Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos en el plano cartesiano, segmentos de recta, ecuaciones de rectas y determinación de puntos de intersección y alineación. Los ejercicios se resuelven encontrando pendientes, ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares, y sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene 9 ejercicios de vectores. Los ejercicios piden expresar vectores en diferentes sistemas de coordenadas como coordenadas rectangulares, polares y geográficas. También piden expresar vectores en función de sus módulos y vectores unitarios.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas utilizando diferentes métodos como sustitución, igualación, reducción y Cramer. También incluye ejercicios para plantear ecuaciones a partir de descripciones verbales de problemas.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como conjunto, elemento, pertenencia, diagrama de Venn, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad. También explica operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento, y presenta sus propiedades.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre teoría de conjuntos. Incluye representaciones gráficas de expresiones de conjuntos, expresiones simbólicas, hallazgos de conjuntos dados ciertas condiciones, y demostraciones de propiedades de conjuntos como igualdades y diferencias.
Este cuestionario trata sobre conceptos básicos de vectores como la multiplicación de vectores por números, la suma y resta de vectores, vectores unitarios, expresión de vectores en componentes, derivadas e integrales de productos escalares y vectoriales de vectores, y la diferencia entre magnitudes escalares, campos escalares, vectores y campos vectoriales. En resumen, evalúa el conocimiento fundamental sobre operaciones y propiedades de vectores.
Este documento contiene 9 ejercicios de vectores. Los ejercicios piden expresar vectores en diferentes sistemas de coordenadas como coordenadas rectangulares, polares y geográficas. También piden expresar vectores en función de sus módulos y vectores unitarios.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas utilizando diferentes métodos como sustitución, igualación, reducción y Cramer. También incluye ejercicios para plantear ecuaciones a partir de descripciones verbales de problemas.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Define conceptos básicos como conjunto, elemento, pertenencia, diagrama de Venn, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad. También explica operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento, y presenta sus propiedades.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
Este documento presenta ejercicios resueltos sobre teoría de conjuntos. Incluye representaciones gráficas de expresiones de conjuntos, expresiones simbólicas, hallazgos de conjuntos dados ciertas condiciones, y demostraciones de propiedades de conjuntos como igualdades y diferencias.
Este cuestionario trata sobre conceptos básicos de vectores como la multiplicación de vectores por números, la suma y resta de vectores, vectores unitarios, expresión de vectores en componentes, derivadas e integrales de productos escalares y vectoriales de vectores, y la diferencia entre magnitudes escalares, campos escalares, vectores y campos vectoriales. En resumen, evalúa el conocimiento fundamental sobre operaciones y propiedades de vectores.
Este documento define funciones racionales y explica cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales. Las funciones racionales son expresiones donde el polinomio está en el numerador y el denominador. Para graficarlas, se identifican las asíntotas verticales y horizontales. Para resolver ecuaciones racionales, se factoriza, se halla el denominador común, y se multiplica la ecuación por este para obtener una expresión no racional que puede resolverse. También explica operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones rac
El documento describe los cuadrantes del plano cartesiano y cómo representar puntos en él usando coordenadas. También explica cómo calcular la distancia entre dos puntos y encontrar el punto medio de un segmento.
Este documento explica las ecuaciones de segundo grado incompletas de la forma ax^2 + c = 0 y ax^2 + bx = 0. Resuelve varios ejemplos de este tipo de ecuaciones utilizando métodos como factorización y aplicando la propiedad de que si el producto de dos números es cero, entonces uno de los números debe ser cero.
Este documento describe magnitudes escalares y vectoriales en física. Explica que las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales, y proporciona ejemplos de cada una. También describe cómo representar y operar con vectores, incluida la suma, resta, producto punto y producto vectorial. Finalmente, cubre temas como transformación de unidades y prefijos en el Sistema Internacional de Unidades.
Este documento describe la semejanza y la congruencia en geometría. Explica que las figuras semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, y que una homotecia es una transformación que multiplica todas las distancias por el mismo factor. También define la razón de semejanza como la razón de la homotecia correspondiente, y proporciona ejemplos de cómo calcular medidas en figuras semejantes usando razones y proporciones.
La regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 3x3 incógnitas. Se representa el sistema como una matriz de coeficientes A igual a un vector de constantes B. Se calcula la determinante de A y las matrices A1, A2, A3 sustituyendo cada columna por el vector B. Esto permite obtener los valores de las incógnitas sustituyendo en la fórmula dada.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del sistema de números reales. Define el conjunto de números reales y sus propiedades bajo las operaciones de adición, multiplicación y orden. Explica los axiomas que rigen estas operaciones y las definiciones de sustracción y división. También introduce conceptos como intervalos, operaciones con conjuntos e intervalos, ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en R2 y R3. Define un vector geométricamente como un segmento de recta dirigido y algebraicamente como un par ordenado de números reales. Explica cómo representar vectores y realizar operaciones con ellos como suma, resta, multiplicación por escalar y producto escalar. También presenta los sistemas de coordenadas cartesianas para R2 y R3 y los vectores unitarios canónicos i, j y k.
La regla de l'Hôpital es una regla matemática que usa derivadas para evaluar límites de funciones que están en forma indeterminada. Fue desarrollada por Johann Bernoulli pero lleva el nombre de Guillaume de l'Hôpital. Establece que si el límite de la derivada de la función numeradora dividida por la derivada de la función denominadora existe en un punto c, entonces también existe el límite de la función original en ese punto y es igual al límite de las derivadas. La regla se puede aplicar de forma consecutiva siempre que las funciones sean
1. El documento presenta 30 preguntas sobre conceptos básicos de teoría de grafos como coloreo, caminos, circuitos, isomorfismo, grafos completos y bipartitos. Cada pregunta tiene 3 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta.
