El documento trata sobre los conceptos de estabilidad, condición y errores numéricos en cálculos matemáticos. Explica cómo pequeños cambios en los datos de entrada pueden amplificar el error en los resultados, y define el número condicionado como una medida de esto. También describe los diferentes tipos de errores numéricos como de truncamiento, redondeo y formulación, y cómo minimizarlos. Por último, presenta algunos ejercicios resueltos sobre cálculo de errores absolutos y relativos.

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2.2.2 Estabilidad y condición
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios
en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente
inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan
considerablemente por el método numérico.
Estas ideas pueden estudiarse usando la serie de Taylor de primer orden:
f ( x) f ( x) f '( x)( x x) (2.6)
Esta relación puede emplearse para estimar el error relativo de f(x) como en:
f ( x) f ( x) f '( x)( x x)
# (2.7)
f ( x) f ( x)
xx
el error relativo de x esta dado por: .
x
Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos
xf '( x)
Número condicionado = .
f ( x)
El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la
incertidumbre de x aumentada por f(x). Un valor de 1 nos indica que el error
relativo de la función es idéntico al error relativo de x. Un valor mayor que 1 nos
indica que el error relativo es amplificado, mientras que para un valor menor que 1
decimos que está disminuido. Funciones con valores muy grandes nos dicen que
están mal condicionados. Cualquier combinación de factores de la ecuación ¿???,
al incrementarse el valor numérico del número condicionado, tiene tendencia a
aumentar la incertidumbre en el cálculo de f(x).
2.3. ERROR NUMERICO TOTAL
El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. En
general, el único camino para minimizar los errores de redondeo es incrementando
el número de cifras significativas en la computadora. Adicionalmente, se notará
que un error de redondeo se incrementará tanto por la cancelación por resta como
porque en el análisis exista un incremento en el número de cálculos. En contraste,
en el calculo, se podría disminuir el tamaño del paso aproximado para un cálculo
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en particular. Se debería seleccionar un tamaño del paso largo a fin de disminuir
la cantidad de cálculos y errores de redondeo sin incurrir en la penalización de
grandes errores de redondeo.
Error total
Log error
Error de redondeo
Error de truncamiento
Log tamaño del paso
Figura 6. Representación gráfica de elementos de juicio entre el error de redondeo
y error de truncamiento que algunas veces son inseparables en el papel que
juegan en un método numérico. El punto de retorno disminuido es presentado,
donde el error de redondeo empieza a negar los beneficios de la reducción del
tamaño del paso.
2.3.1 Errores por equivocación
A todos les son familiares los errores por negligencia o por equivocación. En los
primeros años de la computadoras, los resultados numéricos erróneos fueron
atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la propia computadora. En la
actualidad esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las
equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.
Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación
matemática y pueden contribuir con todos los otros componentes del error. Se
pueden evitar únicamente con un sólido conocimiento de los principios
fundamentales y con el cuidado del método y diseño de la solución del problema.
2.3.2 Errores de formulación
Los errores de formulación o errores de modelamiento pueden ser atribuidos a lo
que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de
error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de Newton
no toma en cuenta los efectos relativísticos. Esto no desvirtúa la validez de la
solución del ejemplo del paracaidista, ya que estos errores son mínimos en las
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escalas del tiempo y espacio asociadas con el problema de la caída del
paracaidista. Se debe estar consciente de estos problemas y darse cuenta que si
se está usando un modelo deficiente, ningún método numérico generará los
resultados adecuados.
2.3.3 Incertidumbre de los resultados
Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre en
los datos físicos sobre los que se basa el modelo cuando se realizan varias
corridas o cálculos, estos errores pueden mostrar inexactitud e imprecisión. Si los
instrumentos constantemente subestiman o sobrestiman las mediciones se estará
tratando con un instrumento inexacto o desviado.
Los errores de medición se pueden cuantificar sumando los datos con una o más
técnicas estadísticas bien conocidas, que generen tanta información como sea
posible, observando las características específicas de los datos. Esta estadística
descriptiva es a menudo seleccionada para presentar 1) la posición del centro de
distribución de los datos y 2) el grado de esparcimiento de los datos. Como tales,
dan una medida de la desviación e imprecisión, respectivamente.
2.4. EJERCICIOS RESUELTOS
™ Encontrar el número de cifras significativas de las cantidades siguientes:
Solución
74,24 S(4)
13258 S(5)
8200,02 S(6)
0,35 S(2)
0,005 S(1)
1200 S(4)
-1863,000 S(7)
-0,00743 S(3)
750,0000 S(7)
™ Expresar las cantidades anteriores en formato de coma flotante normalizada
con exponente o notación científica.
