Ejercicios determinación de la incertidumbre de la medición

1. PNF Sistemas de Calidad y Ambiente
Metrología
Incertidumbre de la medición
Ejercicios
Por: Ing. Flor Vásquez
Agosto, 2020

2. A continuación analizaremos ejercicios resueltos en los cuales se
determina la incertidumbre de la medición siguiendo los pasos
normativos de la norma COVENIN 3631 Guía para la Expresión de la
Incertidumbre de las Mediciones, en coincidencia con la Guía teórico
práctica de Sáez y Font que se resumen en la lámina siguiente. La
secuencia de los pasos aplicados es típica para todos los ejercicios,
considerando las condiciones particulares de cada medición. Su
aplicación se ejemplifica en los siguientes ejercicios.
PASOS PARA LA DETERMINACIÓN DE LA
INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN
1. Definicióndel modelo matemático.
2. Estimaciónde las magnitudes de entrada.
3. Estimacióndel mensurando.
4. Determinaciónde las fuentes de incertidumbre.
5. Evaluación de las componentes de laincertidumbre.
-Agrupar las fuentes.
-Asignar una función de distribución a cada fuente.
-Calcular la desviaciónestándar U(xi
).
6. Determinar la incertidumbre combinadaUc(xi
).
7. Determinación de la incertidumbre expandida.
8. Expresar los resultados.
9. Representargráficamente.

3. Ejercicio 1
Este ejercicioconsiste endeterminarel valorde laincertidumbre para unúnicovalormedido,en
este caso lapresión.
Se mide lapresiónde un gas enla tuberíaque alimentaaun hornode calentamiento.El valorde
presiónesde 45,5 psi.E enunciadoindicalascaracterísticasdel instrumento:el rango o escala,la
clase de exactitud(clasificaciónde losinstrumentossegúnsuexactitud) ,este instrumentotiene
una exactitudclase 1y el valorde división,esdecirel menorvalorde laescala.
Nospidena) calcular laincertidumbre paraun nivel de confianzadel 95%

4. Para resolverseguimoslospasosresumidosarriba,paraladeterminaciónde laincertidumbre de
la medición.
Paso1 definirel modelomatemático.Eneste casola presión Pviene dadaporun únicovalor
medido enunpuntode latubería pi
Paso2 estimarlamagnitud de entrada,es decirel valoral cual se le va a determinarla
incertidumbre,este es45,5psi
Paso3 definiral mensurando.Esunresumende losdospasosanteriores P=pi = 45,5 psi
Paso4 se identificanlasfuentesde incertidumbre.El enunciadodel problemanoaportadatos
evidentesparaidentificarlasfuentes.Sinembargo,indicael usode uninstrumentode medición,y
sabemosque todoinstrumento tiene unainexactitudinherente.Porlotantola inexactitud del
instrumento expresada como elEMP es laprimerafuente de incertidumbre
Además,el operadordel instrumentointroduce unaincertidumbre debidoalalectura,locual se
nombracomo apreciación del observador.Estaesla segundafuente de incertidumbre
Paso5 evaluarcada fuente de incertidumbre ocomponente de incertidumbre.
a) Incertidumbre debidaal EMP..En general laincertidumbredeterminadaaun únicovalor
medidoes tipoB.Esta es una incertidumbre tipoB
Describamosla formula(escaracterísticapara esta fuente de incertidumbre) …. U1B(P)
donde u significaincertidumbre eninglés,BesincertidumbretipoBy se le calculaa la

5. presiónP.Es igual al EMP sobre la √3. La raíz de 3 viene porque paraeste tipode cálculo
se asume una distribuciónrectangular
Comoel enunciadonoda el valordel EMP hay que calcularlo, laformulaestáenla imagen
que continuaabajo.Tenemoscomodatoen el enunciado,laclase de exactitudyel
intervaloorangode medición(0a 50), se sustituyenyse obtiene el EMP.Luego,el valor
de EMP se insertaenla fórmulade arribapara lafuente de incertidumbre a).
Para la componente de incertidumbre b) debidoalaapreciacióndel observador, se presentala
fórmula U2B(P) la cual es característica para estafuente ocomponente de incertidumbre.
En la formula, laincertidumbreueslasegunda2 y es tipoB calculadaa lapresiónP. La apreciación
esel mismovalorde división.El valorde división(vd) estádadocomodatoen el enunciado.Se
sustituye,se resuelveyse obtiene el valorde lacomponenteb)
Paso6 calcular laincertidumbre combinada.Se aplicalafórmulade varianzaparacalcularesta
incertidumbre yescaracterística para este cálculo.Consiste ensustituirlosvaloresde cada
componente de incertidumbreyaobtenidos,elevarlosal cuadrado,sumarlosysacar la raíz
cuadrada. Se obtiene el valorde laincertidumbre combinada.

6. Es usual realizarlatabla resumende lasincertidumbresobtenidashasta este momentoygraficar
lasincertidumbresobtenidashastael momento, aunque algunosejerciciosnoloincluyen.