La tangente a la hipérbola 3x2/2y2 + 3x/4y - 12 = 0 en el punto (2,3) tiene ecuación 15x + 8y - 6 = 0. La normal tiene ecuación 8x - 15y + 61 = 0. Las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal son 3.4, 6.4, 1.6 y 5.6 respectivamente.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
Este documento presenta la resolución de nueve problemas de vectores. Los problemas involucran calcular la magnitud y ángulo de vectores dados, hallar componentes rectangulares de vectores, y determinar el vector resultante de varios vectores. Las soluciones usan leyes de cosenos, senos y suma vectorial.
El documento presenta los diferentes tipos de intervalos en la recta numérica, incluyendo intervalos abiertos, cerrados, mixtos e ilimitados. También explica operaciones básicas con intervalos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento explica conceptos básicos sobre líneas rectas, incluyendo la definición de pendiente, cómo calcular la pendiente entre dos puntos, y las ecuaciones de líneas rectas. También describe cuatro casos posibles para la pendiente de una línea recta dependiendo de su ángulo de inclinación respecto al eje x, y define líneas rectas secantes, paralelas y perpendiculares.
Entre otras energías, en el Torcal podemos encontrar: lugares de poder o Vortex Point, como también se les conoce, es un punto donde la energía circula con mayor fuerza que en otros lugares de la tierra, tanto hacia el interior como hacia el exterior (en forma Toroidal). El ser humano es sensible a estas irradiaciones energéticas, donde éstas resuenan con una elevada frecuencia vibracional.
Estudios realizados, relacionan estos puntos de poder y campos energéticos más sutiles, como las líneas Hardrims o líneas Ley, con campos electromagnéticos y además con depósitos de minerales, aguas subterráneas o algunas montañas concretas.
El documento describe el sistema de coordenadas rectangulares, incluyendo sus cuatro cuadrantes, ejes y cómo ubicar puntos usando coordenadas. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando la fórmula que involucra restar las coordenadas x e y de los puntos y elevar los resultados al cuadrado y sumarlos.
La distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias entre las coordenadas x e y de los puntos. En una recta numérica, la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia entre sus coordenadas. El documento proporciona ejemplos de cómo calcular la distancia entre puntos usando estas fórmulas.
1) Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante al centro se llama radio.
2) Existen tres ecuaciones para representar una circunferencia: la ecuación ordinaria, la ecuación canónica y la ecuación general. La ecuación general es de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F dependen de las coordenadas del centro y el radio.
3) Se presentan varios ej
Este documento explica las medidas de tendencia central - moda, mediana y media aritmética. Define cada una y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcularlas. La moda es el valor más frecuente, la mediana es el valor central cuando los datos están ordenados, y la media aritmética se calcula sumando todos los valores y dividiendo por la cantidad de datos.
Este documento presenta 12 ejercicios resueltos sobre geometría analítica. Los ejercicios involucran hallar puntos medios, simétricos y de intersección de rectas, así como obtener ecuaciones de rectas dados diferentes condiciones como pendientes, puntos y paralelismo/perpendicularidad con otras rectas o ejes.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
Este documento define funciones racionales y explica cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales. Las funciones racionales son expresiones donde el polinomio está en el numerador y el denominador. Para graficarlas, se identifican las asíntotas verticales y horizontales. Para resolver ecuaciones racionales, se factoriza, se halla el denominador común, y se multiplica la ecuación por este para obtener una expresión no racional que puede resolverse. También explica operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones rac
El documento describe los cuadrantes del plano cartesiano y cómo representar puntos en él usando coordenadas. También explica cómo calcular la distancia entre dos puntos y encontrar el punto medio de un segmento.
Este documento explica las ecuaciones de segundo grado incompletas de la forma ax^2 + c = 0 y ax^2 + bx = 0. Resuelve varios ejemplos de este tipo de ecuaciones utilizando métodos como factorización y aplicando la propiedad de que si el producto de dos números es cero, entonces uno de los números debe ser cero.
Este documento describe magnitudes escalares y vectoriales en física. Explica que las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales, y proporciona ejemplos de cada una. También describe cómo representar y operar con vectores, incluida la suma, resta, producto punto y producto vectorial. Finalmente, cubre temas como transformación de unidades y prefijos en el Sistema Internacional de Unidades.
Este documento describe la semejanza y la congruencia en geometría. Explica que las figuras semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, y que una homotecia es una transformación que multiplica todas las distancias por el mismo factor. También define la razón de semejanza como la razón de la homotecia correspondiente, y proporciona ejemplos de cómo calcular medidas en figuras semejantes usando razones y proporciones.
La regla de Cramer es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 3x3 incógnitas. Se representa el sistema como una matriz de coeficientes A igual a un vector de constantes B. Se calcula la determinante de A y las matrices A1, A2, A3 sustituyendo cada columna por el vector B. Esto permite obtener los valores de las incógnitas sustituyendo en la fórmula dada.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del sistema de números reales. Define el conjunto de números reales y sus propiedades bajo las operaciones de adición, multiplicación y orden. Explica los axiomas que rigen estas operaciones y las definiciones de sustracción y división. También introduce conceptos como intervalos, operaciones con conjuntos e intervalos, ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado, y métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en R2 y R3. Define un vector geométricamente como un segmento de recta dirigido y algebraicamente como un par ordenado de números reales. Explica cómo representar vectores y realizar operaciones con ellos como suma, resta, multiplicación por escalar y producto escalar. También presenta los sistemas de coordenadas cartesianas para R2 y R3 y los vectores unitarios canónicos i, j y k.