Solución
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74,24 0,7424x102 S(4)
13258 0,13258x105 S(5)
8200,02 0,820002x104 S(6)
0,35 0,35x100 S(2)
0,005 0,5x10-2 S(1)
1200 0,1200x104 S(4)
-1863,000 -0,1863000x104 S(7)
-0,00743 -0,743x10-2 S(3)
750,0000 0,7500000x103 S(7)
™ Redondear simétricamente a tres o dos cifras decimales, las cantidades que se
indican
Solución
23,65487 23,655 D(3)
0,004563 0,005 D(3)
-1238,83421 -1238,83 D(2)
77,235 77,24 D(2)
-5,8765 -5,877 D(3)
23,4899 23,490 D(3)
™ Al estudiar el fenómeno diario de la variación que experimentan las
condiciones meteorológicas, se suprimen muchas variables que deberían de
intervenir en los cálculos. A qué tipo de errores pertenecen tales
simplificaciones.
Solución
Corresponderían a errores del modelo.
™ Considerando las cantidades 28294 y -13485 y sus respectivas cantidades
redondeadas a cuatro y tres cifras significativas, 28290(4S) y -13500(3S),
encontrar las cotas de los errores absoluto y relativo de tales redondeos.
Solución
x = 28294 x = 28290 'x = 5 = 0,5x101 Gx = 5/28290 | 0,00088
y = -13485 y = -13500 'y = 50 = 0,5x10 2
Gy = 5/28290 | 0,0037
™ Si x = 1,414 es una aproximación obtenida redondeando a tres cifras decimales
una cantidad exacta x, indicar en qué intervalo está contenido el valor exacto.
Solución
x  1,4135 1,4145 )
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Otra forma de llegar al mismo resultado: si x está redondeada, la cota del error
absoluto de ese redondeo, será:
'x =0,5x10-3 = 0,0005
y, por consiguiente, el valor exacto estará comprendido entre los valores x =
1.414 r 0,0005, es decir, entre: 1,4115 y 1,4135
™ Cómo se catalogaría el error cometido al transcribir mal una cantidad desde un
documento original a otro cualquiera.
Solución
Se tratará de un error grosero o bien de una verdadera equivocación.
™ La cantidad exacta x = 5,342 se redondea a dos cifras decimales. Encontrar el
error absoluto cometido.
Solución
La cantidad aproximada obtenida por el redondeo será x = 5,34
por lo que el módulo del error absoluto cometido será
«ex « = «5,342 - 5,34 « = 0,002
™ A una cinta métrica defectuosa le falta el primer centímetro. Después de medir
una longitud con la misma, se obtienen 15 cm. Determinar la verdadera
longitud de la magnitud medida, el error absoluto de la medición, el relativo y el
porcentaje.
Solución
x = 15 cm. y x = 14 cm.
«ex « = «x - x « = 1 cm. = 'x
rx = «ex «/x = 1/14 = 0,071 o bien 1/15 = 0,067
Porcentaje del error = 0,071x100 = 7,1%
o bien 0,067x100 = 6,7%
™ Un voltímetro maraca las lecturas con un error de +0,05V. Se toma una lectura
de 60V. Calcular los errores absoluto, relarivo y porcentaje del error.
Solución
V = 60 V = 59,95
«ev « = «60 - 59,95 « = 0,05V
rv = 0,05/60 = 0,00081
Porcentaje = 0,00081x100 = 0,081%
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™ El peso de 1 dm3 de agua a 0°C está contenido entre los valores indicados por
p = 999,847 gr r 0,001 gr
Determinar la cota o límite máximo del error relativo del resultado del peso del
agua.
Solución
p = 999,847 y 'p = 0,001
con lo que será :
Gp = 0,001/999,847 = 0,1x10-4 = 10-4
™ Deducir los dígitos correctos de la cantidad aproximada 48,361 que tiene un
error relativo máximo del 1%.
Solución
a = 48,361 Ga = 1% = 1/100 = 0,01
Ga = 'a/a
con lo que, entonces
'a = Ga ˜ a = 0,01x48,361 = 0,48661 0,5 = 0,5x100
luego, no existe ninguna cifra decimal correcta, es decir, la última cifra correcta
será la de las unidades. Ello equivale a asegurar que las cifras correctas son
las que forman la parte entera: la 4 y la 8
™ Como aproximación de S = 3,141592... se toma el valor 3,14. Cuáles son sus
cifras exactas y cuáles las correctas?
Solución
eS = ¨3,141592 - 3,14 ¨ = 0,001592 = 0,1592x10-2 0,5x10-2
es decir, tiene correctas dos cifras decimales : el 1 y el 4 y, por tanto, también
la entera 3.
Otra forma, más laboriosa pero basada en la propia definición de dígito
correcto, de llegar al mismo resultado, es la que sigue.
Según el resultado anterior, una cota del error absoluto es 'S = 0,0016.
Entonces, 0,0016 0,5 Ÿ el 3 es correcto
0,0016 0,05 Ÿ el 1 es correcto
0,0016 0,05 Ÿ el 4 es correcto
En cualquier caso, las cifras exactas, es decir, coincidentes con las que
forman el verdadero valor de S, son, en este caso, también las tres : 3, 1 y 4.
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