7. Paso7 determinarlaincertidumbre expandidaototal (U) . La fórmulaconsiste enmultiplicarel
valorde k (factorde cobertura) por la incertidumbre combinadaque yase calculó.
En este ejercicio se calculael valorde k y resultaunvalorde 1,83. Sinembargo,existenvalores
prácticosde k que se tomandirectamente enloslaboratoriosde metrología paradeterminados
cálculos. Para el nivel de confianzareportadoeneste ejercicio del 95% se puede asumir k = 2,
como unaaproximaciónde 1,83
En la guía teóricade launidadII Incertidumbrede laMedición, se recopilan valoresde kpara
diferentes nivelesde confianza.
Finalmenteenlafiguraarriba, se determinalaincertidumbreexpandidaU(P) conel valorde k
calculado.Si se utilizael valorde k=2 se obtiene unvalormuycercanode laincertidumbre
expandida.
Paso8 expresióndel resultado.Este pasoconsiste enescribircorrectamente el valormedido,para
locual debe iracompañadode laincertidumbre e indicarel nivelde confianzayel valorde k
utilizado.El resultadoexpresaunintervalode valoresque se puedenatribuiralapresión(P)
Para determinarel intervalo: 45,5 -0,58 = 44.92 y 45,5 + 0,58 = 46,08 psi
Los valoresde P se encuentranenel intervalode (44.92 ≤ P ≤ 46,08) psi

8. Ejercicio2

9. Este ejercicioconsiste endeterminarlaincertidumbre de lamediciónparaunaserie de valores
medidosparala masade unamuestra.
El enunciadoindicael tipode balanza, lacapacidad,laresolución(menorvalorenlaescalade un
instrumentodigital), el númerode pesadas que requiereel método,lascaracterísticas
metrológicasde labalanzaylos valoresde laspesadasrealizadas.
Se debe determinarlaincertidumbre paraexpresarel resultadoconunnivel de confianzadel 95%.
Solución
Para resolverel ejercicioaplicamoslospasosresumidosarribaparadeterminarlaincertidumbre
de la medición.
Paso1 definicióndel modelomatemático.El modelomatemáticoparaeste ejerciciose deduce del
enunciadodonde indicaque el valorde lamasa debe serreportadocomola mediade las5
mediciones,porlotantoel paso 1 incluye lafórmulade cálculode lamediade los5 valoresde
masa. Al sustituirlosvaloresresultaunamasamediade 3001,01 g
Paso2 estimaciónde lasmagnitudesde entrada. Eneste casolamagnitudde entradaes 3001,01.
Este es el valorque se va a reportarcomo resultadoyal cual se le va a calcularla incertidumbre.

10. Paso3 Estimacióndel mensurando.Porlotanto,lamasa M viene dadaporla masamediade
3001,01 g
Paso4 estimarlasfuentesde incertidumbre.Estasfuentesse deducenapartirdel enunciadodel
ejercicio.
a) Sabemosque todoinstrumentoesinexactoyademásindicanel EMP,por lotanto laprimera
fuente de incertidumbre esla inexactitud dela balanza (dada porel EMP)
b) La linealidad de la balanza estaexpresadaenlascaracterísticasdel instrumento.Estose
refiere alacapacidad del instrumentoparadarvaloresexactosentodoel rango del
instrumento.Estopuede variarenel instrumentoyesunafuente de incertidumbre a
considerar,auncuandoen general susvaloressonpocosignificativosyse incluyenenla
inexactitudde labalanza.
c) El enunciadotambiénreporta la resolución dela balanza,esdecirel menorvalordel
instrumento,enel cual laslecturasde labalanzapresentanincertidumbre.Estaeslatercera
fuente de incertidumbre.
d) La cuarta fuente de incertidumbretambiénse extrae del enunciadoyesenciertomodomas
obvia.Se reportan5 medidasyexistendiferenciasentre ellas,locual escausa de
incertidumbre entonces,la variación en observacionesrepetidas demasa esunacomponente
o fuente de incertidumbre acalcular.

11. Paso5 Evaluaciónde lascomponentesde incertidumbre
a) Componente de incertidumbre provocadaporel EMP.La fórmulade cálculofue explicada
enel ejercicioanterioryse aplicaal EMP. El valordel EMP esun dato eneste ejercicio. La
incertidumbre u1 estipoBy la magnitudeslamasa (m)
b) La linealidadde labalanzanoescalculadapuesse consideraunefectoincluidoenla
inexactituddel instrumento
c) La fórmulaparacalcular La incertidumbre debidoala resoluciónde labalanza essimilaren
su aplicaciónala de laapreciaciónenel ejercicio1peroeneste caso el valorde división
esla resolución.Laincertidumbre u2 estipoB para el valorde (r) y la magnitud (m)
d) La incertidumbre debidoalavariaciónenobservacionesrepetidasse determinaapartir
de la fórmulade desviaciónestándarexpresadaal inicioenlasiguiente imagen. La
incertidumbre uestipoA puesse está considerandouna serie de datos,aloscualesse les
puede aplicaruntratamiento estadístico medianteladesviaciónestándaraplicadaala
masa media.Enla formulases ladesviaciónestándar, mi (escadavalorde masa),n es el
númerode mediciones.Al sustituirlosvaloresse obtienelacontribuciónde esta
componente de incertidumbre.

12. Paso6 determinaciónde laincertidumbrecombinada.Se aplicalafórmulade varianza,eneste
caso con unode los 3 valoresde las componentesde incertidumbre calculadas,elevadasal
cuadrado,sumadasy al aplicarla raíz cuadrada se obtiene el valorcombinadode laincertidumbre
Paso7. Determinaciónde laincertidumbreexpandida.Se requiere el valordel factorde cobertura
k multiplicadoporlaincertidumbre combinadayacalculada.El factor de coberturaes calculado
eneste ejercicio, sinembargo, esposible asumirel valorde k=2 para el nivel de confianzade
95% comovalor usual enloscálculosmetrológicos. Finalmente se calculalaIncertidumbre
expandidaU(m)

13. Paso8. Expresióndel resultado.Losvaloresde lamasase encuentranenel intervalo(3001,01 ±
0,030) g, el cual indicaque losvaloresposiblesparalamasa M se encuentranenel intervalode
(3008,98 ≤ M ≤ 3001,04) g.