La regla de l'Hôpital es una regla matemática que usa derivadas para evaluar límites de funciones que están en forma indeterminada. Fue desarrollada por Johann Bernoulli pero lleva el nombre de Guillaume de l'Hôpital. Establece que si el límite de la derivada de la función numeradora dividida por la derivada de la función denominadora existe en un punto c, entonces también existe el límite de la función original en ese punto y es igual al límite de las derivadas. La regla se puede aplicar de forma consecutiva siempre que las funciones sean
1. El documento presenta 30 preguntas sobre conceptos básicos de teoría de grafos como coloreo, caminos, circuitos, isomorfismo, grafos completos y bipartitos. Cada pregunta tiene 3 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta.
La tangente a la hipérbola 3x2/2y2 + 3x/4y - 12 = 0 en el punto (2,3) tiene ecuación 15x + 8y - 6 = 0. La normal tiene ecuación 8x - 15y + 61 = 0. Las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal son 3.4, 6.4, 1.6 y 5.6 respectivamente.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
Este documento presenta la resolución de nueve problemas de vectores. Los problemas involucran calcular la magnitud y ángulo de vectores dados, hallar componentes rectangulares de vectores, y determinar el vector resultante de varios vectores. Las soluciones usan leyes de cosenos, senos y suma vectorial.
El documento presenta los diferentes tipos de intervalos en la recta numérica, incluyendo intervalos abiertos, cerrados, mixtos e ilimitados. También explica operaciones básicas con intervalos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento explica conceptos básicos sobre líneas rectas, incluyendo la definición de pendiente, cómo calcular la pendiente entre dos puntos, y las ecuaciones de líneas rectas. También describe cuatro casos posibles para la pendiente de una línea recta dependiendo de su ángulo de inclinación respecto al eje x, y define líneas rectas secantes, paralelas y perpendiculares.
Entre otras energías, en el Torcal podemos encontrar: lugares de poder o Vortex Point, como también se les conoce, es un punto donde la energía circula con mayor fuerza que en otros lugares de la tierra, tanto hacia el interior como hacia el exterior (en forma Toroidal). El ser humano es sensible a estas irradiaciones energéticas, donde éstas resuenan con una elevada frecuencia vibracional.
Estudios realizados, relacionan estos puntos de poder y campos energéticos más sutiles, como las líneas Hardrims o líneas Ley, con campos electromagnéticos y además con depósitos de minerales, aguas subterráneas o algunas montañas concretas.
El documento describe el sistema de coordenadas rectangulares, incluyendo sus cuatro cuadrantes, ejes y cómo ubicar puntos usando coordenadas. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando la fórmula que involucra restar las coordenadas x e y de los puntos y elevar los resultados al cuadrado y sumarlos.
La distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias entre las coordenadas x e y de los puntos. En una recta numérica, la distancia entre dos puntos es el valor absoluto de la diferencia entre sus coordenadas. El documento proporciona ejemplos de cómo calcular la distancia entre puntos usando estas fórmulas.
1) Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante al centro se llama radio.
2) Existen tres ecuaciones para representar una circunferencia: la ecuación ordinaria, la ecuación canónica y la ecuación general. La ecuación general es de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, donde D, E y F dependen de las coordenadas del centro y el radio.
3) Se presentan varios ej
Este documento explica las medidas de tendencia central - moda, mediana y media aritmética. Define cada una y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcularlas. La moda es el valor más frecuente, la mediana es el valor central cuando los datos están ordenados, y la media aritmética se calcula sumando todos los valores y dividiendo por la cantidad de datos.
Este documento presenta 12 ejercicios resueltos sobre geometría analítica. Los ejercicios involucran hallar puntos medios, simétricos y de intersección de rectas, así como obtener ecuaciones de rectas dados diferentes condiciones como pendientes, puntos y paralelismo/perpendicularidad con otras rectas o ejes.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos medios, simétricos y de intersección; determinar si puntos están alineados; y obtener ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y son paralelas o perpendiculares a otras rectas o ejes.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para estudiantes de 4o de la ESO. Incluye problemas de álgebra, geometría, trigonometría y vectores. Algunos de los ejercicios propuestos son calcular valores numéricos, determinar coordenadas de puntos, hallar ecuaciones de rectas, resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, y factorizar polinomios.
El documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones de rectas como la ecuación punto-pendiente, ecuación general, casos particulares de rectas paralelas y perpendiculares, ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y cómo calcular la pendiente e inclinación de rectas dadas sus ecuaciones o puntos. También explica cómo determinar si puntos son colineales, hallar áreas de figuras geométricas relacionadas a rectas, y resolver problemas que involucran estas nociones.
El documento presenta objetivos relacionados con la circunferencia y la parábola. Explica conceptos como el centro, radio y ecuación de la circunferencia, así como el vértice, foco, directriz y lado recto de la parábola. Incluye ejercicios resueltos que muestran cómo encontrar la ecuación de diferentes circunferencias y parábolas dados ciertos puntos u otros elementos.
Este documento presenta una guía de 150 problemas de geometría analítica divididos en 11 secciones, que abarcan conceptos como líneas rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas y ecuaciones paramétricas. La guía tiene como objetivo complementar los textos de geometría analítica impartidos en escuelas de nivel medio superior, y contiene problemas de distintos grados de dificultad para que los estudiantes practiquen y consoliden los conceptos teóricos vistos en clase. Se recom
Este documento presenta la resolución de 18 ejercicios de geometría plana. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas, puntos, ángulos y distancias. Se resuelven ejercicios sobre rectas perpendiculares, paralelas, bisectrices, mediatrices y alturas de triángulos.
