Distribución normal

La distribución normal
Reconocida por primera vez por Abraham Moivre.
Posteriormente fue Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien profundizó sus estudios , formulando la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la campana de Gauss.
ronald.mayhuasca.s@upch.pe

Utilidad
En muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la curva normal.
•Caracteres morfológicos de individuos: talla, pesos, diámetros, distancias, perímetros, etc.
•Caracteres fisiológicos, como efectos de dosis de un fármaco o de una misma cantidad de inhibidor, flúor.
•Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Utilidad
En muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la curva normal.
•Caracteres psicológicos, ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio, etc.
•En estadística: errores cometidos al medir ciertas magnitudes, valores estadísticos muestrales como la media, varianza y moda.

La función de distribución
•Puede tomar cualquier valor ( - ∞, + ∞)
•Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media (μ).
•Conforme nos separamos de μ, la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica respeto a la media).
•Conforme nos separamos de μ, la probabilidad va decreciendo dependiendo de la desviación estándar (σ)
μ

Propiedades de la distribución normal
•La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ.
•La media, mediana y moda son iguales.
•La curva normal es asintótica al eje de X.
•Es simétrica con respecto a su media μ, es decir el área que corresponde a la mitad de la curva es igual a 0.50, o sea la probabilidad de que X< μ, o de que X> μ, es 0.50.

La desviación estándar (σ)
Distribuciones normales con distintas desviaciones estándar e igual media.

La media (μ)
Distribuciones normales con distintas desviaciones estándar e igual media.

Resumen
•Podemos decir que hay un conjunto de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza.
•La desviación estándar (σ) determina el grado de apuntamiento de la curva. A mayor la σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.
•La media indica la posición de la campana , de modo que para diferentes valores de la μ, la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal.
•De entre todas, la más usada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1.

La distribución normal estándar (z)
•A z se le denomina función tipificada de x, y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar.
•Es una distribución normal con promedio 0 y una desviación estándar de 1.
•Todas las variables que se distribuyen normalmente se pueden transformar a la distribución normal estándar utilizando la fórmula para calcular el valor Z y ver en la tabla Z.

Características de la distribución normal estándar
•Su media es 0, su varianza y desviación estándar es 1
•La curva f(z) es simétrica respecto al eje de Z.
•La media, mediana y moda es 0.

Área bajo la curva normal estándar
•El área bajo la curva normal estándar es útil para asignar probabilidades de ocurrencia de la variable X.
•Debemos tomar en cuenta que el área total bajo la curva es igual a 1, por ser una gráfica simétrica cada mitad tiene un área de 0.5.

Pasos para determinar el área bajo la curva normal estándar
•Paso 1: interpretar gráficamente el área de interés
•Paso 2: Determinar el valor de Z.
•Paso 3: Buscar en la tabla de probabilidades
•Paso 4: Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.

Ejemplos y ejercicios
SECCIÓN
Supongamos que sabemos que el peso de un grupo de estudiantes universitarios sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 70kg y una desviación estándar de 10kg.
μ=70kg σ=10kg

Ejemplo 01
Determine la probabilidad de que un estudiante tenga un peso menor o igual a 75kg.
Paso 01: Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=75kg, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:
75kg

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 75kg.
Paso 02: Determine el valor de Z: Z=(x-μ)/σ = (75-70)/10 =0.50 Paso 03: Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la tabla. El valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915

Paso 04: Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo no es necesario realizar la resta a 1, ya que el área es la misma que se representa en la tabla . Por lo tanto la probabilidad de que X<75 es igual a 0.6915. (En porcentaje sería el 69,15%)

Ejemplo 02
Si deseamos la probabilidad de que una persona elegida al azar , tenga un peso mayor a 75kg.
Supongamos que sabemos que el peso de los estudiantes universitarios sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 70kg y una desviación estándar de 10kg.
75kg

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso mayor a 75kg.
Paso 02: Determine el valor de Z: Z=(x-μ)/σ = (75-70)/10 =0.50 Paso 03: Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la tabla. El valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915 (obtenido en la en el ejemplo 01, pero no es el área que nos piden).

Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso mayor a 75kg.
Paso 04: Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el área 0,6915 no es el área que nos interesa por tanto restamos a 1 y el resultado será igual a 0,3085. (En porcentaje sería el 30,85%)

Ejemplo 03
Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso menor a 55kg.
55kg
70kg
75kg

Paso 02: Determine el valor de Z: Z=(x-μ)/σ = (55-70)/10 =-1.50 Paso 03: Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la tabla. El valor Z=-1.50 y obtenemos el área de 0.0668

Paso 04: Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada. En este ejemplo el área 0,0668 es el área que nos interesa por tanto es la probabilidad deseada. (En porcentaje sería el 6,68%)

Ejemplo 04
Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un peso entre 55 y 75 kg.
75kg
55kg

Ejercicio:
Para la distribución normal tipificada , media 0, varianza 1. calcular:

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