−1 0 −C
1 −1 −3
2 −C 0
; |7| = C[C + 1; |7| = 0 bPcP C = −1
y m = 0.
Si m = -1, rango(A) = 2 pues ?
−1 0
1 −1
? = 1 ≠ 0. Veamos el rango(A|B):
,
−1 0 −1
1 −1 5
2 1 0
, = 2 ≠ 0, rango (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE.
Si m = 0. rango(A) = 2 pues ?
−1 0
1 −1
? = 1 ≠ 0. Veamos el rango(A|B):
,
−1 0 0
1 −1 5
2 0 0
, = 0 " ,
−1 0 0
1 −3 5
2 0 0
, = 0 rango (A|B) = 2. Sistema COMPATIBLE IND.
Solución: Sistema de Cramer equivalente (z = f:
− = 0
− " = 5 + 3f
5 de donde se obtiene:
= 0; " = −5 − 3f; ! = f
Si m ≠ 0 y m ≠ -1, rango (A) = rango (A|B) = 3. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO
Solución:
=
,
C 0 −C
5 −1 −3
0 −C 0
,
,
−1 0 −C
1 −1 −3
2 −C 0
,
=
2C
C[C + 1
=
2C
C + 1
; " =
,
−1 C −C
1 5 −3
2 0 0
,
,
−1 0 −C
1 −1 −3
2 −C 0
,
=
4
C + 1
;
! =
,
−1 0 C
1 −1 5
2 −C 0
,
,
−1 0 −C
1 −1 −3
2 −C 0
,
=
−C[3 + C
C[C + 1
=
−3 − C
C + 1
;
5)
P + [P − 1" + ! = P − 1
[P + 2 + " + ! = P − 1
[P + 1 + 2! = P − 1
] 7 =
P P − 1 1
P + 2 1 1
P + 1 0 2
; |7| = [1 − P[P + 2; Se anula
Para a = 1 y a = -2
Si a = 1, rango(A) = 2, pues ?
1 0
3 1
? = 1 ≠ 0. Veamos el rango(A|B) = rango (A) siempre
pues la columna de términos independientes es nula. Sistema COMPATIBLE INDET.
Solución:
Sistema de Cramer asociado (z = f:
= −f
3 + " = −fG de donde se obtiene:
= −f; " = 2f; ! = f

11. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
11 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
Si a = -2, , rango(A) = 2, pues 7 =
P P − 1 1
P + 2 1 1
P + 1 0 2
; |7| = [1 − P[P + 2; Se anula
Para a = 1 y a = -2
Si a = 1, rango(A) = 2, pues ?
1 0
3 1
? = 1 ≠ 0. Veamos el rango(A|B) = rango (A) siempre
pues la columna de términos independientes es nula. Sistema COMPATIBLE INDET.
Solución:
. Veamos el rango(A|B)
,
−2 −3 −3
0 1 −3
−1 0 −3
, = −6 rango (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE
Si a ≠ 1 y a ≠ -2, rango (A) = rango (A|B) = 3. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO
Solución:
=
,
P − 1 P − 1 1
P − 1 1 1
P − 1 0 2
,
,
P P − 1 1
P + 2 1 1
P + 1 0 2
,
=
P − 2
P + 2
; " =
,
P P − 1 1
P + 2 P − 1 1
P + 1 P − 1 2
,
,
P P − 1 1
P + 2 1 1
P + 1 0 2
,
=
2
P + 2
.
! =
,
P P − 1 P − 1
P + 2 1 P − 1
P + 1 0 P − 1
,
,
P P − 1 1
P + 2 1 1
P + 1 0 2
,
=
P
P + 2
;
6)
+ " = 2
3 + " = 2`
3 + `" = −1
7 =
1 1
3 1
3 `
; cPDSR [7 = 2, pues ?
1 1
3 1
? = −2 ≠ 0.
Veamos el rango(A|B) : ,
1 1 2
3 1 2`
3 ` −1
, = −2` + 12` − 4; Se anula para ` = 2 ± √7
Si ` ≠ 2 ± √7, rango (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE.
Si ` = 2 ± √7, rango (A|B) = 2. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO.
Solución: Sistemas de Cramer equivalente:
+ " = 2
3 + " = 2 ± √7
5
Para k = 2 + √7 , x =
√2
y =
/.√2
Para k = 2 − √7 , x =
.√2
y =
/A√2
7)
2 + " − 4! = b
2" − ! = b
" + ! = 6
3 − 2! = 11
& 7 = (
2 1 −4
0 2 −1
0 1 1
3 0 −2
) rango A = 3, pues ,
2 1 −4
0 2 −1
0 1 1
, = 6 ≠ 0. Veamos el

12. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
12 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
rango de la matriz ampliada : i
2 1
0 2
−4 b
−1 b
0 1
3 0
1 6
−2 11
i = 2 ,
2 −1 b
1 1 6
0 −2 11
, − 3 ,
1 −4 b
2 −1 b
1 1 6
, =
=2p – 12. Se anula para p = 6.
Si p ≠ 6, rango (A|B) = 4. Sistema INCOMPATIBLE.
Si p = 6, rango (A|B) = 3. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO:
Solución:
Sistema de Cramer equivalente:
2 + 4" − 4! = 6
2" − ! = 6
" + ! = 6
cuya solución es:
=
6 ,
1 1 −4
1 2 −1
1 1 1
,
,
2 1 −4
0 2 −1
0 1 1
,
= 5; " =
6 ,
2 1 −4
0 1 −1
0 1 1
,
,
2 1 −4
0 2 −1
0 1 1
,
= 4.
! =
6 ,
2 1 1
0 2 1
0 1 1
,
,
2 1 −4
0 2 −1
0 1 1
,
= 2;
8)
2 + 3" = 8
− " = 1
3 − 4" = 5C
7 =
2 3
1 −1
3 −4
; cPDSR [7 = 2, pues ?
2 3
1 −1
? = −5 ≠ 0
Veamos el rango(A|B) : ,
2 3 8
1 −1 1
3 −4 5C
, = −25C + 9; Se anula para C =
-
8
Si m ≠ 9/25, rango (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE
Si m = 9/25, rango /A|B) = 2. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO:
Solución:
Sistema de Cramer:
2 + 3" = 8
− " = 1
5; x = 11/5 y = 6/5
9)
2 + 3" − 4! = C
+ " + ! = 9
− " + ! = 3
+ 2" − 3! = 4
& 7 = (
2 3 −4
1 1 1
1 −1 1
1 2 −3
) rango A = 3, pues ,
2 3 −4
1 1 1
1 −1 1
, = 12 ≠ 0.
Veamos el rango de la matriz ampliada : 3
2 3
1 1
−4 C
1 9
1 −1
1 2
1 3
−3 4
3 = 3
0 −1
0 −1
2 C − 8
4 5
0 −3
1 2
4 −1
−3 4
3 =

13. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
13 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
-,
−1 2 C − 8
−1 4 5
−3 4 −1
, = ,
1 2 C − 8
0 2 13 − C
0 −2 23 − 3C
, = 72 − 8C.
Si m ≠ 9, rango (A|B) = 4. Sistema INCOMPATIBLE
Si m = 9, rango (A|B) = 3. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO:
Solución:
Sistema de Cramer equivalente:
2 + 3" − 4! = 9
+ " + ! = 9
− " + ! = 3
=
3 ,
3 3 −4
3 1 1
1 −1 1
,
,
2 3 −4
1 1 1
1 −1 1
,
=
48
12
= 4; " =
3 ,
2 3 −4
1 3 1
1 1 1
,
,
2 3 −4
1 1 1
1 −1 1
,
= 3.
! =
3 ,
2 3 3
1 1 3
1 −1 1
,
,
2 3 −4
1 1 1
1 −1 1
,
=
24
12
= 2;
10)
P + " + ! = P
− " + ! = 1
3 − " − ! = 1
6 − " + ! = 3P
& 7 = (
P 1 1
1 −1 1
3 −1 −1
6 −1 1
) rango A = 3, pues ,
1 −1 1
3 −1 −1
6 −1 1
, = 10 ≠ 0.
Veamos el rango de la matriz ampliada
: i
P 1
1 −1
1 P
1 1
3 −1
6 −1
−1 1
1 3P
i = i
0 P + 1
1 −1
1 − P P − P
1 1
0 2
0 5
−4 −2
−5 3P − 6
i = −2 ,
P + 1 1 − P P − P
1 −2 −1
5 −5 3P − 6
, =
−4[P − 2 . jO PDMkP bPcP P = 2
Si a ≠ 2, rango (A|B) = 4. Sistema INCOMPATIBLE
Si a = 2, rango (AB) = 3. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO.
Solución:
Sistema de Cramer asociado:
− " + ! = 1
3 − " − ! = 1
6 − " + ! = 6
, cuya solución es:
=
,
1 −1 1
1 −1 −1
6 −1 1
,
,
1 −1 1
3 −1 −1
6 −1 1
,
=
10
10
= 1; " =
,
1 1 1
3 1 −1
6 6 1
,
,
1 −1 1
3 −1 −1
6 −1 1
,
=
10
10
= 1.

14. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
14 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
! =
,
1 −1 1
3 −1 1
6 −1 6
,
,
1 −1 1
3 −1 −1
6 −1 1
,
=
10
10
= 1
11)
4 + 3" + 2! = 1
−2 + " + 5! = 6
8 + " − 8! = P
7 =
4 3 2
−2 1 5
8 1 −8
; |7| = 0; rango A = 2, pues ?
4 3
−2 1
? = 10 ≠ 0
Veamos el rango de A|B:
,
4 3 1
−2 1 6
8 1 P
, = 10P + 110. jO PDMkP bPcP P = −11 ,
4 2 1
−2 5 6
8 −8 P
,= 24a+264. Se anula
también para a = -11.
Si a ≠ -11, rango (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE
Si a = -11, rango (A|B) = 2. Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO.
Solución:
Sistema de Cramer asociado: (z = f:
4 + 3" = 1 − 2f
−2 + " = 6 − 5f
5 de donde se obtiene:
=
?
1 − 2f 3
6 − 5f 1
?
?
4 3
−2 1
?
=
13f − 17
10
; " =
?
4 1 − 2f
−2 6 − 5f
?
?
4 3
−2 1
?
=
−24f + 26
10
; ! = f
11) No entra en el programa de la CIUG
− 2" = P
3 − " = P − l
− " = 4
7 =
1 −2
3 −1
1 −1
; cPDSR [7 = 2, pues ?
1 −2
3 −1
? = 5 ≠ 0
Veamos el rango(A|B) : ,
1 −2 P
3 −1 P − l
1 −1 4
, = −3P + l + 20; Se anula para l = 20 − 3P
Para cualquier valor de a, si b ≠ 3a-20 el rango (A|B) = 3. Sist. INCOMPATIBLE
Si para cualquier valor de a, b = 3a - 20, el rango (A|B) = 2. Sist. COMPATIBLE DET.
Solución:
Sistema de Cramer asociado:
4 − 2" = P
3 − " = −2P + 20
5 cuya solución es:
=
?
P −2
−2P + 20 −1
?
?
1 −2
3 −1
?
=
−5P + 40
5
; " =
?
1 P
3 −2P + 20
?
?
1 −2
3 −1
?
=
−5P + 20
5
13) No entra en el programa de la CIUG
P − " + 2! = 1
+ 4" + ! = 3
2 − 5" + ! = l
7 =
P −1 2
1 4 1
2 −5 1
; |7| = 9P − 27;
jN P = 3 rango A = 2, pues ?
3 −1
1 4
? = 13 ≠ 0
Veamos el rango de A|B:

15. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
15 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
,
3 −1 1
1 4 3
2 −5 l
, = 13l + 26; ,
3 2 1
1 1 3
2 1 l
, = l + 2 Ambos se anulan para b = -2.
En consecuencia:
Si a = 3 y b = 2, el rango(A) = rango (A|B) = 2. Sistema COMPATIBLE INDETERM.
Si a = 3 y b ≠ 2, el rango(A) = 2 y rang (A|B) = 3. Sistema INCOMPATIBLE.
Si a ≠ 3 rango (A) = rango (A|B) = 3. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO para
cualquiera valor de b.
Solución:
=
,
1 −1 2
3 4 1
l −5 1
,
,
P −1 2
1 4 1
2 −5 1
,
=
−9[l + 2
9[P − 3
=
l + 2
3 − P
; " =
,
P 1 2
1 3 1
2 l 1
,
,
P −1 2
1 4 1
2 −5 1
,
=
−Pl + 3P + 2l − 11
9[P − 3
! =
,
P −1 1
1 4 3
2 −5 l
,
,
P −1 2
1 4 1
2 −5 1
,
=
4Pl + 15P + l − 19
9[P − 3
14)
− C" + ! = 0
+ " + ! = 0
C + " + ! = 0
7 =
1 −C 1
1 1 1
C 1 1
; |7| = −C + 1; Se anula para m = ±1
jN C = 1 rango A = 2, pues ?
1 −1
1 1
? = 2 ≠ 0. Como el sistema es homogéneo, es
COMPATIBLE INDETERMINADO:
Solución: Sistema de Cramer asociado: (z = f:
− " = −f
+ " = −fG de donde se obtiene:
= − f, " = 0, ! = f
Si m = -1 rango A = 2, pues ?
1 1
−1 1
? = 2 ≠ 0. Como el sistema es homogéneo, es
COMPATIBLE INDETERMINADO:
Solución: Sistema de Cramer asociado: (z = f:
+ " = −f
− + " = −fG de donde se obtiene:
= 0, " = −f, ! = f
Si m ≠1 y m ≠ -1, rango (A) = 3. Sistema COMPATIBLE DETERMINADO, que al ser
homogéneo resulta x = y = z = 0.
15)
2 − C" + 6! = 0
+ 3" − C! = 0
5 7 = =
2 −C 6
1 3 −C
>; ?
2 −C
1 3
? = 6 + C; ?
2 6
1 −C
? = −2C − 6;
No se anulann para el mismo valor de m, por lo que el rango(A) = 2, para todo valor de m. Al
ser un sistema homogéneo es COMPATIBLE INDETERMINADO:
Solución:
Si m = -6. El sistema de Cramer asociado es: (y = α)
2 + 6! = 6f
+ 6! = −3f
G de donde se obtiene:
= 3f, " = f, ! = −f

16. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
16 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
Si m ≠ -6. El sistema de Cramer asociado es: (z = α)
2 − C" = −6f
+ 3" = Cf
5 de donde se obtiene:
z = α
=
?
−6f −C
Cf 3
?
?
2 −C
1 3
?
=
−18P + fC
6 + C
; " =
?
2 −6f
1 Cf
?
?
2 −C
1 3
?
=
2Cf + 6f
6 + C
16)
6 − 18" − l! = 0
7 − 2" − 4! = 0
4 + 10" − 6! = 0
7 =
6 −18 −l
7 −2 −4
4 10 −6
; |7| = −156 − 78l;
jN l = −2 rango A = 2, pues ?
7 −2
4 10
? = 78 ≠ 0. Por ser un sistema homogéneo y rango (A) <
nº incógnitas, el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO.
Solución: Sistema de Cramer asociado (z = f:
7 − 2" = 4f
4 + 10" = 6f
5 de donde se obtiene:
=
?
4f −2
6f 10
?
?
7 −2
4 10
?
=
52f
78
; " =
?
7 4f
4 6f
?
?
7 −2
4 10
?
=
26f
78
; ! = f
17)
2 + `" + 4! = 0
− " + 7! = 0
` − " + 13! = 0
7 =
2 ` 4
1 −1 7
` −1 13
; |7| = 7` − 9` − 16; Se anula para k = -1 y ` =
0
2
.
Si k = - 1, rango (A) = 2, pues ?
2 4
1 7
? = 10 ≠ 0. Como el sistema es homogéneo, es
COMPATIBLE INDETERMINADO:
Solución: Sistema de Cramer asociado: (y = f:
2 + 4! = f
+ 7! = f
G de donde se obtiene:
=
3
10
f, " = f, ! =
f
10
Si k = 16/7, rango (A) = 2, pues ?
2 4
1 7
? = 10 ≠ 0. Como el sistema es homogéneo, es
COMPATIBLE INDETERMINADO:
Solución: Sistema de Cramer asociado: (y = f:
2 + 4! = −
0
2
f
+ 7! = f
n de donde se obtiene:
= −2f, " = f, ! =
3f
7
18)
[2 + C + " + ! = 0
+ C" + ! = 0
2 + " + ! = 0
7 =
2 + C 1 1
1 C 1
2 1 1
; |7| = C[C − 1; Se anula para m = 0 y
C = 1.
Si m = 0, rango (A) = 2, pues ?
1 1
2 1
? = −1 ≠ 0. Como el sistema es homogéneo, es
COMPATIBLE INDETERMINADO:
Solución: Sistema de Cramer asociado: (y = f:
+ ! = 0
2 + ! = −f
G de donde se obtiene:

17. José M. Ramos González. Departamento de Matemáticas. I.E.S. A Xunqueira I
17 Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
= −f, " = f, ! = f
Si m = 1, rango (A) = 2, pues ?
2 4
1 7
? = 10 ≠ 0. Como el sistema es homogéneo, es
COMPATIBLE INDETERMINADO:
Solución: Sistema de Cramer asociado: (y = f:
+ ! = −f
2 + ! = −f
G de donde se obtiene:
= 0, " = f, ! = − − f