Este documento presenta la teoría y ejercicios sobre la ecuación de la recta. Explica que una recta puede definirse mediante un vector director o la ecuación punto-vector. A continuación, proporciona 10 ejercicios resueltos como ejemplos para hallar ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados, son paralelas o perpendiculares a otras rectas, o forman ángulos determinados.
1. El documento presenta 10 ejercicios de geometría sobre circunferencias. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de circunferencias tangentes a rectas, concéntricas, que pasen por puntos dados y con centro en una recta.
2. Se resuelven utilizando conceptos como centro, radio, distancia entre puntos y ecuaciones paramétricas.
3. Los ejercicios guían al lector en la aplicación de fórmulas y procedimientos para resolver problemas geométricos sobre circunferencias.
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con funciones constantes y lineales. Incluye problemas sobre ecuaciones de rectas, determinación de pendientes, dominios y rangos de funciones, y gráficas de funciones.
2. Se piden determinar ecuaciones de rectas, puntos de intersección, paralelismo, perpendicularidad y distancias entre puntos dados diferentes sistemas de ecuaciones lineales.
3. También incluye problemas sobre funciones constantes y lineales aplicadas a situaciones reales.
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con rectas y secciones cónicas en el plano. Incluye problemas para determinar ecuaciones de rectas a partir de puntos y pendientes dados, calcular distancias, y encontrar ecuaciones de circunferencias, parábolas y elipses.
2. Se piden determinar ecuaciones de rectas y secciones cónicas dadas diferentes condiciones como puntos, pendientes, tangencias, y focales.
3. También incluye verificar propiedades geométricas y relaciones entre
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con rectas y sus ecuaciones en el plano cartesiano. Incluye seis objetivos con ejemplos de cómo calcular puntos, distancias, razones, ecuaciones de rectas y ángulos entre rectas. Los ejercicios cubren temas como sistemas de coordenadas, división de segmentos, pendientes, formas de ecuaciones de rectas y posiciones relativas entre rectas.
Calculo y geometría analítica (ecuación de la recta)completaUNAPEC
Este documento presenta los contenidos y aprendizajes esperados de la unidad 1 sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta. Los aprendizajes incluyen calcular distancias y puntos medios, identificar pendientes y coeficientes de posición, y representar y determinar ecuaciones de rectas. También cubre conceptos como rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares.
Este documento contiene 28 ejercicios de geometría analítica sobre rectas y puntos en el plano cartesiano. Los ejercicios cubren temas como ecuaciones de rectas en diferentes formas, vectores directores, pendientes, distancias entre puntos y rectas, ángulos entre rectas, rectas paralelas y perpendiculares, simetría respecto a una recta, mediatriz de un segmento, triángulos y paralelogramos.
Este documento presenta cuatro objetivos sobre elipse y hipérbola. El primer objetivo explica la definición y ecuación de la elipse. El segundo objetivo explica la definición y ecuación de la hipérbola. El tercer objetivo cubre la forma general de las ecuaciones de segundo grado que representan elipses e hipérbolas. Cada objetivo incluye ejercicios resueltos como ejemplos.
1. El documento presenta una lista de 39 actividades de repaso de matemáticas para 4o de la ESO que abarcan temas como aproximaciones, operaciones con potencias y logaritmos, expresiones algebraicas, ecuaciones y sistemas de ecuaciones, semejanza y homotecia. Las actividades incluyen ejercicios para resolver y conceptos para explicar.
Este documento contiene varios ejercicios sobre parábolas. Calcula vértices, ejes de simetría, puntos de intersección y pertenencia a parábolas. También representa gráficamente algunas parábolas.
Este documento presenta los principales conceptos de geometría analítica. Explica cómo calcular la distancia y punto medio entre dos puntos, así como la pendiente entre puntos y la ecuación de una recta a partir de puntos o pendiente. También cubre las posiciones relativas de rectas paralelas, coincidentes y perpendiculares, y introduce el sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales.
Este documento presenta varios ejercicios sobre geometría analítica de rectas y vectores en el plano. Se piden determinar ecuaciones de rectas dados puntos o condiciones como paralelismo; hallar intersecciones de rectas; y calcular áreas de triángulos formados. Las soluciones muestran los procedimientos analíticos para resolver cada tipo de ejercicio.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de la geometría analítica. Explica cómo se representan gráficamente puntos, rectas y circunferencias mediante coordenadas cartesianas y ecuaciones algebraicas. Incluye fórmulas para calcular distancias, pendientes, ecuaciones de rectas y circunferencias, así como ejemplos de problemas resueltos.
El documento resume la historia del internet desde 1963 hasta 2007, mencionando hitos como el desarrollo del protocolo TCP/IP en 1974, la creación de la World Wide Web por Tim Berners-Lee en 1991, el lanzamiento de Amazon en 1994, el nacimiento de Google en 1998, y el surgimiento de redes sociales como Facebook en 2004 y Twitter en 2006.
The De Zalze Residential Estate implemented a 5-year electricity plan with objectives of reducing costs, improving efficiency, and reducing environmental impact. Initiatives included awareness programs, smart meters, time-of-use rates, and guidelines for solar generation. Evaluation shows the estate's electricity costs decreased relative to other areas and peak consumption reduced, indicating the plan's success in meeting its objectives, though wider participation is still needed.
The De Zalze Residential Estate implemented a 5-year electricity plan in 2009 to reduce costs, improve efficiency, and lessen environmental impact. Initiatives included awareness campaigns, smart meters, time-of-use rates, and guidelines for solar power. Evaluation shows the estate's electricity costs have remained stable while nearby municipalities' costs increased. Peak power usage has declined slightly as residents shift usage out of high-cost periods. Total consumption is down 10.8% despite more users, and average monthly use per resident has decreased 14.2%, indicating improved efficiency. However, wider participation is still needed from residents to fully achieve the plan's objectives.
This document compares two multicriteria decision methods - Brans Promethee and a modified version - for selecting erosion control alternatives in the Chaco area of Salta province, Argentina. It applies the methods to evaluate six alternatives across eight criteria in six subzones. For the subzone of La Estrella, it presents the decision matrices and rankings of alternatives under each method. Alternative E is the top ranked under the original method while Alternative B ranks first under the modified version which incorporates criterion weights.
This paper presents a novel optimization technique using genetic algorithms to develop an optimized emergency defence plan for power systems. The technique determines the optimal combination of generator tripping, load shedding, and islanding to regain system stability following severe contingencies. It was applied to the Libyan power system using time-domain simulations to evaluate solutions. Results showed the optimized defence plan required less load shedding than the existing Libyan plan and improved system response during a 2003 blackout event.
Este documento describe una investigación realizada entre 2012-2013 para obtener datos sobre la generación de residuos electrónicos (RAEE) en la ciudad de Córdoba, Argentina. El estudio analizó los mecanismos actuales de generación y manejo de RAEE en la ciudad y calculó una cifra de generación de RAEE expresada en kilogramos por habitante por año. La investigación utilizó un enfoque cuali-cuantitativo e incluyó una revisión de literatura sobre gestión de RAEE y marcos legales, así como entrevistas y encuestas para rec
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
1. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 1
TEMA 8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA
RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO
EJERCICIO 1 : Halla el punto medio del segmento de extremos P2, 1 y Q4, 3.
Solución:
Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:
2 4 1 3
, 1, 2
2 2
M
EJERCICIO 2 : Halla el simétrico, A, del punto A1, 0 respecto de B2, 8.
Solución:
Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es B.
Por tanto:
1
2
2
5
5, 16
16
0
8
2
x
x
A
y
y
EJERCICIO 3 : Determinar si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados.
Solución:
1
1
2
2
(-2,-1)(3,1)(1,0)AC
(2,1)(3,1)(5,2)AB
Cierto Están alineados
EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que los puntos A1, 1, B0, 3 y C2,k estén alineados.
Solución:) 1k21k
1k
2
1
1
1)-k(1,(1,1)-k)(2,AC
(-1,2)(1,1)-(0,3)AB
ECUACIONES DE RECTAS
EJERCICIO 5 :
a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 0 y 3, 6.
1
b Halla la ecuación de la recta, , paralela a que pasa por el punto 4, 4 .
2
s y x
c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.
Solución:
6 0 6
a Pendiente 3
3 1 2
Ecuación: y 0 3x 1 y 3x 3 3x y 3 0
1
b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: .
2
1
Ecuación: 4 4 2 8 4 2 4 0
2
m
y x y x x y
c Es la solución del sistema siguiente:
3 33 3 0
2 3 3 4 0 6 6 4 0 5 10 22 4 0
3 Punto: 2, 3
y xx y
x x x x x xx y
y
2. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 2
EJERCICIO 6 :
a Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por 3, 2 y tiene como vector dirección
.d 1, 1
b Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por 5, 2 y es paralelo al eje X.
c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.
Solución:
1
a) Pendiente 1
1
Ecuación: y 2 1 x 3 y 2 x 3 y x 1
b y 2
c Es la solución de este sistema:
1
1 2 3 Punto: 3, 2
2
y x
x x
y
EJERCICIO 7 :
a Halla la ecuación de la recta, , que pasa por 0, 0 y es paralela al vector d 3, 6 .r
b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por 3, 4 y es perpendicular a x y 5 0.
c Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores.
Solución:
6
a Pendiente 2
3
Ecuación: 2y x
b Pendiente de x y 5 0 y x 5 m 1
1 1
Pendiente de la perpendicular 1
1m
Ecuación de s: y 4 1x 3 y 4 x 3 x y 1 0
c Es la solución del siguiente sistema:
2 1 0 1 22
Punto: 1, 21 0
x x x yy x
x y
EJERCICIO 8 :
1
a Obtén la ecuación de la recta, , que pasa por 3, 1 y tiene pendiente .
2
r
b Escribe la ecuación de la recta, s, perpendicular a x 3y 2 que pasa por 2, 4.
c Halla el punto de intersección de las rectas r y s.
Solución:
1
a 1 3 2 2 3 2 1 0
2
y x y x x y
2 1 2 1
b Pendiente de 3 2
3 3 3 3
x
x y y x m
1 1
Pendiente de la perpendicular 3
1 3m
Ecuación: y 4 3x 2 y 4 3x 6 y 3x 10
c Es la solución del siguiente sistema:
2 3 10 1 0 6 20 1 02 1 0
7 21 3 1 Punto: 3, 13 10
x x x xx y
x x yy x
EJERCICIO 9 :
a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 0, 5 y 1, 2.
b Obtén la ecuación de la recta, s, paralela a 2x y 3 que pasa por el punto 1, 1.
c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores.
Solución:
2 5 3
a Pendiente 3
1 0 1
Ecuación: y 5 3x 0 y 5 3x 3x y 5 0
3. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 3
b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: 2x y 3 y 2x 3 m 2
Ecuación: y 1 2x 1 y 1 2x 2 y 2x 3
c Es la solución del sistema siguiente:
3 2 3 5 0 2 13 5 0
Punto: 2, 12 3
x x x yx y
y x
EJERCICIO 10 :
1
a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a 3.
2
y x
b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicular a 2x y 3.
Solución:
a Si son paralelas, tienen la misma pendiente:
1 1
3
2 2
y x m
1
Ecuación: 1 2 2 2 2 2
2 2
x
y x y x y x y
b Pendiente de 2x y 3 y 2x 3 m 2
1 1 1
Pendiente de la perpendicular
2 2m
1
Ecuación: 2 2 4 2 4 0
2
y x y x x y
EJERCICIO 11 : Dados los puntos A 2, 1 y B 3, 4, halla las ecuaciones de las dos rectas
siguientes:
a) r: pasa por A y es paralela a AB b) s: pasa por B y es paralela a AB
Solución: 1, 5AB
5
Recta : . Ecuación: 1 5 2 1 5 10
1
r m y x y x 5x y 11 0
1 1 1
Recta :
5 5
s m
m
1
Ecuación: 4 3 5 20 3 5 23 0
5
y x y x x y
EJERCICIO 12 :
a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto 5, 1.
b Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 3x y 1 que pasa por el punto 0, 1.
Solución: a y 1
b Pendiente de 3x y 1 y 3x 1 m 3
1 1
Pendiente de la perpendicular
3m
1
Ecuación: 1 3 3 3 3 0
3
y x y x x y
EJERCICIO 13 :
a Halla la ecuación de la recta, r, paralela a 2x 3y 4 0, que pasa por 1, 2.
b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y 1 0 que pasa por 3, 2.
Solución:
a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente:
2 4 2 4 2
2 3 4 0
3 3 3 3
x
x y y x m
2
Ecuación de : 2 1 3 6 2 2 2 3 8 0
3
r y x y x x y
b La recta y 1 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación
será x 3.
4. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 4
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
EJERCICIO 14 : Calcula la distancia que hay entre los puntos A8, 10 y B2, 14.
Solución:
2 2 2 2
, 2 8 14 10 10 24 100 576 676 26dist A B
EJERCICIO 15 : Halla la distancia entre los puntos P6, 2 y Q0, 6.
Solución:
22 2 2
, 0 6 6 2 6 8 36 64 100 10dist P Q
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
EJERCICIO 16 : Halla la ecuación de la circunferencia de centro 4, 2 y radio 5.
Solución:
2 2
La ecuación es: 4 2 5.x y
EJERCICIO 17 : Escribe la ecuación de la circunferencia de centro 3, 4 y radio 4.
Solución:
2 2
La ecuación es: 3 4 4x y
REGIONES EN EL PLANO
EJERCICIO 18 :¿Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponden a este recinto?
2 2
2 2
a) 25
9
x y
x y
2 2
2 2
0b)
25
9
x
x y
x y
2 2
2 2
9c)
25
0
x y
x y
x
Solución:
c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios 3 y 5,
respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semicircunferencias de radio entre 3 y
5, esto es:
2 2
2 2
9
25
0
x y
x y
x
EJERCICIO 19 : Indica cual de los siguientes recintos corresponde a este sistema de
inecuaciones:
x
y
x y
2 2
3 3
4 4
9
5. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 5
Solución:
Le corresponde el recinto c).
x 3 y x 3 son rectas paralelas al eje Y que pasan, por ejemplo, por 3, 0 y 3, 0
respectivamente.
y 4 e y 4 son rectas paralelas al eje X que pasan, por ejemplo, por 0, 4 y 0, 4.
x2
y2
9 es una circunferencia de centro 0, 0 y radio 3; los puntos que cumplen x2
y2
9
pertenecen a la circunferencia o están fuera de ella.
EJERCICIO 20 : Representa gráficamente el siguiente recinto:
x y
y x
x
2 2
16
0
0 3
Solución:
x2
y2
16 es la inecuación que describe la circunferencia de centro 0, 0 y radio 4, y el interior de
dicha circunferencia.
y x 0 y x bisectriz del 1er
y 3er
cuadrante.
Para saber que parte del plano corresponde a la inecuación y x > 0 tomamos, por ejemplo, el
punto 3, 1 y lo sustituimos en y x 1 3 2 < 0.
Por tanto, el semiplano en el que no esta el punto 3, 1 es el que corresponde a la inecuación y x
> 0.
x 0, x 3 son rectas paralelas al eje Y.
La representación gráfica correspondiente será:
EJERCICIO 21 : Describe, mediante un sistema de inecuaciones, el siguiente recinto:
Solución:
Hallamos las ecuaciones de las rectas AB, BC, CD y DA.
3
es la recta que pasa por ( 4, 0) y tiene pendiente .
2
3
La ecuación será: 4 2 3 12 0
2
AB A m
y x y x
Tomamos un punto cualquiera del recinto, por ejemplo 1, 2, y lo sustituimos en la ecuación
anterior: 2 · 2 3 · 1 12 11 < 0. Por tanto, el semiplano buscado es 3x 2y 12 0.
BC es paralela al eje X y pasa por 0, 3 y 3
El semiplano buscado es y 3.
6. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 6
3
es la recta que pasa por (4, 0) y tiene pendiente .
2
3
La ecuación será: 4 2 3 12 3 2 12 0
2
CD D m
y x y x x y
Sustituimos el punto 1, 2 3 · 1 2 · 2 12 5 < 0
El semiplano buscado es 3x 2y 12 0.
DA es el eje X y 0. El semiplano será y 0.
El recinto, pues, es la solución del sistema:
3 2 12 0
3 2 12 0
0 3
x y
x y
y
REPASO
EJERCICIO 22 :
2 1 1
¿Cuál de las rectas : 3 5 1 , : y : es paralela a la
5 5 2
recta 2 5 4 0?
x y
r y x s y x t
x y
Solución:
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
Pendiente de r m 5
2
Pendiente de
5
s m
Pendiente de t :
1 1 2 2
1 1 1 1
5 2 5 5
x y
x y y x
2 2 2 3 2
1
5 5 5 5 5
y x y x m
2
La pendiente de 2 5 4 0 es . Luego es la recta paralela a 2 5 4 0.
5
x y m s x y
EJERCICIO 23 : Dada la recta ax by 0, indica qué relación debe haber entre a y b para que el
punto P2, 6 pertenezca a la recta.
Solución:
El punto P2, 6 pertenecerá a la recta ax by 0 si se cumple:
a · 2 b · 6 0 2a 6b 0 a 3b 0 a 3b
Luego, P2, 6 pertenecerá a dicha recta si a es el triple de b.
EJERCICIO 24 : Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a x2
y 32
9 0 es la ecuación de una circunferencia.
b) La recta de ecuación 0 es una recta paralela al eje , .ax c Y a c
c Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas paralelas se cumple que m1 m2 0.
d) La pendiente de una recta perpendicular a : 0 es .
a
r ax by c
b
Solución:
a FALSO.
La ecuación de una circunferencia de centro Ca, b y radio r es:x a2
y b2
r2
En este caso: x 02
y 32
9, pero r2
no puede ser negativo; luego la ecuación dada no
es la ecuación de una circunferencia.
7. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 7
b VERDADERO.
0 constante recta paralela al eje que pasa por , 0
c c
ax c x Y
a a
c VERDADERO.
Por ser paralelas las rectas m1 m2 m1 m2 0
d FALSO.
La pendiente de es la pendiente de la recta perpendicular
1
a es .
a a c
r m y x
b b b
b
r m
m a
EJERCICIO 25 : ¿Qué relación habrá entre a y b para que las rectas r : ax 3y 6 y s: bx
y 5 sean paralelas? ¿Y para que sean perpendiculares?
Solución:
r y s son paralelas si la pendiente de ambas coincide.
Pendiente de 3 6 2
3 3
r
a a
r y ax y x m
Pendiente de 5 ss y bx m b
3
3
r s
a
m m b a b
Por tanto, r y s serán paralelas cuando a sea el triple de b.
1 1
Para que y sean perpendiculares 3
3
r
s
a
r s m ab
m b
EJERCICIO 26 : Halla el valor de m para que las rectas r : y x 3 0 y s: mx 3y 1 0
no se corten.
Solución:
Para que r y s no se corten, el valor de m buscado será aquel que haga que r y s sean
paralelas, es decir, tengan la misma pendiente.
Pendiente de r y x 3 mr 1
1
Pediente de 3 1
3 3 3
s
m m
s y mx y x m
1 3
3
r s
m
m m m
EJERCICIO 27 : Dadas las rectas r : ax c 0 y s: a’x c’ 0:
a ¿Son paralelas?
b ¿Qué condición se ha de cumplir para que sean coincidentes?
c Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y s que pase por el punto 2, 3.
Solución:
a Sí. Son rectas de la forma x k, es decir, rectas paralelas al eje Y.
b Para que sean coincidentes .
c c
a a
c Una recta perpendicular a r y s es de la forma y k', recta paralela al eje X. Como tiene que
pasar por el punto 2, 3, entonces la recta buscada es y 3.
8. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 8
EJERCICIO 28 : En el triángulo de vértices A(1, 1, B3, 2 y C1, 4 halla:
a La ecuación de la altura h1 que parte de B.
b La ecuación de la altura h2 que parte de C.
c El ortocentro del triángulo punto de intersección de las alturas.
Solución:
a La altura h1 es perpendicular al lado AC.
1
5 5
Pendiente de
2 2
AC m
1 1
2
Pendiente de
5
h m
1
2
La recta pasa por y su pendiente es ; luego su ecuación es:
5
h B
2
2 3 5 10 2 6 5 2 4 0
5
y x y x y x
b La altura h2 es perpendicular al lado AB.
2
1
Pendiente de
4
AB m
Pendiente de h2 m2 4
La recta h2 pasa por C y su pendiente es 4; su ecuación es:
y 4 4x 1 y 4 4x 4 y 4x 0
c Par calcular el ortocentro, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de h1 y h2 :
4 2
5 4 2 4 0 20 2 4 0 22 45 2 4 0
22 11
4 0 4
x x x x x xy x
y x y x
2 8
4 4
11 11
y x
2 8
El ortocentro es el punto , .
11 11
EJERCICIO 29 : Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax 3y 2 0 y s: bx
9y 5 0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P1, 2.
Solución:
2
Pendiente de : 2 3
3 3 3
r
a a
r ax y y x m
5
Pendiente de : 5 9
9 9 9
s
b b
s bx y y x m
Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir:
3 3
3 9
r s
a b
m m a b b a
Calculamos a sabiendo que P1, 2 pertenece a la recta r:
a · 1 3 · 2 2 0 a 6 2 0 a 4 Por tanto, a 4 y b 3 · 4 12.
9. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 9
EJERCICIO 30 : Las rectas r : 3x y 4 0, s: 3x 4y 11 0 y t: 3x 2y 1 0 forman
un triángulo ABC. Calcula los vértices y el ortocentro del triángulo.
Solución:
Calculamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas:
3 4 0 3 4 0
3 4 11 0 3 4 11 0
3 15 0 5
x y x y
x y x y
y y
3 5 4 0 3 9 3x x x
Luego A3, 5.
3 4 0 3 4 0
3 2 1 0 3 2 1 0
3 3 0 1
x y x y
x y x y
y y
3 1 4 0 3 3 1x x x
Por tanto B1, 1.
3 4 11 0 3 4 11 0
3 2 1 0 3 2 1 0
6 12 0 2
x y x y
x y x y
y y
3 8 11 0 3 3 1x x x
Luego C1, 2.
Para calcular el ortocentro del triángulo hallamos las ecuaciones de dos alturas y resolvemos el
sistema formado por ellas:
Altura h1 que parte de A es perpendicular a BC
1 1 1
3 2
Pendiente de : pendiente de :
2 3
BC m h m
1
2
Ecuación de : 5 3 3 15 2 6 3 2 9 0
3
h y x y x y x
Altura h2 que parte de B es perpendicular a AC
2 2 2
3 3 4
Pendiente de A : pendiente de :
4 4 3
C m h m
2
4
Ecuación de : 1 1 3 3 4 4 3 4 1 0
3
h y x y x y x
Resolvemos el sistema:
3 2 9 0 3 2 9 0
3 4 1 0 3 4 1 0
y x y x
y x y x
8 4
6 8 0
6 3
x x
8 19 19
3 9 0 3 0
3 3 9
4 19
El ortocentro es , .
3 9
y y y
EJERCICIO 31 :
La recta : 1 0 es la mediatriz del segmento del que conocemos 3, 2 .r x y AB A
Halla:
a El punto de intersección de r con la perpendicular a r trazada desde A.
b El punto B.
10. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 10
Solución:
a Pendiente de r: y x 1 m 1
Pendiente de la perpendicular a r : m 1
Ecuación de la perpendicular: y 2 1 x 3 5 x
Punto de corte:
1 0 5 1 0 2
5
x y x x x
y x
5 5 2 3y x y Por tanto, P(2, 3.
b El punto Bx, y) es el simétrico de A respecto de P :
3
2 1
2
1, 4
2
3 4
2
x
x
B
y
y
EJERCICIO 32 : Comprueba que el cuadrilátero de vértices A3, 3, B6, 0, C4, 4 y D(0,
0 es un trapecio rectángulo y halla su área.
Solución:
Para ver que es un trapecio rectángulo, comprobamos que un lado DA es perpendicular a otros
dos CD y AB :
DA es la bisectriz del primer cuadrante m 1
AB y CD tienen pendiente 1
Luego DA es perpendicular a AB y CD el trapecio es rectángulo.
Calculamos el área hallando las siguientes distancias:
2 2
, 6 3 0 3 9 9 18 3 2dist A B
22
, 4 4 16 16 32 4 2dist C D
2 2
, 3 3 18 3 2 altura del trapeciodist D A
3 2 4 2 3 2 7 2 3 2
Área
2 2 2
AB CD DA
2
2
21 2 21 2
21 u
2 2
11. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 11
EJERCICIO 33 : Calcula el área del triángulo de vértices A1, 4, B(3, 2 y C2, 0.
Solución:
Área del triángulo
2
AB CD
Llamamos h a la altura que parte del vértice C.
2 2 2 2
3 1 2 4 2 6 4 36 40AB
La altura h es perpendicular al lado AB:
6
Pendiente de : 3 ecuación de : 2 3 3 3 7 0
2
AB m AB y x x y
1
Pendiente de :
3
h m
1
La recta pasa por y su pendiente es .
3
h C
1
: 2 3 2 3 2 0
3
h y x y x x y
Buscamos el punto de intersección, D, de la recta h con el lado AB :
3 7 0 9 3 21 0
3 2 0 3 2 0
19
10 19 0
10
x y x y
x y x y
x x
19 39 13
3 2 0 3
10 10 10
19 13
Por tanto, , .
10 10
y y y
D
2 2 2 2
19 13 39 13 1
2 1690
10 10 10 10 10
CD
2
1
40 1690 67600 26010Área 13 u
2 20 20
EJERCICIO 34 : Calcula los puntos de corte de la circunferencia x2
y2
5 con la recta y x
1 0.
Solución:
Los puntos de corte son las soluciones del sistema que forman sus ecuaciones:
22 2 2 2 2 2
5 1 5 1 2 5 2 2 4 0
1 0 1
x y x x x x x x x
y x y x
12. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 12
2
2 1 1 2 1
1 1 8 1 3
2 0
2 2
1 1 1 1 2
y x
x x x
y x
Los puntos de corte son 2, 1 y 1, 2.
EJERCICIO 35 : Dos de los vértices del triángulo ABC son A(1, 7 y B5, 2.
a Calcula las coordenadas de C sabiendo que la recta x 3 0 es la mediatriz del
segmento BC.
b Calcula la ecuación de la altura h que parte de C.
Solución:
a La mediatriz del segmento BC es perpendicular a dicho segmento. Si la recta mediatriz es x
3, la recta perpendicular a ella que pasa por B5, 2 es y 2.
Por tanto, el punto medio del segmento BC es 3, 2.
Llamamos C a, b :
5
3 5 6 1
2
1, 2
2
2 2 4 2
2
a
a a
C
b
b b
b La altura h que parte de C es perpendicular al segmento AB.
5
Pendiente de :
4
AB m
4
Pendiente de :
5
h m
4
La recta que pasa por 1, 2 y tiene de pendiente es :
5
h C
4
2 1 5 10 4 4 4 5 6 0
5
y x y x x y